邵新慧，史大濤，馮男

（東北大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系，遼寧 沈陽）

2017年6月，教育部通過了《新工科研究與實踐項目指南》,“新工科”要著眼于互聯(lián)網(wǎng)革命、新技術(shù)發(fā)展、制造業(yè)升級等時代特征，新工科專業(yè)的興起，要求承擔培養(yǎng)高素質(zhì)人才的大學(xué)做出相應(yīng)的變化，包括建立新的培養(yǎng)計劃，完善原有的課程體系，更新相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，改革現(xiàn)有的教學(xué)方法和手段，培養(yǎng)學(xué)生最核心的能力——主動攝取知識的能力和快速學(xué)習(xí)新事物的能力，從而培養(yǎng)新工科發(fā)展最需要的創(chuàng)新型人才，不斷滿足社會經(jīng)濟發(fā)展對新工科人才的需求。

正是由于新工科需要創(chuàng)新能力和實踐能力都很強的復(fù)合型人才，因此對數(shù)學(xué)知識的運用會越來越多，要求也越來越高。大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不再僅僅是為工科專業(yè)學(xué)生后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)，同時也是培養(yǎng)學(xué)生計算能力、邏輯思維能力、實際應(yīng)用能力、團結(jié)協(xié)作能力和創(chuàng)新能力的重要途徑。

新工科的提出和發(fā)展，為大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)帶來了機遇，更加凸顯了數(shù)學(xué)在新工科人才培養(yǎng)中的基礎(chǔ)和重要地位，但同時也對大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)帶來了挑戰(zhàn)[1]。在大數(shù)據(jù)時代和信息化社會，只靠書本上的內(nèi)容已經(jīng)無法滿足學(xué)生對知識量的需要，作為高校數(shù)學(xué)教師，需要重新審視大學(xué)數(shù)學(xué)課程中每一個知識點，研究找出知識點與新工科專業(yè)之間的最佳契合點，對課程內(nèi)容和體系構(gòu)建做出新的設(shè)計方案，同時對課堂教學(xué)的方式方法也提出了新的要求。

在國際教學(xué)模式中，PBL教學(xué)法得到了國際教育界的認可，并普遍應(yīng)用于教學(xué)中[2]。與傳統(tǒng)以授課為主的LBL教學(xué)法相比，PBL教學(xué)法主要是開展形式是以學(xué)生為教學(xué)主體，通過開展小組合作是教學(xué)方法，學(xué)生實現(xiàn)對生活中問題的自主探索解決，學(xué)生通過復(fù)雜化、實際性的問題情境鍛煉，可以對問題背后的知識內(nèi)容更加深刻的理解掌握，并培養(yǎng)提升了學(xué)生的解決問題的能力，為學(xué)生的終生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)保障。

為了學(xué)生數(shù)學(xué)思維得到有效鍛煉以及應(yīng)用能力得到提升，數(shù)值分析教學(xué)團隊針對PBL教學(xué)法展開研究和探索，并通過開展相應(yīng)的教學(xué)實踐，實現(xiàn)教學(xué)質(zhì)量的提升，教學(xué)效果顯著。

一 PBL教學(xué)模式

PBL（problem based learning）教學(xué)模式是1969年由美國神經(jīng)病學(xué)教授Barrow在加拿大麥克馬斯特大學(xué)提出的一種課程模式，1993年在愛丁堡世界醫(yī)學(xué)教育峰會上得到了推薦[3]。

PBL教學(xué)模式是設(shè)計真實的任務(wù)，以應(yīng)用價值為學(xué)習(xí)核心，學(xué)習(xí)中學(xué)生自主查詢學(xué)習(xí)資料，并在教師的教學(xué)引導(dǎo)下，通過采取小組合作等形式開展學(xué)習(xí)問題的探究解決，實現(xiàn)對問題背后知識的有效了解與掌握。問題的提出、分析、解決是PBL教學(xué)模式的這個運行流程，主要應(yīng)用目的是培養(yǎng)學(xué)生的綜合解能力、自主學(xué)習(xí)能力、理解獲取新知識以及創(chuàng)新意識，形成“教師引導(dǎo)、學(xué)生自主探索學(xué)習(xí)”的模式，為學(xué)生具備扎實的理論基礎(chǔ)并具有較強工程實踐能力提供了保障。

PBL教學(xué)模式的核心是問題，問題必須要有吸引力，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

