袁亭玉 李曉麗

[摘要]本文主要介紹跨越邊界研究理論在目前數(shù)學(xué)建模的教與學(xué)中的應(yīng)用。首先論述了跨越邊界的涵義以及中學(xué)實(shí)施數(shù)學(xué)建模存在的許多困難，其次指出跨越邊界理論為中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)帶來的一些創(chuàng)新之處;最后針對(duì)教師和學(xué)生在參與數(shù)學(xué)建模時(shí)自身知識(shí)不足的問題，結(jié)合跨界研究的理論給出中學(xué)數(shù)學(xué)建模實(shí)施的可行性建議。

[關(guān)鍵詞]跨越邊界理論;中學(xué)數(shù)學(xué)建模教與學(xué);建模實(shí)施困難

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)重視培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，但卻忽視了數(shù)學(xué)本身的實(shí)際應(yīng)用性，使得學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)脫離現(xiàn)實(shí)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只為應(yīng)對(duì)考試等想法。我們知道數(shù)學(xué)建模具有可以發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)能力的特性，因而很多學(xué)者都倡導(dǎo)在中學(xué)實(shí)施數(shù)學(xué)建模。2017年高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)將數(shù)學(xué)建模列為六大核心素養(yǎng)之一，可見發(fā)展中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的重要性。

然而目前數(shù)學(xué)建模并未得到很好的實(shí)施，造成這一現(xiàn)象的原因是多方面的。其中我們應(yīng)該知道數(shù)學(xué)建模是一個(gè)開放性的過程，建模問題本身涉及多學(xué)科多領(lǐng)域知識(shí)。因而它具有促進(jìn)多學(xué)科共同工作的內(nèi)在特質(zhì)，并且對(duì)于教授建模的教師和進(jìn)行建模的學(xué)生來說也是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)本文基于建模的這一特質(zhì)，介紹跨越邊界理論在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，希望能為將要進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的教師提供一點(diǎn)幫助。

1 跨越邊界理論

Star和Griesemer認(rèn)為：“對(duì)于合作或成功開展工作而言，達(dá)成共識(shí)不是必須的”。因?yàn)椴煌膶?shí)踐團(tuán)體擁有不同的知識(shí)基礎(chǔ)，對(duì)于問題的有效解決而言，多樣性的觀點(diǎn)是重要的，因而多學(xué)科多領(lǐng)域合作成為必然。但不同研究界對(duì)同一現(xiàn)象有不同表征，這種差異是由不同學(xué)科教學(xué)模型的目標(biāo)所決定的，這就使得在進(jìn)行合作解決問題時(shí)來自不同研究界的實(shí)踐團(tuán)體可能會(huì)存在交流溝通的障礙。所以我們需要在他們各自所掌握的知識(shí)與元知識(shí)之間架起一座橋梁，從而實(shí)現(xiàn)不同團(tuán)體間的交流溝通，這個(gè)過程就是一個(gè)跨越研究邊界的過程。

跨越研究邊界從而實(shí)現(xiàn)多領(lǐng)域多學(xué)科合作解決問題的前提是要進(jìn)行邊界識(shí)別。所謂邊界識(shí)別首先要區(qū)分這些邊界是隱含的還是明確的，然后找到對(duì)應(yīng)的邊界對(duì)象。邊界對(duì)象可以看作是不同研究領(lǐng)域之間的一種翻譯手段。盡管有些知識(shí)在不同的研究界中有不同的含義，但是通過邊界對(duì)象的翻譯功能，不同領(lǐng)域的研究人員就可以相互交流想法，從而合作推進(jìn)科學(xué)知識(shí)，促進(jìn)問題解決。

邊界識(shí)別是一個(gè)復(fù)雜的過程，需要專業(yè)的研究人員正確進(jìn)行識(shí)別，然后才能引導(dǎo)多學(xué)科，多領(lǐng)域研究團(tuán)體合作，但這并不是本文的關(guān)注重點(diǎn)。我們所關(guān)注的是如何將跨界理論應(yīng)用到數(shù)學(xué)建模的教學(xué)中，為建模真正得到實(shí)施提出一點(diǎn)建議。

