丁藝 朱雅婷

【摘要】在高中幾何教學(xué)中，圖形變換中的復(fù)合變換一直是教學(xué)的難點(diǎn)。傳統(tǒng)的板書、幻燈片等形式，要讓平均水準(zhǔn)的學(xué)生掌握?qǐng)D形變化的性質(zhì)和關(guān)系力有未逮。文章介紹了一款專業(yè)的幾何圖形繪制軟件，并通過兩個(gè)教學(xué)案例展示了如何交互、動(dòng)態(tài)地展示復(fù)合變換的規(guī)律，在實(shí)踐中獲得了良好的教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】高中幾何;圖形變換;軟件;動(dòng)態(tài)

一、問題的引入

高中階段的幾何教學(xué)中，有一些知識(shí)點(diǎn)及其運(yùn)用往往被大多數(shù)學(xué)生畏之如虎，圖形變換特別是涉及幾種變換的復(fù)合變換，就是其中之一。根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)歷，在學(xué)習(xí)單一圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、反射等變換的時(shí)候，平均水準(zhǔn)的學(xué)生都能較好地掌握，然而一旦涉及幾種變換組合起來(lái)的復(fù)合變換情況，學(xué)生往往思路不清，對(duì)變換的本質(zhì)理解不深，無(wú)論是在作業(yè)中還是在測(cè)評(píng)中，都易失分。

這主要是因?yàn)?，使用傳統(tǒng)的板書形式只能描繪變換之后的靜態(tài)結(jié)果，如果要討論若干條件的改變對(duì)變換的影響，則需要修改和重繪，費(fèi)時(shí)費(fèi)力;即便使用一些常規(guī)的信息化教學(xué)手段，如制作幻燈片并利用一些動(dòng)畫效果，但對(duì)學(xué)生來(lái)說，缺乏互動(dòng)性和探索性，也無(wú)法很快地形成對(duì)圖形變換本質(zhì)的理解。

筆者在研究和評(píng)估了一些教學(xué)輔助手段之后，使用“幾何畫板”繪制了一些教學(xué)示例?！皫缀萎嫲澹═he Geometer's Sketchpad，簡(jiǎn)稱GSP）”是一款國(guó)內(nèi)外廣泛用于數(shù)學(xué)、物理教學(xué)的付費(fèi)軟件，可運(yùn)行于Windows和Macintosh操作系統(tǒng)上。筆者除了用幾何畫板在課堂上給學(xué)生動(dòng)態(tài)地展示復(fù)合變換，也鼓勵(lì)學(xué)生自己去與之交互、修改和舉一反三地編寫新的例子。通過幾年的教學(xué)實(shí)踐后發(fā)現(xiàn)，相較于傳統(tǒng)的教學(xué)方法，使用幾何畫板設(shè)計(jì)展示動(dòng)態(tài)示例，在讓學(xué)生定性地認(rèn)識(shí)復(fù)合變換的效果以及定量地分析幾種特殊的變換組合產(chǎn)生的效果方面，后者更具優(yōu)勢(shì)。

下面通過兩個(gè)具體案例來(lái)探討如何基于幾何畫板進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)展示。

二、使用動(dòng)態(tài)展示提高教學(xué)效果的案例

案例1：一個(gè)簡(jiǎn)單幾何形狀，關(guān)于兩條平行直線，連續(xù)反射兩次。

原像關(guān)于直線反射，得到圖像;關(guān)于直線反射，得到圖像。

先請(qǐng)學(xué)生觀察，原像和最后的像之間是什么關(guān)系。通過幾何畫板的演示，移動(dòng)兩條直線和，讓學(xué)生觀察到，象會(huì)跟著移動(dòng)。這使得學(xué)生推斷得到的關(guān)系看起來(lái)更加明確。

通過這個(gè)操作實(shí)例，大部分學(xué)生可以判斷出，原像和兩次反射后的像，是一個(gè)平移的關(guān)系。

通過測(cè)量三個(gè)點(diǎn)對(duì)、、之間的距離，以及移動(dòng)兩條平行線和，可以看出，三個(gè)點(diǎn)對(duì)的距離一直保持一致。

于是，筆者請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)一步思考：平移是可以通過平移的方向和平移的距離來(lái)描述的，那這個(gè)平移是否也可以根據(jù)某些條件確定呢？

于是有學(xué)生猜測(cè)，這個(gè)平移的距離和兩條平行線是垂直的。通過構(gòu)造直線和的垂線，并且移動(dòng)圖形，可以看出，和是平行的，即，的移動(dòng)方向是垂直于直線和的。并且進(jìn)一步可以看出，移動(dòng)的距離是兩條平行線的距離的兩倍。無(wú)論在幾何畫板中如何改變平行線和的距離，上述關(guān)系始終成立。

