翟志剛

[摘要]數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)主要對象，兩者不是孤立的，而是有著千絲萬縷的聯(lián)系。在教學(xué)中，教師不能將數(shù)與形分割開來，而是要讓學(xué)生學(xué)會借助圖形分析數(shù)量之間的關(guān)系，或是利用數(shù)的分析解決形的問題，使數(shù)與形完美結(jié)合。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)思想方法;數(shù)形結(jié)合;由數(shù)思形;由形及數(shù);形數(shù)相輔

[中圖分類號]

G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020） 26-0045-02

數(shù)與形是數(shù)學(xué)學(xué)科密不可分的兩個(gè)主題，數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想方法，它包含“以形助數(shù)”“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面。簡單來說，就是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系，或者借助數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合時(shí)要遵循以下策略。

一、由數(shù)思形，柳暗花明

隨著知識深度、難度的增加，問題的抽象性逐漸增大，對于六年級學(xué)生來說，僅僅通過閱讀文字信息很難厘清題目中的數(shù)量關(guān)系。這時(shí)如果借用數(shù)形結(jié)合思想，把文字內(nèi)容抽象成具體形象的圖形，再利用圖形分析數(shù)量關(guān)系，就容易多了。

例題：六（1）班男生和女生的人數(shù)比是4：3。如果按照3名男生和2名女生為一組進(jìn)行分組，則最后會剩下2名女生。六（1）班有男、女生各多少人？

師：你們是怎樣想的，誰來說一說？

生1：我是試出來的。已知男、女生的人數(shù)比是4：3，那么可能有以下4種情況。其中第四種情況符合題意。

沒想到的是，得出結(jié)果的同學(xué)都采用了“試”的方法。這個(gè)問題初看確實(shí)無從下手，這也許是學(xué)生迫不得已采用“試”的方法的原因。但解決數(shù)學(xué)問題不能總是停留在“試”的水平，要想提高和發(fā)展學(xué)生的思維水平，教師必須從數(shù)量關(guān)系人手，引導(dǎo)學(xué)生用更“數(shù)學(xué)”的方法解決。

師：你能不能想辦法表示出男、女生之間的比例關(guān)系？（使學(xué)生明確，分組前男、女生的人數(shù)比是4：3;分成的小組中男、女生的人數(shù)比是3：2，還剩下2名女生）

生1：分組前男、女生的人數(shù)比是4：3，可用線段圖表示。

女生一

分組前：

生2：按照3名男生和2名女生為一組，男生正好分完，那么分成的小組中男、女生的人數(shù)比是3：2。

分組后：

-師：解決問題的關(guān)鍵是找出其中的變化量和不變量，大家嘗試分析一下。

生3：分組后，男生正好分完，是不變量，女生還剩下2名，是變化量，可以從分組前后女生人數(shù)的變化量入手解決問題。

分組前：

分組后：

-

根據(jù)六（1）班女生人數(shù)比小組中的女生人數(shù)多2人，可以列出方程解答。因?yàn)槟猩梅滞?，可以設(shè)男生人數(shù)為x，則六（l）班女生人數(shù)是3/4x。分組后，各小組的女生人數(shù)之和是男生人數(shù)之和的2/3，則為2/3x。故而可以列出方程3/4x一2/3=2，解之得x=24。因此，六（1）班有男生24人，女生24x-=18（人）。檢驗(yàn)：24：18=4：3，24÷3=8（組），18÷2=8（組）……2（人）。

縱觀整個(gè)解題過程，學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力還有待提高。數(shù)形結(jié)合絕不僅僅是能想到用圖形表示，其中還包含著一些基本的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，如本題中對變化量與不變量的分析、利用變化量的前后變化情況找出等量關(guān)系，從而列方程解決。

二、由形及數(shù)，化繁為簡

小學(xué)高年級中出現(xiàn)較多的是利用圖形解決問題，即利用圖形表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，尋求到解決問題的突破口。但有一些幾何問題也需要根據(jù)圖形抽象出數(shù)、數(shù)量關(guān)系，利用數(shù)來解決。

例題：王老師利用兩個(gè)相同的長方形來測量一張桌子的高度（如圖1、圖2），這張桌子的高度是多少？

圖中只給出了兩個(gè)數(shù)據(jù)，兩幅圖中都用到了兩個(gè)相同的長方形，但擺放的方式不同。解決的關(guān)鍵是尋找桌子高度與長方形的長、寬之間的關(guān)系。學(xué)生的空間想象能力不足，要找出這之間的關(guān)系有一定困難，需要教師引導(dǎo)。