2 數(shù)學(xué)建模實(shí)施現(xiàn)狀及影響因素

數(shù)學(xué)建模能力是中學(xué)生應(yīng)該具備的能力之一。普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）中已經(jīng)把建模列為六個(gè)核心素養(yǎng)之一并提出了以下要求：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)：學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn);認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會(huì)、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神?？梢姅?shù)學(xué)建模對(duì)培養(yǎng)中學(xué)生解決問題能力的重要性。但是。目前數(shù)學(xué)建模在我國中學(xué)并沒有得到很好的實(shí)施。影響數(shù)學(xué)建模真正進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂的因素主要有以下幾點(diǎn)：

第一，課程標(biāo)準(zhǔn)雖然提到要培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，但并沒有給建模安排具體的課時(shí)，更沒有提供有關(guān)建模的教材和教參。因而學(xué)校也沒有單獨(dú)設(shè)置建模課程。

第二，尋找建模活動(dòng)資源的困難。能適合中學(xué)生水平且能結(jié)合課本教學(xué)內(nèi)容的建模問題不多，開發(fā)這樣的問題也不十分容易，使得有心嘗試者有“巧婦難為無米之炊”之感。

第三，時(shí)間和課程內(nèi)容的限制。建模過程是相對(duì)復(fù)雜的，解決建模問題所需要耗費(fèi)的時(shí)間也相對(duì)較長(zhǎng)。中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容多，學(xué)時(shí)少，完成教學(xué)計(jì)劃已經(jīng)很緊張，還要應(yīng)對(duì)中考、高考，沒有太多時(shí)間來解決建模問題。因而如何能夠合理安排建模教與學(xué)的時(shí)間是一個(gè)問題。

第四，教師與學(xué)生知識(shí)不足。數(shù)學(xué)建模的問題常常是未經(jīng)數(shù)學(xué)抽象和轉(zhuǎn)化的“原坯”型問題，在建模步驟中不僅要求相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還要涉及許多非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)和方法，這不僅對(duì)學(xué)生，而且對(duì)教師都會(huì)造成知識(shí)和方法上的障礙。部分教師雖然已經(jīng)意識(shí)到建模對(duì)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)能力的重要性。但他們由于自身知識(shí)不足。沒有足夠的建模經(jīng)驗(yàn)與建模能力。從而也會(huì)影響建模的實(shí)施。

3 跨界研究為中學(xué)數(shù)學(xué)建模教與學(xué)帶來的創(chuàng)新

數(shù)學(xué)建模進(jìn)入課堂需要跨界理論的支持。目前。很多國家和地區(qū)已經(jīng)提倡將數(shù)學(xué)建模納入課程，并且在我們國家數(shù)學(xué)建模進(jìn)人中學(xué)數(shù)學(xué)課堂也逐漸成為一種趨勢(shì)。但基于建模問題的自身特質(zhì)，中學(xué)生所學(xué)到的知識(shí)有限，在解決建模問題時(shí)往往需要腳手架的支撐，教師需要事先提供給學(xué)生多領(lǐng)域的知識(shí)作為成功解決問題的輔助。這一點(diǎn)不僅在學(xué)生身上有體現(xiàn)。對(duì)教師來說同樣如此。因此將跨越邊界理論應(yīng)用到數(shù)學(xué)建模就顯得尤為重要，其創(chuàng)新之處主要體現(xiàn)在以下幾方面：

3.1 跨越學(xué)科邊界

多學(xué)科互動(dòng)是跨界理論應(yīng)用的一種形式。在某種意義上，它能夠促進(jìn)建模和探究的過程。因此可以應(yīng)用到中學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的過程中。下面的例子也可以很好地說明這一點(diǎn)。

電影《美人魚》中有這樣一段情節(jié)：一群人開槍射擊水下的美人魚，為了能夠射中美人魚，需要知道從開槍位置到美人魚的距離。因此，潛水員拿著手電筒跳下水觀測(cè)水下情況。由生活常識(shí)以及電影情節(jié)可以得到，潛水員的手大約長(zhǎng)15cm，眼睛到手的距離大約為50cm，美人魚的長(zhǎng)度約為225cm。根據(jù)電影中的角度可以抽象出如圖1所示的模型：