問題的設(shè)置主要是案例為主進行引出，PBL教學(xué)模式的構(gòu)建核心內(nèi)容就是案例分析，借助課本中的理論知識來解決案例中的實際問題，該教學(xué)模式充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程基礎(chǔ)知識在實際生活案例中的有效應(yīng)用，此種聯(lián)系生活實際的教學(xué)模式，也可以實現(xiàn)對學(xué)生學(xué)習(xí)興趣以及積極性的有效激發(fā)，達到良好的教學(xué)效果。

在PBL教學(xué)模式下開展案例教學(xué)，創(chuàng)新了教學(xué)理念，更新和優(yōu)化教學(xué)方式方法，也實現(xiàn)了課堂例案教學(xué)的有效開展，促進來的教學(xué)目標的實現(xiàn)以及學(xué)生創(chuàng)新能力的有效培養(yǎng)。

二 PBL教學(xué)模式實施方案

數(shù)值分析課程是理工科各個專業(yè)的碩士研究生開設(shè)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)必修課和學(xué)位課，也是國內(nèi)各高校在理工科許多專業(yè)本科和研究生階段開設(shè)的必修數(shù)學(xué)課程。這門課程的主要內(nèi)容是研究用計算機求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及其理論的一門學(xué)科，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)在計算機上應(yīng)用的重要基礎(chǔ)課程，也是學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)和掌握其它常用算法的基礎(chǔ)課程。

數(shù)值分析課程內(nèi)容豐富，研究方法深刻，既有數(shù)學(xué)高度抽象性與嚴密性的特點，又有廣泛性、應(yīng)用性與實際試驗高度技術(shù)性的特點，是一門實用性很強的數(shù)學(xué)課程。通過學(xué)習(xí)這門課程，學(xué)生在理論學(xué)習(xí)及在計算機上解決實際問題等各方面打下良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)與實踐動手能力，并培養(yǎng)與提高邏輯思維能力和數(shù)學(xué)推理能力。近幾年，計算機科學(xué)的飛速發(fā)展不僅給人們提供了強大的計算工具，同時也帶動數(shù)值分析課程取得了長足的進步和發(fā)展，使得在工程技術(shù)、自然科學(xué)、社會科學(xué)中出現(xiàn)的諸多問題都可以用數(shù)值分析的方法去解決，進一步擴大了這門課程的實際應(yīng)用范圍。

在教育教學(xué)中，網(wǎng)絡(luò)與多媒體技術(shù)的應(yīng)用，教學(xué)的內(nèi)容也更加的豐富，呈現(xiàn)多元化特點，傳統(tǒng)教學(xué)方法也不再適用現(xiàn)代化教學(xué)，教師就需要學(xué)會運用新技術(shù)、新方法來調(diào)動越來越多的教學(xué)資源，然后充分地利用多媒體以及互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)向?qū)W生開展更加豐富的教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)活動中也必須充分地利用現(xiàn)代化信息技術(shù)。我們數(shù)值分析教學(xué)團隊意識到了改變教學(xué)方法的重要性，課下定期召開教學(xué)研討會，鉆研教學(xué)內(nèi)容，探索適當?shù)慕虒W(xué)方法，打破教學(xué)過程中的陳舊教學(xué)方式，豐富補充與拓展了現(xiàn)有教材未涉及的教學(xué)內(nèi)容，有效地將學(xué)生自身專業(yè)與抽象的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)融合，進行了一系列對數(shù)值分析課程的教學(xué)改革。

