何建安　王玉宏

摘 要：向量又稱之為矢量、歐幾里得向量，區(qū)別于數(shù)量，是一種帶有方向和大小的量。其數(shù)學(xué)符號一般表達(dá)為帶有箭頭的線段，箭頭表示向量的方向，線段長短表示向量的大小。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，向量的應(yīng)用是非常關(guān)鍵的。原因是其數(shù)形結(jié)合的特點可以使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單化、清晰化以及系統(tǒng)化，對于幫助理清解題思路、探求解題方法具有積極作用。因此，在高中課堂教學(xué)中，如何幫助學(xué)生在解題過程中合理地應(yīng)用向量，進(jìn)而更好地提高教學(xué)效率與教學(xué)質(zhì)量，是教師們所要面臨的重要問題。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);向量教學(xué);有效方法

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】B? ? 【文章編號】1008-1216（2020）05B-0125-02

向量作為一種數(shù)學(xué)符號，在我國高中數(shù)學(xué)應(yīng)用中非常廣泛的。由于其具有方向性與數(shù)量性的雙重特點，在進(jìn)行復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算或是解析立體幾何時具有簡化結(jié)構(gòu)流程、梳理解題方法以及明確數(shù)據(jù)變量的作用，對于明確思路、探求方法以及提高效果作用積極。比如在幾何應(yīng)用中，向量可以很好的反應(yīng)各個點、線、面之間的聯(lián)系，起到替代定量的作用，為學(xué)生更好地解題求量提供了便捷。在代數(shù)運(yùn)算中，向量的應(yīng)用可以將復(fù)雜的公式簡單化，創(chuàng)新解題方法、提高解題效率，是代數(shù)運(yùn)算中的一種重要工具。對于教師而言，有效地應(yīng)用向量教學(xué)，可以幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)成績、發(fā)散學(xué)生思維以及開發(fā)學(xué)生智力，同時對于提高教學(xué)質(zhì)量以及拓展學(xué)生思路也具有積極作用。現(xiàn)階段，我國高中數(shù)學(xué)教學(xué)中向量的應(yīng)用存在一些問題，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不足，缺乏向量應(yīng)用的意識。

一、概念及以及意義

向量作為一種數(shù)學(xué)工具，由于其多樣性的特點，可以使數(shù)學(xué)與其他學(xué)科形成緊密的聯(lián)系，使不同學(xué)科之間具備互通性與相容性的特點。比如說在物理應(yīng)用中，離心加速度的計算以及表示方法就很好地應(yīng)用了向量的概念。還有進(jìn)行表示物體的位移以及衛(wèi)星運(yùn)行軌跡等問題上也有效的融入了向量的概念。由于向量具有空間性與數(shù)量性的特點，在立體幾何與代數(shù)運(yùn)算的教學(xué)中具有非常重要的應(yīng)用價值。比如在立體幾何中，向量是以空間基礎(chǔ)作為基點，利用線段與箭頭的方式，反映出位置變量的形態(tài)，具有數(shù)形結(jié)合的重要特點。在立體幾何圖形中，將向量合理的引入，可以有效地反應(yīng)點與點、線與線以及面與面之間的空間位置以及聯(lián)系，是未知變量能夠更具形象化與清晰化，進(jìn)而使學(xué)生更好地明白題目中各個變量的關(guān)系，為解題提供幫助。在代數(shù)運(yùn)算中，由于多數(shù)計算過于繁瑣，單純數(shù)量的計算具有一定的局限性。向量的有效帶入可以使復(fù)雜公式簡單、明了化，進(jìn)而提高解題的正確率與便捷性，對于我國高中數(shù)學(xué)教學(xué)意義重大。

二、重要應(yīng)用

（一）代數(shù)中的應(yīng)用

在代數(shù)應(yīng)用中引入向量概念，可以提供很好地解題思路，優(yōu)化解題方法，使復(fù)雜的解題過程更加簡單化、清晰化以及明了華，對于提高教學(xué)效率，改善教學(xué)質(zhì)量，幫助學(xué)生建立起科學(xué)、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維以及變量應(yīng)用意識效果顯著。同時對創(chuàng)新教育方法、變量應(yīng)用的科學(xué)化、高效化引用教學(xué)作用積極，也是我國高中數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵組成。

以人教版高一數(shù)學(xué)必修課課后作業(yè)為例，其中有一道題目是關(guān)于向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用題目。

例題1：已知cosα+cosβ-cos（α+β），對兩個銳角α與β的值進(jìn)行計算。

解析過程如下：由題意得（1-cosβ）cosα+sinβsinα=3/2-cosβ。

設(shè)=（1-cosβ，sinβ），=（cosα，sinα），那么*=3/2-cosβ。

則||*||=。

因為|*|≤||*||，所以|3/2-cosβ≤。

那么cosβ=1/2，根據(jù)上述公式便可以求出β=π/3，將其帶入原公式中，便可得出最終結(jié)構(gòu)。

在題目當(dāng)中運(yùn)用向量巧妙地代替了1-cosβ，sinβ。使三角函數(shù)的復(fù)雜公式變?yōu)榱撕唵蔚臄?shù)學(xué)求解，將復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行了優(yōu)化與簡列。響亮的運(yùn)用能夠提高解題效率，讓學(xué)生掌握新的解題思路，使解題方式新穎、便捷并且高效，對于創(chuàng)新解題方式、提高教學(xué)效率有著積極作用的。