從而根據(jù)速度來判斷子彈能不能對(duì)美人魚造成傷害。

這個(gè)例子實(shí)際上就是一個(gè)對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的過程?；诙鄬W(xué)科互動(dòng)理論。在課堂教學(xué)以及教師的實(shí)踐中，數(shù)學(xué)教師可以和物理老師合作，把一個(gè)豐富的應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)有吸引力的活動(dòng)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)和應(yīng)用有助于揭示實(shí)際情況的基本結(jié)構(gòu)的具體策略、概念和技能時(shí)，體驗(yàn)建模過程的一些要素。

3.2 跨越課堂內(nèi)外邊界

Sala、Font、Gimenez和Barquero做了這樣一項(xiàng)研究：針對(duì)12-14歲的學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)教學(xué)序列，給學(xué)生安排關(guān)于羅馬劇院背景的建模任務(wù)。在學(xué)生進(jìn)行建模的過程中老師帶領(lǐng)學(xué)生一同參觀在巴達(dá)洛納發(fā)現(xiàn)的羅馬劇院的遺址，并且博物館的考古學(xué)家向?qū)W生介紹了最初的歷史情況，并提供有關(guān)遺址的一些歷史文獻(xiàn)，因而學(xué)生可以通過領(lǐng)域?qū)＜医佑|到一些領(lǐng)域知識(shí)。通過該研究表明通過數(shù)學(xué)和歷史的不斷辯證可以促進(jìn)建模過程的發(fā)展。因而。在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)教師可以帶領(lǐng)學(xué)生走出傳統(tǒng)的課堂，讓學(xué)生親身體會(huì)，激活課堂中學(xué)到的內(nèi)容，用數(shù)學(xué)建模的方法來探索城市生活中的各種有趣問題，使枯燥乏味的數(shù)學(xué)知識(shí)有豐富的附著點(diǎn)和切實(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有更加深刻的意義。

我們把這種學(xué)習(xí)方式叫做數(shù)學(xué)城市漫步，這一概念是由Buchholt提出的，其含義是跨越課堂內(nèi)外邊界的數(shù)學(xué)徒步旅行，這是一種基于城市生活的數(shù)學(xué)建模。比如說，如何估計(jì)所在城市中診所或電影院的數(shù)量？如何運(yùn)用數(shù)學(xué)方法計(jì)算通過隧道的最大交通流量？預(yù)測(cè)信號(hào)燈綠燈持續(xù)時(shí)間是否足夠讓你通過十字路口？這些都是城市生活中常見而有趣的建模問題。解決這些問題需要涉及到非常廣泛的知識(shí)，并能夠讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)在城市生活中所起的重要作用。

同時(shí)這也是一種可以促進(jìn)教學(xué)的方法。實(shí)施這一方法要注意教師應(yīng)該仔細(xì)選擇任務(wù)以匹配學(xué)生的認(rèn)知技能。這些任務(wù)應(yīng)該包含特定于數(shù)學(xué)主題的基本思想。進(jìn)行數(shù)學(xué)城市漫步有以下兩方面的優(yōu)點(diǎn)：一方面，可以為學(xué)生提供應(yīng)用已知數(shù)學(xué)知識(shí)的機(jī)會(huì)以及可以激勵(lì)學(xué)生參與實(shí)際應(yīng)用的實(shí)踐;另一方面，教師還可以診斷學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用情況。

3.3 跨越文化邊界

民族建模是以民族數(shù)學(xué)為載體，通過對(duì)在不同文化群體成員的日常生活中發(fā)現(xiàn)、使用、實(shí)踐和呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和過程進(jìn)行研究，并運(yùn)用這種思想方法把實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化的過程。這里有一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：在巴西有一種三角墻屋頂，屋頂由中心的屋脊以及兩邊的兩個(gè)由瓦片制成的斜面組成?；緲?gòu)造如圖2所示：