2017年我們的數(shù)值分析課程成為東北大學(xué)第一批慕課建設(shè)資助課程，2017年上半年完成了數(shù)值分析教學(xué)內(nèi)容的慕課視頻錄制工作并實現(xiàn)了數(shù)值分析慕課的網(wǎng)絡(luò)上線工作。2017年9月全校本科和研究生的數(shù)值分析課程正式全面啟動了課堂教學(xué)+慕課實踐模式。通過一學(xué)期的使用，從課堂狀態(tài)、期末測試以及學(xué)生反饋情況來看，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)值分析課程的積極性明顯提升，對知識內(nèi)容有了不同程度的加深，對知識的掌握情況明顯要好于往屆學(xué)生。與此同時學(xué)生還可以通過慕課網(wǎng)站了解主講教師的基本信息、教學(xué)錄像、學(xué)術(shù)研究以及課程介紹、教學(xué)大綱、教案、電子課件、教學(xué)安排、參考資料、習(xí)題及習(xí)題答案、參考文獻等，實現(xiàn)了課程與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的結(jié)合，為學(xué)生“自主、探究”學(xué)習(xí)創(chuàng)造了條件，實現(xiàn)了課堂教學(xué)的課外延伸，加強了對學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。每章課程結(jié)束之后學(xué)生都可以通過網(wǎng)上提交作業(yè)方式進行階段復(fù)習(xí)和測試，而這樣也適時地督促了學(xué)生們的學(xué)習(xí)。在網(wǎng)上論壇中，學(xué)生也可以與老師或其他同學(xué)積極互動，能夠迅速解決學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的各種問題。我們所采用的“混合式學(xué)習(xí)”方法，在教師的主導(dǎo)作用下，使學(xué)生真正成為了學(xué)習(xí)的主體，在線教學(xué)與課下的在線學(xué)習(xí)的有機結(jié)合，自主與合作學(xué)習(xí)的并存，這種混合式的教學(xué)方法，促使學(xué)生在有限的學(xué)習(xí)時間內(nèi)對所學(xué)課程內(nèi)容進行系統(tǒng)、準確、全面地掌握與理解，學(xué)生自主學(xué)習(xí)、實踐動手、創(chuàng)新能力等綜合能力得到了鍛煉與提升，真正達到了素質(zhì)教育的根本要求。

另外，課程教學(xué)團隊注意到了數(shù)值分析課程實用性強的特點，所以一直采用原來的傳統(tǒng)講授式教學(xué)（LBL）+案例教學(xué)法（CBL）方式，且也建立了一定量的案例課題，并結(jié)合慕課平臺，展開了線上線下混合式教學(xué)模式。現(xiàn)在團隊在原來工作基礎(chǔ)上將教學(xué)方法進行調(diào)整，將其轉(zhuǎn)變?yōu)閭鹘y(tǒng)講授式教學(xué)（LBL）+PBL教學(xué)法。其實CBL和PBL兩種教學(xué)法是有聯(lián)系，同時也是有區(qū)別的，其共同之處在于都是以學(xué)生為課堂主角，都要求有實際案例支撐教學(xué)，同時對案例也都是要求具有典型性且來源于實踐，同時還與所學(xué)習(xí)的理論知識有密切直接的聯(lián)系。但兩者側(cè)重點也有差別，案例教學(xué)法僅是利用案例課題說明所學(xué)課程內(nèi)容，PBL教學(xué)法不僅僅是解決案例課題，同時還需要思考教師設(shè)計出的探究式問題，而這些問題的設(shè)計要遠遠高于之前案例教學(xué)中設(shè)定的問題，有時還需要設(shè)計一些開放性的課題，提升學(xué)生學(xué)習(xí)課程的興趣和自主學(xué)習(xí)的能力，從而培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力和理解與獲取新知識的能力。

由于數(shù)值分析課程是一門以高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)課程，本身具有一定的難度，且課程中公式推導(dǎo)多、算法多，理論性和應(yīng)用性都強。針對課程的這些特點，通過分析研究，課程教學(xué)團隊決定采用如下方式開展課程教學(xué)模式，具體實施方案說明如下：

（一） 基本理論和難度較大的算法，采用LBL教學(xué)法

這是利用了LBL教學(xué)法的優(yōu)點，在該教學(xué)法的運用實施中，教師的教學(xué)引導(dǎo)作用得到了充分地發(fā)揮，教師運用自身專業(yè)知識，將所要教授的教學(xué)內(nèi)容進行系統(tǒng)、全面地理解分析，設(shè)計合理的教學(xué)課件，將教學(xué)知識內(nèi)容分準確、系統(tǒng)、全面的傳遞給學(xué)生，由此一來，很好地保障了教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)性與連貫性。教師是主導(dǎo)課堂進程、質(zhì)量與效率的主導(dǎo)人，教師必須要依照班級絕大部分學(xué)生的學(xué)習(xí)接受能力，按計劃完成教學(xué)任務(wù)，對教學(xué)內(nèi)容只是有簡單到更高級的知識傳播遞進，將所授知識深入淺出。另外，通過多媒體的合理有效地使用，可以以圖、文、聲、形并茂的形式進行教學(xué)內(nèi)容展示，以此來實現(xiàn)課堂信息量的豐富與提升，圖文并茂的PPT可以實現(xiàn)對學(xué)生學(xué)習(xí)積極性與興趣的激發(fā)，還可以幫助學(xué)生更好地對知識點進行有效理解，促進學(xué)生的有效學(xué)習(xí)。這樣省下來的時間，教師就可以將獲取的最新科研成果展示給學(xué)生，更好地豐富和更新了課程的教學(xué)內(nèi)容。

