謝曙光

[摘要]教材是搞好數(shù)學教育的重要一環(huán)。因此，我們不但要求教材能符合國家發(fā)展的需要，也要求教材具有創(chuàng)新性，同時要求教材在內容編排、體例設置、封面裝幀上有一定的特色。朗文香港教育出版公司出版的《全新高中數(shù)學與生活》系列教材，發(fā)行量大、影響廣，在各方面做得比較完美。本文將它作為一個教材范本進行了比較全面的分析。

[關鍵詞]香港;教材;設置;特色

香港的中、小學數(shù)學教育成就是有目共睹的，學生在國際評價項目TIMSS和PISA中的杰出表現(xiàn)證明了這一點。數(shù)學教育成就的取得離不開課程、教材、教學、評價等重要因素。本文試圖從教材的角度來探究香港高中的數(shù)學教育。

香港現(xiàn)在使用的高中數(shù)學教材共有15種不同版本，其中8個是中文版，7個是英文版，都是根據(jù)2007年制訂的《數(shù)學教育學習領域——新高中課程及評估指引（中四至中六）》編寫的。本文探究選取的是朗文香港教育出版公司出版的《新高中數(shù)學與生活》系列教材（下文簡稱“朗文版”），這套教材在香港的影響比較大。

1 封面裝幀與教材中章節(jié)的體例設置

“朗文版”系列教材共有11本，其中必修部分有6本，延伸部分有5本。必修部分6本是《新高中數(shù)學與生活4A》《新高中數(shù)學與生活4B》《新高中數(shù)學與生活5A》《新高中數(shù)學與生活5B》《新高中數(shù)學與生活6A》《新高中數(shù)學與生活6B》（下文分別簡稱《必修4A》《必修4B》《必修5A》《必修5B》《必修6A》《必修6B》）;延伸部分5本是《新高中數(shù)學與生活單元1——微積分與統(tǒng)計1》《新高中數(shù)學與生活單元1——微積分與統(tǒng)計2》《新高中數(shù)學與生活單元2——代數(shù)與微積分l》《新高中數(shù)學與生活單元2——代數(shù)與微積分2》《新高中數(shù)學與生活單元2——代數(shù)與微積分3》（下文分別簡稱《延伸1-1》《延伸1-2》《延伸2-1》《延伸2-2》《延伸2-3》）。

每本教材的紙張接近4A紙大小，整個封面是一個與數(shù)學關聯(lián)的圖案，或建筑、或風帆、或蝴蝶等，彩色壓膜，生活氣息濃，且賞心悅目。

教材中每一章節(jié)的體例分五個層次：

（1）引旨：每章以趣味性文章作引旨，誘發(fā)學生學習該章的動機。

（2）課文：（a）定義及概念：以淺白的文字，把定義及概念清晰地表達出來;（b）公式及定理：清楚顯示重要的公式及定理;（c）活動：合適的活動，引導學生思考并建構數(shù)學概念;（d）例題：由淺入深的例題，展示不同的數(shù)學技巧;（e）交流站：透過討論，分享解難方法，交流數(shù)學理念;（f）本章摘要：列出重要詞匯、概念及公式，配以例題，輔助學生進行溫習。在這層次里，常采用不同版面設計，以識別課文的基礎課題與非基礎課題。

（3）旁欄：（a）概念測試站：以提問的方式，評估學生能否掌握所學的概念;（b）延展思考站：以提問的方式，激發(fā)學生思考并作進一步探究;（C）解題錦囊：指導學生循序漸進地解決問題;（d）備忘：提示注意事項、解難方法及技巧;（e）計算機的運用：使用計算機時的正確步驟;（f）草稿：簡短解說，以輔助學生明白例題中的步驟;（g）趣味數(shù)學：相關的生活事例及文化資訊。