以人教版高二數(shù)學(xué)必修課課后作業(yè)為例，其中有一道題目是關(guān)于向量在代數(shù)不等式的應(yīng)用題目。

例題2：對公式

進(jìn)行證明。

解析：從不等式的左邊 ，設(shè)向量a=（x-2，3），b=（5-x，1），進(jìn)而證明不等式成立。

通過這種方法可以得出：運(yùn)用三角函數(shù)解析的話，數(shù)據(jù)公式較為繁瑣，其出錯率較高，而運(yùn)用向量a=（x-2，3），b=（5-x，1）可以有效的簡化公式，使計算方法變得簡單、高效?？梢运愠鱿蛄吭谌呛瘮?shù)的運(yùn)用中起到了重要的支持作用。

（二）幾何中的應(yīng)用

立體幾何是一種空間感較強(qiáng)，解題思路較為繁瑣的題目。科學(xué)、合理地引用向量解題可以使解題過程更加簡捷化、清晰化，對于有效分析立體幾何中的圖形關(guān)系，探尋各個點、線、面之間的幾何關(guān)系效果顯著，在我國高中幾何教學(xué)中的應(yīng)用意義重大。

以人教版高二數(shù)學(xué)必修課課后作業(yè)為例，其中有一道題目是關(guān)于向量在立體幾何匯總的應(yīng)用題目。

【例題】如下圖中線段SAD和SBC垂直，求相鄰側(cè)面SAB與SAD的夾角。

解析：以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系Oxyz，使Oy∥AB，Ox∥AD。

設(shè)正方形邊長是2a，高是h，那么=（-a，a，h），=（2a，0，0），設(shè)平面SAD的一個法向量為n1=（x，y，z）。由于n1⊥，同時n1⊥，所以n1=（0，-h，a），又因為=（2a，0，0），=（-a，-a，h），由此可知SBC的一個法向量n2=（0，-h，-a），求出n1=（0，-1，-1），n2=（0，-1，-1）。

面SAB的法向量n3=（1，0，1），所以cos=n2n3/|n2||n3|=-1/2。最終得出結(jié)論，SAB與SAD面夾角為120°。

上述解題方法主要是通過將面與面質(zhì)量的數(shù)量夾角轉(zhuǎn)變?yōu)樽兞繆A角，如此一來，便可節(jié)省平面角度之間的轉(zhuǎn)換。使立體幾何面與面之間的夾角轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€矢量之間的夾角，進(jìn)而優(yōu)化解題過程，明晰解題思路，同時對提高解題效率，創(chuàng)新解題方法效果顯著。

三、實施方法

向量在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用效果是顯而易見的，在數(shù)學(xué)解題過程中起到的作用也是非常巨大的。因此，將向量科學(xué)、合理地融入高中課堂教學(xué)，幫助學(xué)生建立向量運(yùn)用意識，使其成為一種數(shù)學(xué)習(xí)慣，對學(xué)生成績的提高以及教學(xué)發(fā)展意義重大。為了使向量應(yīng)用于課堂教學(xué)形成有效結(jié)合，通過分析與探討可以總結(jié)為以下三點：一是提高向量應(yīng)用的重視程度，教師首先要重視向量在解題中的有效應(yīng)用。將向量作為一種解題思路，正確、合理地進(jìn)行應(yīng)用。其次，進(jìn)行案例的實際教學(xué)。例如在進(jìn)行三角函數(shù)有關(guān)題目的解答時，通過運(yùn)用對比的方式，先使用一般的方法進(jìn)行解析，再引入向量的方法進(jìn)行解析。

然后對比兩者之間的差異性，以此提高向量應(yīng)用的價值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使向量能夠更好地應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)。三是注重向量的教學(xué)方法，使向量的教學(xué)能夠更具專業(yè)化、系統(tǒng)化以及高效化。比如采用分組教學(xué)以及小組競爭的形式，老師先將問題提出，然后讓學(xué)生進(jìn)行探討學(xué)習(xí)。以此來提高教學(xué)效率，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使向量教學(xué)能夠與課堂教學(xué)形成有效的融合，進(jìn)而提高我國高中教學(xué)的教學(xué)質(zhì)量。

向量教學(xué)在我國高中數(shù)學(xué)課程中占有很重要的地位，因此，應(yīng)更好地將向量概念引入數(shù)學(xué)課堂中，應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題中，這對提高教學(xué)效率、降低教學(xué)難度以及創(chuàng)新解題技巧具有積極作用，也是對教學(xué)方法的重要創(chuàng)新。

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