安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校(236652) 王偉民安徽省太和縣教育局物理教研室(236600) 韓自理

(1)天平平衡時右盤砝碼和游碼位置如圖1甲所示，則石塊的質(zhì)量為________g。

(2)為了測量石塊的體積，小李同學(xué)先往量筒中加入一定量的水，如圖1乙所示，他的操作合理嗎？為什么？答：_______。

(3)4個小組測量出的石塊密度見表1。

表1 石塊密度

其中錯誤的是第________組的測量結(jié)果。

(4)對實(shí)驗(yàn)進(jìn)行評估時，下列分析正確的是________。

A.放置天平的操作臺面不水平，測出的質(zhì)量偏大

B.放置天平的操作臺面不水平，測出的質(zhì)量偏小

C.先測石塊體積，后測石塊質(zhì)量，測出的密度偏小

D.先測石塊體積，后測石塊質(zhì)量，測出的密度偏大

這道中考物理實(shí)驗(yàn)題目的第4小問是一道選擇題目(單選題)，參考答案給出的結(jié)果是選項(xiàng)D(當(dāng)然，根據(jù)題目給出的條件，選項(xiàng)D的正確性很容易進(jìn)行判斷)，對于選項(xiàng)A和B淘汰掉的理由，筆者沒有找到，網(wǎng)上百度的結(jié)果是一致的(多數(shù)教師也是持這樣的觀點(diǎn))——天平橫梁是等臂杠桿，若天平底板沒調(diào)節(jié)水平，只要使用之前調(diào)節(jié)至橫梁指針指在分度盤的中央，那么測量物體質(zhì)量過程中當(dāng)橫梁指針也指在分度盤中央位置而重新平衡時(此時的橫梁是傾斜平衡，橫梁重力的作用線過支點(diǎn))，利用相似三角形知識可以判斷，它依然是一個等臂杠桿，所以測量結(jié)果依然是準(zhǔn)確的。

眾所周知，天平是測量物體質(zhì)量相對比較精密的測量工具。無論是物理天平還是托盤天平，按要求在使用之前都必須進(jìn)行天平的調(diào)節(jié)，首先調(diào)節(jié)底板，使底板水平，然后調(diào)節(jié)橫梁，使其水平平衡。物理天平的調(diào)節(jié)通常是嚴(yán)格按這一要求進(jìn)行的(底板的水平是通過調(diào)節(jié)底板上4個角處的4個螺釘來進(jìn)行)，而對托盤天平來說，第一步底板水平的調(diào)節(jié)往往非常地隨意——將托盤天平放在水平臺面即可——這里的“水平臺面”只需眼睛看著水平，無需認(rèn)真仔細(xì)地調(diào)節(jié)，難道底板是否水平對天平測量物體質(zhì)量的結(jié)果真的沒有影響？

我們有必要從托盤天平的構(gòu)造說起。

1 托盤天平的構(gòu)造

圖2為托盤天平內(nèi)部構(gòu)造示意圖。天平橫梁上有3個固定于橫梁上的刀口ABO，中間的刀口O尖端朝下，放在中間的支柱上(支柱固定于天平的底座上)，整個橫梁可以繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。兩邊的2個刀口A和B尖端朝上，左右2個天平盤下面的支架架在兩個刀口上，使得天平盤支架可以繞這2個刀口旋轉(zhuǎn)。這2個刀口也是天平盤對橫梁壓力的作用點(diǎn)。中間支柱的下方鉸鏈2個連桿ED和EC，2個連桿可以繞E點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動，2個天平支架的下面通過2個豎著的立柱AD和BC鉸鏈于2個連桿的兩端，這樣，當(dāng)橫梁繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，兩邊的托盤均可保持水平。因?yàn)樗倪呅蜛DEO和四邊形BCEO均為平行四邊形(近似的平行四邊形)。所以在托盤或橫梁繞刀口轉(zhuǎn)動時，立柱AD和BC都與中間的立柱OE平行。