（4）習題：（a）即時練習：與例題一一對應的題目，以鞏固學生的知識;（b）即進練習：綜合性題目，為學生提供進一步的練習機會;（C）課堂練習：較直接的題目，讓學生在課堂上作即時練習;（d）練習：每節(jié)后配以大量不同程度的練習，按程度分為初階及進階，并備有開放式題目;（e）總復習：章末配以大量不同程度的練習，按程度分為初階、進階、多項選擇題及公開試題目。并為能力較佳的學生提供香港數(shù)學競賽題目;（f）數(shù)學探究：透過富有趣味性的題目，培養(yǎng)學生數(shù)學解難技巧，激發(fā)學生探索與研究的興趣;（g）IT活動：按課題需要，章末提供合適的IT活動，并在光碟中備有所需的程式。

（5）其他特色：（a）綜合評估練習：綜合全冊知識的練習，讓學生在考試前掌握解答跨課綜合性題目的技巧;（b）數(shù)學的進一步應用：透過示例和個案研究，展示如何把不同范疇的數(shù)學知識，應用到現(xiàn)實的情境中;（c）點滴分享知多少：《初中數(shù)學與生活》系列同一項目的延伸。由不同范疇的學者及各界的專業(yè)人士撰寫啟發(fā)性文章，以擴展學生的視野，欣賞數(shù)學在不同范疇的應用。

2 教材的內容與編排

“朗文版”系列教材的編寫方針，是依照新課程的理念及方向，旨在建立學生的數(shù)學知識和技能，強化學生的共通能力。培養(yǎng)學生正面學習的態(tài)度和價值觀，并為學生提供個人發(fā)展及日后工作所需的數(shù)學知識。延伸部分旨在為學生提供進一步的數(shù)學知識，以配合不同學生的興趣和需要。單元一集中在統(tǒng)計及數(shù)學的應用上，為希望對數(shù)學應用有更廣闊、更深入了解的學生而設計。單元二集中在更深層次的數(shù)學上，為希望學習高等數(shù)學的學生奠下鞏固的代數(shù)與微積分基礎。香港學生可不選修延伸部分作為后續(xù)學習內容，若選修至多選修一個延伸單元。

《新高中數(shù)學與生活》系列教材將數(shù)學內容大致分為“數(shù)與代數(shù)”“函數(shù)與分析”“度量、圖形與空間”“統(tǒng)計與概率”“微積分”5大主題。教材在知識內容的組織和編寫上，采用“螺旋上升型”手法。這種編寫教材的手法主要是著眼于學生的認知規(guī)律，同一主題的內容在不同階段多次呈現(xiàn)，甚至同一分支的內容也安排在不同階段呈現(xiàn)，逐漸擴大范圍和加深程度，使學生對知識的積累和理解不斷加深和提升。這里從“數(shù)與代數(shù)”“函數(shù)與分析”“度量、圖形與空間”“統(tǒng)計與概率”“微積分”5個方面對“朗文版”系列教材的內容及編排進行介紹。

2.1 數(shù)與代數(shù)

（1）數(shù)的系統(tǒng)：《必修4A》開始就介紹了實數(shù)系統(tǒng)，包含整數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)，教材將這些知識緊密地編排，有利于建立學生對數(shù)的發(fā)展的整體認識?！侗匦?A》介紹了復數(shù)，包含虛數(shù)、復數(shù)、復數(shù)的運算。

（3）方程：《必修4A》介紹了一元二次方程，包含的內容有利用因式法、二次公式、圖象法、已知根解二次方程：還介紹了二次方程的應用、根的性質及根與系數(shù)的關系等內容。這樣編排可以讓學生從多角度了解和掌握二次方程的知識。《必修4B》介紹了利用代數(shù)方法和圖象法解二元一次、二元二次聯(lián)立方程?！侗匦?A》介紹了解可轉化為二次方程的方程，包含了高次方程、分式方程、含有平方根的方程，以及含有指數(shù)、對數(shù)的方程，可化為二次方程的應用題?！侗匦?B》介紹了用圖象法解-x³-x²+x=1這類一元三次方程，轉化為討論函數(shù)y=-x³-x²+x與y=1圖象交點的個數(shù)。由此可以看到，方程內容通過螺旋上升式的教材編寫方法，被完整地呈現(xiàn)出來。