（二） 重要知識點和重要算法，采用PBL教學(xué)法

教學(xué)團隊的教師根據(jù)內(nèi)容選擇一些典型案例，并結(jié)合課程內(nèi)容和案例的具體信息設(shè)定一些問題，問題的設(shè)計逐次遞升，有考查學(xué)生對基本知識點理解的，有涉及解決案例時關(guān)鍵技術(shù)的，最重要的是一定要涉及一個開放性課題，鍛煉學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新能力的。教學(xué)開展方式主要是以學(xué)生為學(xué)習(xí)主體，在教師的課堂設(shè)計引導(dǎo)下，以一個個精心選擇的問題為載體，以小組討論的形式進行自主學(xué)習(xí)，學(xué)生在討論、探究學(xué)習(xí)中，對問題進行一一探討解答，從而獲取所學(xué)知識。在解決問題過程中，學(xué)生通過查找資料、上機實踐和討論等多個教學(xué)環(huán)節(jié)，最終使問題得到解決。小組成員在選出代表進行發(fā)言，小組之外的其他同學(xué)和老師都可以進行提問，小組所有成員都可以來回答。整個這個過程，既讓學(xué)生學(xué)到了知識，又鍛煉了學(xué)生自學(xué)能力和實踐能力，有效開發(fā)了學(xué)生的潛力和創(chuàng)造力，鍛煉了學(xué)生的表達能力，同時也促進了同學(xué)之間的團結(jié)合作和人際溝通，而這些能力會大大提升學(xué)生自身的綜合素質(zhì)，從而使學(xué)生更具有人才競爭力，將來能更好地融入社會。

當然，任何事物都不是萬能的，PBL也有一些不足：學(xué)生在接受PBL教學(xué)法進行知識點的學(xué)習(xí)過程中，會將學(xué)習(xí)的重點放在了實際應(yīng)用問題求解上，對于課程中眾多的知識點卻忽略了掌握的全面性，由此一來，學(xué)生對課程教學(xué)內(nèi)容的掌握上，不能連貫、系統(tǒng)地進行全面掌握。此外，學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性、自律性是PBL教學(xué)有效開展的重要基礎(chǔ)保障，與傳統(tǒng)課程學(xué)習(xí)時間先比較，學(xué)生需要抽出更多的時間來進行學(xué)習(xí)資料的搜集、自主學(xué)習(xí)，在進行編程，在學(xué)習(xí)時間上很更長一些，部分學(xué)生會產(chǎn)生抵觸心理，在教學(xué)目標的良好實現(xiàn)上較為困難。

（三） PBL與LBL相結(jié)合的混合式教學(xué)模式

針對PBL教學(xué)法的不足，教學(xué)團隊老師探討商量對策，最終獲得一些解決方法：由于數(shù)值分析課程并不是單純采用PBL教學(xué)法，而是LBL與PBL教學(xué)法相結(jié)合，因此可以利用LBL教學(xué)法的時間，任課教師可以在學(xué)生們總結(jié)基礎(chǔ)之上再進行補充說明和歸納總結(jié)，從而幫助學(xué)生建立系統(tǒng)的課程內(nèi)容知識體系。另外，由于數(shù)值分析課程在中國大學(xué)慕課平臺有很好的學(xué)習(xí)資源，對于一些簡單的知識點和比較容易理解的算法內(nèi)容，學(xué)生可以通過慕課學(xué)習(xí)，這樣就節(jié)省了課堂時間，從而使學(xué)生課堂討論進行得更充分。盡管PBL教學(xué)模式耗時耗力，但對學(xué)生今后個人成長和發(fā)展都是很有好處的，可是學(xué)生在學(xué)習(xí)階段未必能夠充分認識到這一點，為此可以采取提高這部分成績在課程總成績中所占比重的方式來調(diào)動學(xué)生的積極性和參與度。