2 橫梁傾斜時不再是等臂杠桿

如果橫梁上的3個刀口共線的話，那么，橫梁無論是水平的還是傾斜的，它都應(yīng)該是等臂杠桿，而實(shí)際上，幾乎所有的托盤天平橫梁上的3個刀口都不共線——中間的刀口在兩邊刀口連線的上方，中間刀口到兩邊刀口連線的距離通常是2.5 mm左右，生產(chǎn)廠家這樣設(shè)計(jì)天平的目的，是為了使天平在橫梁調(diào)節(jié)(包括使用之前橫梁的水平調(diào)節(jié)和測量過程中橫梁的水平調(diào)整)過程中，橫梁能夠維持穩(wěn)定平衡，否則，如果3個刀口共線，且橫梁重心剛好在中間刀口的話，天平橫梁的平衡將是隨遇平衡，這種情形下橫梁指針不會在分度盤中線附近擺動的，我們將很難調(diào)節(jié)天平橫梁的平衡；若中間的刀口在兩邊刀口連線的下方，則橫梁的平衡將是不穩(wěn)定平衡，實(shí)際操作中不可能調(diào)節(jié)至橫梁水平平衡的，即使“碰巧”調(diào)節(jié)至橫梁水平平衡了，只要有輕微的擾動，比如，人呼出的氣體吹到了橫梁，橫梁都會失去原來的水平平衡而向一個方向轉(zhuǎn)動的(不是擺動，而是失去平衡的轉(zhuǎn)動)，就如同切菜刀刀尖沖下豎直立于瓷磚地板上很難維持平衡一樣。

在天平左右兩盤盛放物體(或砝碼)橫梁水平平衡時，不考慮橫梁本身的重力(開始調(diào)節(jié)橫梁水平平衡，就已經(jīng)使得橫梁重力的作用線經(jīng)過中間的刀口了。以對橫梁繞中間刀口轉(zhuǎn)動的情形，當(dāng)橫梁水平時，橫梁重力不產(chǎn)生對橫梁轉(zhuǎn)動的影響)，橫梁受力情形如圖3所示，這種情形下，天平是等臂杠桿——杠桿兩端所受壓力的力臂均為兩邊刀口之間距離(即線段AB長度)的一半。

當(dāng)橫梁傾斜時，比如，橫梁繞中間的刀口逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，為方便分析，假設(shè)橫梁旋轉(zhuǎn)到中間刀口與右邊刀口的連線成水平狀態(tài)的位置時，如圖4所示，此時，天平橫梁右端刀口所受壓力的力臂等于兩邊刀口旋轉(zhuǎn)而得到圓的半徑(即圖4乙中的線段OB′)，而橫梁左端刀口所受壓力的力臂是圖4乙中的線段OC的長度(C為A′點(diǎn)在水平線上的正投影)，小于圓的半徑，天平一定不是等臂杠桿——左臂短，右臂長。

因?yàn)樽笥业犊谒軌毫ο鄬τ谥c(diǎn)(即中間刀口)力臂的比值與1差別越大，由于力臂不等而引起的測量誤差便越大，所以，我們不妨從理論上推導(dǎo)一下橫梁旋轉(zhuǎn)不同角度時2個力臂比值的變化情況。

如圖5所示，橫梁水平時(不考慮橫梁重力的影響)，三刀口分別位于A、O、B三點(diǎn)，顯然，AB兩點(diǎn)的連線水平，設(shè)AO與水平面的夾角為α，當(dāng)橫梁繞刀口逆時針方向旋轉(zhuǎn)x角度后，左右兩邊的刀口分別旋轉(zhuǎn)至A′和B′點(diǎn)，設(shè)右邊力臂與左邊力臂的比值為k，則有：