（4）多項式：在初中已有的基礎上介紹了多項式的除法（包括長除法與除法算式）、余式定理、因式定理、利用因式定理分解多項式、多項式的最大公因式與最小公倍式、有理多項式及其運算。

（6）等差數(shù)列與等比數(shù)列：《必修6A》介紹了等差數(shù)列、等比數(shù)列、涉及等差數(shù)列與等比數(shù)列相關的問題、數(shù)列的求和法、等差數(shù)列求和法、等比數(shù)列求和法、求和公式的應用。

（8）數(shù)學歸納法：《延伸1-1》介紹了數(shù)學歸納法的原理、利用數(shù)學歸納進行證明。

（9）行列式與矩陣：《延伸2-3》介紹了矩陣、矩陣的運算、行列式、行列式的性質、方陣的逆矩陣，并介紹了用逆矩陣方法、克萊瑪法則、高斯消去法解線性方程組或齊次線性方程組。

（10）向量：《延伸2-3》介紹了向量的基本概念、向量的運算與性質、二維或三維空間上的向量、線段的分點、兩個向量的純量積、兩個向量的向量積（包含了三維坐標系中的向量積及純量三重積）、向量的投影、利用向量求面積及體積。

2.2 函數(shù)與分析

（1）函數(shù)及其圖象：《必修4A》介紹了函數(shù)、函數(shù)的記法、一些常見的函數(shù)（包括常值函數(shù)、線性函數(shù)、二次函數(shù)）、二次函數(shù)的極值;《必修5B》介紹了一元二次函數(shù)圖象的平移，或沿x軸、y軸反射。

（2）指數(shù)與對數(shù)函數(shù)：《必修4A》介紹了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)。介紹指數(shù)函數(shù)時，從最簡單的根式及有理指數(shù)講起，接著介紹指數(shù)方程、指數(shù)函數(shù)及其圖象;介紹對數(shù)時，從常用對數(shù)定義、特性講起，接著介紹了對數(shù)方程、對數(shù)的應用（包括聲強級、黎克特制、對數(shù)變換）、以任意數(shù)為底的對數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象及其特征、對數(shù)概念的發(fā)展史。把數(shù)學史有機滲透到教材內容中，是“朗文版”的一大特色;《延伸1-1》與《延伸2-1》均重點介紹了以e為底的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、e^x的展開式及應用、涉及e的自然對數(shù)方程，《延伸1-1》還介紹了復利、指數(shù)增長與指數(shù)衰變、對數(shù)變換（包含了冪函數(shù)y=kx²模型、指數(shù)函數(shù)y=ka^x模型）;《必修5B》進一步介紹了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象，討論了函數(shù)的單調性性質。

（3）變分：《必修4B》介紹了形如y=kx、y=kx³、

2.3 圖形與空間

（1）圓的基本性質：《必修5A》介紹了圓的基本名字、圓上的弦、圓上的角、弧、弦和角的關系、圓內接四邊形、共點圓、圓的切線。

（2）軌跡：《必修5A》介紹了軌跡的概念、描述及繪畫軌跡、軌跡的代數(shù)方程。

（3）直線的方程：《必修4A》介紹了根據(jù)給定的一點及斜率求直線的方程、根據(jù)給定的兩點求直線方程、直線方程的一般式、兩直線相交的各種情況。

（4）圓的方程：《必修5A》介紹了標準式、一般式以及其他求圓的方法。

（5）線性規(guī)劃：《必修5B》介紹了二元不等式及其圖象、利用圖象法解聯(lián)立二元一次不等式、線性規(guī)劃、線性規(guī)劃的應用。

2.4 統(tǒng)計與概率

（1）排列與組合：《必修5B》介紹了計數(shù)的基本原理、排列、組合。

（2）概率的集合記法與基本定律：《必修5B》介紹了有關概率的集合記法、加法定律、乘法定律、使用排列組合解概率問題。

（3）離差的度量：《必修6A》介紹了離差的度量，內容包括離差的度量、分布域及四分位數(shù)間距、框線圖、標準差、使用適當?shù)亩攘勘容^離差、標準差的應用、數(shù)據(jù)的變化對離差的影響。