屋頂承包商在建造屋頂時(shí)必須計(jì)算三角墻的高度H，根據(jù)當(dāng)?shù)匚蓓斀ㄔ斓囊?。屋頂斜面的坡度比例至少?0%。因而當(dāng)?shù)毓ゎ^會(huì)使用屋頂?shù)拈L(zhǎng)度L以及坡度來計(jì)算三角墻的高度。比如：L=Sm，則工頭會(huì)選用a=4m來進(jìn)行計(jì)算，然后用。乘以屋頂?shù)钠露染偷玫綁Φ母叨?，也就是ax30%=H。

通過這個(gè)實(shí)例可以看出每個(gè)文化團(tuán)體都有獨(dú)特的價(jià)值觀和標(biāo)準(zhǔn)。具體來說，不同文化群體的成員，有獨(dú)特的數(shù)學(xué)思維方式和思想方法。對(duì)于建模來說，這是非常有價(jià)值的。但是在當(dāng)?shù)睾驼w化背景的相互作用下，不同文化群體的成員對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的表征也有較大差別。更形象地說。數(shù)學(xué)語言可能不再是一種通用的語言，而是成為一種方言。不同文化群體會(huì)使用獨(dú)特的文化來反映數(shù)學(xué)問題。所以，只有通過跨界研究，使用邊界對(duì)象作為一種不同表征之間的翻譯手段，使得民族建?？梢詰?yīng)用于教學(xué)，成為一種教學(xué)工具，考驗(yàn)與豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)，鍛煉與培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力或者綜合能力。

3.4 教師專業(yè)發(fā)展團(tuán)體

建模教學(xué)是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的工作。有些教師可能會(huì)缺乏信心，認(rèn)為自己沒有足夠的能力開展建模教學(xué)，那么應(yīng)用我們的跨界理論可以有效避免這一點(diǎn)。

Mousoulides、Nicolaidou和Evagorou做了這樣一項(xiàng)調(diào)查：為了研究跨界理論對(duì)教師設(shè)計(jì)和實(shí)施基于探究的建模問題的知識(shí)和技能的影響。他們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)三層專業(yè)學(xué)習(xí)團(tuán)體，這個(gè)團(tuán)體由學(xué)生、教師和家長(zhǎng)、研究人員和教師教育者組成。我們把這種跨越團(tuán)體界限形成的學(xué)習(xí)團(tuán)體叫做教師專業(yè)發(fā)展團(tuán)體。研究結(jié)果表明，通過參與這個(gè)學(xué)習(xí)團(tuán)體，教師提高了建模教學(xué)的知識(shí)并改進(jìn)了他們的建模教學(xué)方法。從關(guān)注日常實(shí)施困難的細(xì)節(jié)轉(zhuǎn)變?yōu)樾蕾p引模（模型引出）活動(dòng)在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方面的實(shí)質(zhì)性貢獻(xiàn)，從而逐漸提高了他們?cè)诮淌诨诮５膹?fù)雜任務(wù)方面的自信心，并在設(shè)計(jì)建?；顒?dòng)時(shí)變得更有動(dòng)力。除此之外，它還增加了專業(yè)學(xué)習(xí)團(tuán)體中所有不同群體之間的交流與合作。

4 結(jié)論與建議

數(shù)學(xué)建模進(jìn)人中學(xué)數(shù)學(xué)課堂仍然面臨著很多的挑戰(zhàn)這些問題涉及到多個(gè)方面的因素。雖然跨界理論并不能完全解決這些復(fù)雜的問題。但通過應(yīng)用跨界理論于數(shù)學(xué)建模中?？梢詫?shí)現(xiàn)多學(xué)科多領(lǐng)域研究人員合作。這不僅有助于學(xué)生提高知識(shí)量，認(rèn)識(shí)到建模的意義，對(duì)解決建模問題確實(shí)能夠起到一定作用。另一方面，通過跨越研究邊界的方式。使得教師與其他研究界的學(xué)者形成學(xué)習(xí)團(tuán)體共同合作，可以增加教師進(jìn)行建模指導(dǎo)的信心，從而促進(jìn)建模的實(shí)施，這也是促使數(shù)學(xué)建模進(jìn)人中學(xué)課堂的第一步。