兩邊對x求導(dǎo)得：

由圖5可知，當(dāng)橫梁旋轉(zhuǎn)至OA豎直位置時(實(shí)際的橫梁不可能旋轉(zhuǎn)那么大的角度，我們僅僅是從理論上推理一下極限位置時，兩邊力臂比值的變化情況)，左邊的力臂為0，右邊力臂不為0，所以，k將變得無窮大。而由上式可知，只要橫梁旋轉(zhuǎn)的角度α≠0，k′均大于0，函數(shù)無駐點(diǎn)，所以，在橫梁按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，右邊力臂與左邊力臂的比值一直增大。

這就是說，如果托盤天平開始底板不調(diào)節(jié)水平的話，天平使用之前橫梁調(diào)節(jié)至橫梁指針指在分度盤的中間位置，在測量物體質(zhì)量時通過增減砝碼和移動游碼的方法仍將橫梁指針調(diào)至分度盤的中間位置，測量所得的結(jié)果肯定存在誤差，而且誤差會隨著天平底板傾斜角度的增大而增加。

我們計(jì)算一下天平底板實(shí)際不水平而眼睛看不出它的傾斜狀況下誤差的大小。

通常情況下，當(dāng)一個平面與水平面的夾角達(dá)到x=3°時即可看出該面是傾斜的(即肉眼可以看出該面不水平)，我們以天平底板與水平面夾角x=3°的情形為例，看當(dāng)天平橫梁在測量之前已經(jīng)調(diào)節(jié)“水平”(即左右盤沒放東西，橫梁指針調(diào)至分度盤中間位置)的情況下，稱量物體橫梁也“水平”時，由于天平不等臂而引起的測量相對誤差的大小。

由上面推理出的等式可知，當(dāng)天平橫梁由原來的水平位置逆時針方向轉(zhuǎn)動x=3°時，右邊力臂與左邊力臂的比值k為：

由杠桿平衡條件可知，此時測量的相對誤差只有大約千分之四——質(zhì)量為50 g的物體因?yàn)榈装鍥]有嚴(yán)格調(diào)節(jié)水平(底板傾角3°時)而引起的測量誤差大約0.2 g，基本可以忽略。所以，托盤天平使用之前底板水平的調(diào)節(jié)不需要非常嚴(yán)格，只需放在水平桌面(看似水平)即可。

再看底板傾角比較大的情形。不妨設(shè)底板傾角為x=20°(肯定是人為的，而且眼睛能夠明顯看出來底板的傾斜)。

由杠桿平衡條件知，這種情形下測量的相對誤差約為3%，質(zhì)量為50 g的物體因?yàn)榈装宓膬A斜而引起的測量誤差已達(dá)到1.5 g，顯然，這種測量結(jié)果已經(jīng)從誤差而“演變”為錯誤了。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

筆者曾刻意的將托盤天平底板傾斜一定的角度進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)——如圖6甲所示，水平桌面上在托盤天平底板下的左端墊上火柴盒，使底板呈左高右低的狀況，將游碼移至橫梁標(biāo)尺的0刻度線后，調(diào)節(jié)橫梁兩端的平衡螺母，使橫梁指針指在分度盤的中央位置，顯然，此時天平衡量是傾斜平衡的——既然已經(jīng)平衡，那么，橫梁重力的作用線一定過支點(diǎn)(即中間刀口)，在后續(xù)測量物體質(zhì)量的過程中，只要橫梁調(diào)節(jié)到與這同樣狀態(tài)的平衡(橫梁指針指在分度盤的中央位置)，橫梁重力一定不影響橫梁的平衡。接下來將2個相同質(zhì)量的物體(筆者用的是2個50 g的砝碼)分別放在天平的左右兩盤，發(fā)現(xiàn)橫梁不在原來位置平衡，橫梁指針偏向分度盤的左方，如圖6乙所示。然后移動游碼，當(dāng)游碼移至0.8 g刻度線右側(cè)一點(diǎn)位置時，橫梁指針指在分度盤的中央位置，如圖6丙所示。顯然，這種情形相當(dāng)于不考慮橫梁重力和游碼重力，右盤有50.8 g的物體與左盤50 g的物體相平衡。之后，將托盤左右兩盤中的物體質(zhì)量各增加一倍，由50 g增為100 g，發(fā)現(xiàn)將游碼右移至1.7 g位置時，橫梁指針指在分度盤的中央位置，如圖6丁所示。圖6丙中游碼對應(yīng)的位置跟0.85 g非常接近，而1.7 g剛好為0.85 g的2倍——這一看似“巧合”的倍數(shù)關(guān)系正是對我們前面理論分析所得結(jié)論非常有力的實(shí)驗(yàn)佐證，這說明，托盤天平在圖6甲、乙、丁幾種狀態(tài)下(即天平橫梁以相同的角度傾斜時)，相當(dāng)于中間的刀口(杠桿支點(diǎn))，天平左右兩盤對刀口壓力的力矩比不是1(即此時的天平不是等臂杠桿)，而是近似為1 017∶1 000。