解法一：看圖轉(zhuǎn)化，尋求長方形的長、寬以及桌子高度三者之間的關(guān)系

師：長方形的長、寬以及桌子的高度之間有什么關(guān)系呢？（教師將兩幅圖做了修改，如圖3、圖4）

師：同時(shí)將兩幅圖上方的長方形進(jìn)行移動(dòng)，分別得到圖3、圖4。從圖3可以看出，74cm比桌子的高度少長方形的長與寬的差;從圖4可以看出，96cm比桌子的高度多長方形的長與寬的差。因此，74cm加96cm等于桌子高度的2倍，即桌子高度為（74+96）÷2=85（cm）。

這種分析方法需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力，能在頭腦中想象出桌子高度與長方形的長、寬之間的關(guān)系。在實(shí)際教學(xué)中，僅僅有少部分學(xué)生能初步理解。

解法二：利用演繹推理證明關(guān)系

符號化是小學(xué)階段一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想。利用符號進(jìn)行推理和證明，往往可以收到意想不到的效果。為此，我嘗試讓學(xué)生利用字母表示數(shù)，從而發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系。

師：如果我們把桌子的高度設(shè)為x.長方形的長設(shè)為。，寬設(shè)為6（如圖5、圖6），你能找出等量關(guān)系嗎？ 師：圖5中，x+b-a=74……①;圖6中，x+a-b=96……②。根據(jù)等式的性質(zhì)，將①、②式的左邊和右邊分別相加，得x+b-a+x+a-b= 170，化簡得2x=170。與解法一中“74cm加96cm等于桌子高度的2倍”結(jié)論一致。

這個(gè)過程是根據(jù)圖形的描述，把圖形的關(guān)系轉(zhuǎn)化成“數(shù)”之間的關(guān)系。抽象出數(shù)量關(guān)系后，再根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行簡單的變形，即可求出答案。

對比這兩種解法，解法一是單純看圖，通過將圖形進(jìn)行變形和轉(zhuǎn)換，分析圖形之間的關(guān)系，因?yàn)閷W(xué)生空間想象能力的差距，所以多數(shù)學(xué)生難以理解“74cm加96cm等于桌子高度的2倍”;解法二兼顧了看圖和列等式兩種方法，先分別用字母表示各個(gè)部分，再從圖形中抽象出等式，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，最后通過邏輯證明得到結(jié)論。在這個(gè)過程中，學(xué)生的思維水平和能力得到了鍛煉和提升。

三、形數(shù)相輔，互為補(bǔ)益

數(shù)與形是密不可分的兩個(gè)部分，它們是一個(gè)有機(jī)整體，在教學(xué)過程中互為補(bǔ)益。

例如，在教學(xué)一年級上冊“加法和減法”時(shí)，教師很好地利用了這一策略，做到了“形”與“數(shù)”互相促進(jìn)、互相補(bǔ)益，有效促進(jìn)了學(xué)生對加法的理解。

第一階段：教學(xué)目標(biāo)主要是實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生從形到數(shù)的過渡。教師先向?qū)W生展示“3+2”的實(shí)例，如原來有3個(gè)小朋友，現(xiàn)在又來了2個(gè)小朋友，合起來一共有5個(gè)小朋友。并讓學(xué)生充分地表達(dá)這個(gè)過程。在表達(dá)的過程中，這種“合起來”的思想慢慢滲透到學(xué)生頭腦中，這也是數(shù)形結(jié)合教學(xué)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，即形的內(nèi)容要首先內(nèi)化為學(xué)生的思想，然后再過渡到數(shù)的形式。

第二階段：學(xué)生從“小朋友澆花圖”中認(rèn)識了“3+2=5”，在學(xué)習(xí)了寫法和讀法后，教師讓學(xué)生進(jìn)行發(fā)散性思考：“還有什么情況也可以用‘3+2=5表示？”這樣做的目的是讓學(xué)生結(jié)合日常生活說出與“3+2=5”意義相同的情形，激發(fā)學(xué)生利用形輔數(shù)的熱情和興趣。學(xué)生在多樣的舉例中，更加深刻地理解了“3+2=5”乃至加法的含義，做到了形變質(zhì)通。

流程如下：

這僅僅是低年級計(jì)算教學(xué)中的一個(gè)例子，對于其他的教學(xué)內(nèi)容同樣也可以采用“形一數(shù)一形”的教學(xué)流程，讓數(shù)與形真正做到密不可分。

“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！庇蓴?shù)思形、由形及數(shù)，在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要的作用，兩者不可或缺。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中借助圖形進(jìn)行描述和分析，有助于探索解決問題的方法和策略。同時(shí)，根據(jù)直觀圖形用符號表示數(shù)以及數(shù)量關(guān)系，再利用邏輯證明進(jìn)行運(yùn)算和推理，可以使一些煩瑣的幾何問題變簡單。

（責(zé)編李琪琦）