（4）統(tǒng)計的應用及誤用：《必修6A》介紹了簡單抽樣及數(shù)據(jù)的收集、統(tǒng)計調查方法的誤用、閱讀調查報告。

（5）條件概率：《延伸1-2》介紹了條件概率的概念、概率的乘法定律和獨立事件的概率、貝葉斯定理及其應用。

（6）離散概率分布：《延伸1-2》介紹了隨機變量、離散概率分布及其表示方法、離散隨機變量的期望值和方差。還介紹了一些特殊的離散概率分布，包含的內容有伯努利分布、二項分布、幾何分布、泊松分布、選用適當?shù)母怕史植冀馍钪械膯栴}。

（7）正態(tài)分布及其應用：《延伸1-2》介紹了連續(xù)隨機變量的概念、正態(tài)分布、正態(tài)變量的標準化、正態(tài)分布的應用。

（8）點及區(qū)間估計：《延伸1-2》介紹了統(tǒng)計推論簡介、樣本平均值的抽樣分布、點估計、區(qū)間估計。

2.5 微積分

（2）微分：《延伸2-2》介紹了導數(shù)（包括曲線的斜率、函數(shù)的導數(shù)）、微分法的基本原則、復合函數(shù)、反函數(shù)及隱函數(shù)的微分法：同時介紹了三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)微分法、二階導數(shù);接著介紹了微分法的應用，內容包括曲線的法線與切線、局部極值及一階導數(shù)判別法、函數(shù)的凸性及二階導數(shù)判別法、曲線的描繪、全局極值與最優(yōu)化問題、變率。

（4）定積分：《延伸2-2》介紹了定積分法、利用代換積分法求積分、利用分部積分法求積分、定積分的性質（包含奇、偶函數(shù)的定積分與周期函數(shù)的定積分）、利用定積分求平面圖形的面積、利用圓盤法求旋轉體的體積、利用外殼法求旋轉體的體積。

3 特色

認真翻閱“朗文版”系列教材，覺得特色頗多，比如教材編寫方法是螺旋式上升型、內容具有濃郁的生活氣息、體現(xiàn)了數(shù)學文化的有機滲透、突顯了信息技術的綜合運用等。隨著數(shù)學教育的改革和發(fā)展，這些特色都成了各國（或地區(qū)）數(shù)學教材的共性了。下面從另外一些角度來分析“朗文版”系列教材的特色。