由此可見，對托盤天平而言，如果底板不水平對測量結(jié)果肯定有影響，只不過，如果底板傾斜的角度不大(比如只有1°～2°)，因底板不水平而引起的測量誤差非常的小，可以忽略，所以，天平在使用之前進(jìn)行調(diào)節(jié)時，底板水平的調(diào)節(jié)依然是不可或缺的一步，只是對這一步操作的要求托盤天平不像物理天平要求那么高而已(物理天平測量精度較高，其構(gòu)造與托盤天平基本一樣，也是中間刀口在兩邊刀口連線的上方，不同之處僅僅是物理天平的天平盤不是鉸鏈于立柱底端的連桿上，而是懸掛于橫梁兩邊的刀口上。若物理天平底板不嚴(yán)格調(diào)節(jié)水平，肯定會影響其測量精度的)。

4 對實(shí)驗(yàn)題目的剖析

回頭我們再分析前面給出的這道中考實(shí)驗(yàn)題目的最后一個問題。應(yīng)該說，這道選擇題題目不存在科學(xué)性方面的問題，參考答案也無可厚非——ABC三選項(xiàng)錯誤，D選項(xiàng)正確。但是，網(wǎng)上有關(guān)資料對于AB兩選項(xiàng)錯誤原因的解讀不正確，不能說選項(xiàng)AB的錯誤是因?yàn)椴徽撎炱降装迨欠袼?，測量的結(jié)果都是準(zhǔn)確的，而應(yīng)該解讀為托盤天平底板的左端高時，測量數(shù)據(jù)偏大，天平底板的右端高時測量數(shù)據(jù)偏小。但題目只是告訴我們“放置天平的操作臺面不水平”，并未指明是天平哪端較高，所以，根據(jù)題目給出的條件，我們既不能判斷測量結(jié)果一定偏大，也無法判斷測量結(jié)果一定偏小。因此，這才是AB兩選項(xiàng)淘汰掉的原因。

雖然題目沒有科學(xué)性問題，但是，托盤天平的內(nèi)部結(jié)構(gòu)初中學(xué)生并不了解(相信很多教師也未必了解)，天平內(nèi)部構(gòu)造的“細(xì)節(jié)”問題并非是要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容，所以，筆者以為，出題人設(shè)計(jì)這樣的實(shí)驗(yàn)題目去考初中學(xué)生是非常不合適的——因?yàn)閷W(xué)生根本不具備解釋A、B兩選項(xiàng)錯誤原因的能力。若像網(wǎng)上分析的那樣，讓學(xué)生根據(jù)相似三角形知識去分析得出天平底板不水平時橫梁也是等臂杠桿的結(jié)論，從而將A、B兩選項(xiàng)給淘汰，雖說也能歪打正著地選對選項(xiàng)，但這樣做一方面是在“引導(dǎo)”學(xué)生犯科學(xué)性錯誤，同時還會給學(xué)生一個不應(yīng)有的誤導(dǎo)——認(rèn)為天平底板水平的調(diào)節(jié)是天平使用中可有可無的一步操作。