為此，我們數(shù)值分析教學(xué)團隊的教學(xué)方法最主要的創(chuàng)新點如下：

1.采用LBL與PBL教學(xué)法相結(jié)合的教學(xué)模式。知識點內(nèi)容多而繁雜，且每一個知識章節(jié)之間是相對獨立的，章節(jié)中的知識點內(nèi)容難易程度與重要性也是截然不同的，這就是數(shù)值分析課程的知識分布的主要特點。因此，在進行課程教學(xué)的課程設(shè)計時，教師可以采取PBL和LBL兩種教學(xué)方法相互結(jié)合的混合教學(xué)方式，將兩種學(xué)習(xí)方法中的各種優(yōu)點加以運用，取長補短，相得益彰。LBL教學(xué)方法的運用，可以在偏重于理論知識呈現(xiàn)的教學(xué)內(nèi)容上進行充分運用。PBL教學(xué)法更合適應(yīng)用于教學(xué)內(nèi)容偏重于應(yīng)用實踐、知識點整合階段的教學(xué)運用，以此來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極參與性。這樣的教學(xué)方式更有針對性，也更利于學(xué)生理解和掌握課程內(nèi)容[4]。

2.實際應(yīng)用課題的選擇及相關(guān)問題的設(shè)計將是本項目最大的亮點，從而能更好培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力，極大地提高學(xué)生理論聯(lián)系實際的能力和查閱文獻進行研究性工作的基本素質(zhì)。

3.數(shù)值分析課程慕課資源的巧妙利用，為基礎(chǔ)課程的信息化教學(xué)改革創(chuàng)造條件，也為PBL教學(xué)法的實施提供了充足的保障。

4.在線測驗考試系統(tǒng)的應(yīng)用，打破“千人一卷”的考核模式，有利于學(xué)生過程化學(xué)習(xí)，從而使學(xué)生課程知識點的掌握更加扎實。

5.嘗試使用OBE的教學(xué)評價體系，對于評價的標準，采取的多元化、梯次形式的評價方式，對學(xué)生的學(xué)習(xí)成果的內(nèi)涵、個人學(xué)習(xí)進步更加注重評價，在評價等級的設(shè)定上，是依據(jù)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)特點以及所達到的教育成果程度來將學(xué)生的學(xué)習(xí)進程劃分為不熟練到優(yōu)秀不同的等級階段，對每一個階段的學(xué)習(xí)目標也有著明確的標準，，這些學(xué)習(xí)目標是從初級到高級，最終達成頂峰成果。由此一來，學(xué)生們的教學(xué)目標是一致的，就是將不同學(xué)習(xí)階段的學(xué)生進行了合理、科學(xué)的劃分，然后不同學(xué)習(xí)能力的學(xué)生，采取不用的途徑、方法與時間，完成一致的學(xué)習(xí)目標[5]。

6.混合式的教學(xué)模式實施的效果和結(jié)論。數(shù)值分析課程基于慕課教學(xué)、LBL和PBL教學(xué)法相結(jié)合的過程化教學(xué)模式和多元化的考核評價體系解決了學(xué)生課下自主學(xué)習(xí)效率低，平時不努力期末搞突擊等學(xué)習(xí)陋習(xí)，同時也克服了一張考卷定輸贏的考核弊端。過程化教學(xué)模式中實際應(yīng)用案例與時俱進地更新可以保證數(shù)值分析課程的前沿性，滿足時代發(fā)展對學(xué)生培養(yǎng)不斷提出的新要求，通過“翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)模式改革”，從而幫助學(xué)生實現(xiàn)認知升級、知識集成、技能提升，提升學(xué)生學(xué)習(xí)課程的興趣和自主學(xué)習(xí)的能力，鍛煉學(xué)生自學(xué)能力和實踐能力，有效開發(fā)了學(xué)生的潛力和創(chuàng)造力，促進了同學(xué)之間的團結(jié)合作和人際溝通，提升學(xué)生自身的綜合素質(zhì)，從而使學(xué)生更具有人才競爭力，未來能更好地融入社會。

三 結(jié)語

當然，在數(shù)值分析課程中采用的教學(xué)方法也可以推廣到其他數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課程和專業(yè)課程的學(xué)習(xí)中，特別是某些前沿科學(xué)對應(yīng)的課程學(xué)習(xí)中，從而使PBL教學(xué)方法得到廣泛推廣。