由此大部分學(xué)生都已經(jīng)能得出結(jié)論：經(jīng)過兩條平行線連續(xù)兩次反射的疊加效果是平移，并且平移的方向和平行線垂直，平移的距離是兩條平行線距離的兩倍。

由于是觀察圖形和與圖形交互以后推理并得到驗(yàn)證的結(jié)論，大部分學(xué)生都能記憶并且較好地理解了多次反射的特點(diǎn)。

案例2：一個(gè)簡(jiǎn)單幾何形狀，關(guān)于兩條相交直線，連續(xù)反射兩次。

原像關(guān)于直線反射，得到圖像;關(guān)于直線反射，得到圖像。

筆者請(qǐng)學(xué)生觀察，原像和最后的像之間是什么關(guān)系。通過幾何畫板的作圖演示，并且通過任意改變兩條相交直線的角度，像會(huì)動(dòng)態(tài)地跟著移動(dòng)，使這個(gè)關(guān)系看起來(lái)更加明確。

通過這個(gè)示例的動(dòng)態(tài)演示，大部分學(xué)生已經(jīng)可以判斷出，原像和兩次反射后的像是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的關(guān)系，并且猜測(cè)很大可能是繞著兩條直線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的。由此可以進(jìn)入下一步的驗(yàn)證。

將兩條直線的交點(diǎn)標(biāo)記為，并測(cè)量三對(duì)點(diǎn)與形成的角度，可以看出，不管怎么移動(dòng)相交直線和，這三個(gè)角度一直保持相等。這就驗(yàn)證了之前的猜測(cè)。

于是，筆者啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考：旋轉(zhuǎn)是可以通過旋轉(zhuǎn)中心和角度來(lái)描述的，那在這個(gè)兩次反射構(gòu)造的旋轉(zhuǎn)中，旋轉(zhuǎn)的角度是什么呢？通過前面的動(dòng)態(tài)展示，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，和之間的角度隨著兩條直線之間的交角增加而增加。大部分學(xué)生都能給出合理的猜測(cè)，這兩個(gè)角度之間一定有關(guān)系。

用幾何畫板自帶的角度測(cè)量工具，并且通過動(dòng)態(tài)地任意調(diào)整兩條直線之間的交角，可以發(fā)現(xiàn)量化關(guān)系，即和之間的角度一直是兩條直線交角（銳角）的兩倍。

由此，很多學(xué)生已經(jīng)可以得出結(jié)論：經(jīng)過兩條相交直線連續(xù)兩次反射的疊加效果是旋轉(zhuǎn)，并且旋轉(zhuǎn)的中心是兩條直線的交點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度是兩條直線交角（銳角）的兩倍。由于這些結(jié)論是學(xué)生與筆者一同進(jìn)行交互性地探索和驗(yàn)證得出的，而非生硬記憶的結(jié)論，因此在之后的測(cè)評(píng)中，都顯示學(xué)生對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)理解和掌握得相當(dāng)扎實(shí)。

三、結(jié)語(yǔ)

板書、手繪作圖和測(cè)量是高中數(shù)學(xué)教師的基本功，也是最常規(guī)的教學(xué)方法。但在有些知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)中，傳統(tǒng)手繪的方式需要花費(fèi)的時(shí)間比較長(zhǎng)，并且測(cè)量距離和角度的結(jié)果并沒有那么直觀地揭示量化關(guān)系，也沒法任意移動(dòng)，展示動(dòng)態(tài)的效果。

筆者并不提倡一味地用“信息化”甚至全盤幻燈片化來(lái)解決教學(xué)中的所有難點(diǎn)，而是選用合適的信息化載具作為常規(guī)教學(xué)方法的補(bǔ)充。本文所探討的，使用幾何畫板展示、教學(xué)的這兩個(gè)案例，既脫胎于常規(guī)教學(xué)的教案，又利用了專業(yè)工具的直觀性、交互性、動(dòng)態(tài)性和易操作性，學(xué)生很容易掌握使用，幾分鐘就可以構(gòu)造出自己的例子，進(jìn)行計(jì)算和驗(yàn)證也非常方便，從而讓學(xué)生更愿意進(jìn)行主動(dòng)探索型的學(xué)習(xí)，無(wú)論從提高教學(xué)效果還是從培育學(xué)習(xí)興趣的角度，都獲得了意料之外又在情理之中的效果。

【參考文獻(xiàn)】

孫嵐，王紅芳.巧用平面幾何解決高中數(shù)學(xué)問題[J].新課程（中學(xué)），2016（05）：53.