3.1 教材中章節(jié)的體例設置層次分明、豐富多彩

從上文敘述已經知道，教材內每一章節(jié)的體例一般設置為5個層次。只要翻開任一本教材中的任一章節(jié)，這5個層次都是清晰明了的。例如《必修4A》第3章第l節(jié)一一函數(shù)簡介，主旨是體重指數(shù)與函數(shù)：先給出一個人站在電子稱上稱體重的彩色圖片，圖下文字指出體重指標等于個人的體重（以kg為單位）除以其身高（以m為單位）的平方。醫(yī)生根據(jù)這個公式提供的數(shù)據(jù)，可以分辨病人是否患上與體重相關的疾病。這里的體重指標BMI事實上是一個含兩個變量的函數(shù)。這個主旨講的是生活中的實際例子，說明數(shù)學與生活是緊密相聯(lián)的。引人入勝，學生會急于想了解有關函數(shù)的知識。這一節(jié)開始時，書中給出一張彩色卡通圖，圖中說的是臺下兩個歌迷討論臺上歌星的收入，其中一個說歌星的收入與歌迷人數(shù)有關：接著書中給出三個正方形，邊長分別為1cm、2cm、3cm，求它們的周長;到此書中又給出一張彩色卡通圖，直觀地指出函數(shù)就是一個數(shù)字機器，左邊輸入x值，右邊輸出y值。如此三番四次地鋪墊和引申后，教材才定義函數(shù)、自變量、應變量、定義域、值域。這些彩色卡通圖很接近學生平時玩樂游戲的內容，給出的素材來源于生活，都是學生喜聞樂見的。后面給出了2個例子1個例題，說明函數(shù)的三種表示方法。這一節(jié)旁欄有5處，其中趣味數(shù)學講的是首次提出函數(shù)概念的人是萊布尼茲，并簡單介紹了萊布尼茲的生平，附了萊布尼茲的小幅彩色畫像：延展思考站要學生看y²=x的圖象，問x是否為y的函數(shù)，為什么？另有三處是文字形式的旁注。本節(jié)有即時練習1個，課堂練習4個，課外練習12，章末還編排了與之相關的不少練習題。這一章的數(shù)學探究是求二次函數(shù)的頂點坐標：IT活動是在幾何畫板中畫二次函數(shù)的圖象，讓學生研究其特征，并給出了4個相關的問題。這樣編排不僅鞏固和提高了學生所學的知識，還培養(yǎng)了學生思考問題的習慣和探究數(shù)學的能力?？v觀這一章的架構與體例設置，編排靈活多樣，內涵豐富多彩，很符合學生的思維習慣和認知規(guī)律。這種架構和編排，大陸幾個版本的教材都沒做到這樣完善與完美。

3.2 注重知識的系統(tǒng)性和內在聯(lián)系

3.3 傳統(tǒng)幾何內容的組織與呈現(xiàn)別具一格

一般認為，初等數(shù)學中的傳統(tǒng)幾何內容只包含平面幾何（歐氏幾何）、立體幾何、解析幾何，不包括三角函數(shù)與向量。

“朗文版”在“圖形與空間”這個主題下，平面幾何包含了圓的基本性質與圓的切線，內容比較完整。大陸“人教版”選修教材也介紹了平面幾何中圓的相關概念與陸質?！侗匦?B》《必修5A》在“數(shù)學的進一步應用”中，分別介紹了梅涅勞斯定理及應用與托勒密定理及應用。這些內容在“人教版”教材中是沒有的，一般屬于數(shù)學競賽內容。解析幾何內容包含了直線方程、線性規(guī)劃、圓方程、簡單的軌跡。在“軌跡”這一章的“點滴分享知多少”中。研究了太空船的軌道，指出軌道是橢圓，地球到月球的直線距離是這個橢圓的長軸長，但沒進一步研究橢圓的方程與性質。“人教版”選修教材介紹了橢圓、雙曲線、拋物線的方程與性質以及極坐標與參數(shù)方程，這些內容是歷屆高考的重點與難點。立體幾何內容O呈現(xiàn)，有關長方體、柱體、錐體的表面積與體積等內容早已下放到了初中教材，“人教版”中有關空間幾何體的直觀圖與三視圖、直線與直線平行或垂直、直線與平面平行或垂直、平面與平面平行與垂直、異面直線等內容，香港近30年的高中數(shù)學課程與教材一直都沒有呈現(xiàn)過。比較臺灣、日本、美國的高中數(shù)學教材，對立體幾何內容的處理與香港類似，但二次曲線的內容仍是其核心知識。

3.4 注重習題的等級性，滿足多樣性需求

從上文述評可以看出，“朗文版”在習題的設置上劃分了7個類別，若從知識與能力的范疇來劃分，又可以劃分為4個層次。

“朗文版”系列教材是根據(jù)香港數(shù)學教育的多元性目標而設計習題的，因而可以滿足多樣性需求。這些習題都是經過精心設計和挑選的，不人為地制造偏題、怪題，強化了學生對基礎知識和基本技能的掌握和數(shù)學的應用價值，具有一定的數(shù)學教育的導向性。