【摘 要】體積與容積是兩個(gè)抽象的概念，為了抓住概念本質(zhì)，促進(jìn)概念內(nèi)化，教師在教學(xué)中可以利用比較的方法，引導(dǎo)學(xué)生在比較中感知、理解并掌握體積與容積的概念，從而培養(yǎng)他們的空間思維能力，同時(shí)挖掘數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中蘊(yùn)含的育人內(nèi)容和屬性，把德育巧妙地貫穿在知識(shí)的學(xué)習(xí)中。

【關(guān)鍵詞】體積與容積;空間能力;比較

【作者簡介】韓東，高級(jí)教師，安徽省教壇新星，淮北市小學(xué)數(shù)學(xué)“韓東名師工作室”首席名師，淮北師范大學(xué)碩士生導(dǎo)師、兼職教授。

著名數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾指出，幾何是對(duì)空間的把握。這個(gè)空間是兒童生活、呼吸和運(yùn)動(dòng)的空間。在這個(gè)空間里，兒童必須學(xué)會(huì)去了解、探索、征服，從而能更好地在其中生活、呼吸和運(yùn)動(dòng)。[1]11可見空間觀念的發(fā)展對(duì)學(xué)生來說有著重要的作用。如何有效地培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力呢？教育家烏申斯基曾說過：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來理解世界上的一切的。”[2]因此，教師在教學(xué)中善用比較有利于學(xué)生建立空間觀念，加深概念的理解，促使知識(shí)的融會(huì)貫通。筆者以北師大版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊“體積與容積”一課為例，對(duì)此進(jìn)行研究。

一、教學(xué)分析

（一）教學(xué)疑難點(diǎn)剖析

在教學(xué)中，很多教師都有這樣的共識(shí)：立體圖形要比平面圖形更難讓學(xué)生理解，可是無論是人教版、蘇教版，還是北師大版的數(shù)學(xué)教材都是按照“體—形—體”的規(guī)律編排，為什么會(huì)這樣呢？厘清緣由將有利于教師認(rèn)清“體積與容積”一課的疑難點(diǎn)。首都師范大學(xué)的劉曉玫教授把空間觀念劃分為三個(gè)水平：水平1是（完全）直觀想象階段;水平2是直觀想象與簡單分析抽象階段;水平3是直觀想象與復(fù)雜分析階段[1]25。低年級(jí)學(xué)生一般處在水平1，他們傾向于初步直觀感知基于經(jīng)驗(yàn)的純粹想象，很難建立起抽象的幾何概念，所以教材讓學(xué)生先學(xué)“體”。但這種學(xué)習(xí)偏重于讓學(xué)生粗略地整體感知那些最明顯、最突出的單一要素。于是，很多教師反映，在教學(xué)中存在以下難點(diǎn)：其一，什么是空間？學(xué)生理解它要比理解體積更為重要;其二，體積的大小是什么？學(xué)生往往喜歡從長和寬的二維視角（面積）看事物，這將對(duì)體積的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生負(fù)干擾。容積是體積的下位概念，它與體積緊密聯(lián)系在一起，有了前期空間與體積的認(rèn)識(shí)，容積的學(xué)習(xí)也就變得簡單多了。因此，教學(xué)的重點(diǎn)在于通過比較，認(rèn)識(shí)容積和體積的聯(lián)系與區(qū)別，讓學(xué)生更加理性與深刻地理解容積的概念。

（二）教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)突破

奧蘇伯爾認(rèn)為，兒童獲得概念有兩種形式，即概念形成和概念同化。顯然體積概念的教學(xué)，應(yīng)以概念形成為主。比如，對(duì)于空間的感悟，通過一些外觀差異較大的物體的比較，讓學(xué)生明確占空間這一關(guān)鍵屬性;對(duì)于體積大小的比較，從度量入手（長度、面積和體積都是基本的度量概念），凸顯體積的三維度量方式，從而改變已有的面積大小觀念，然后再用排水法直觀感知占空間大小。

對(duì)于容積概念的教學(xué)，教師應(yīng)以概念同化為主，讓學(xué)生在理解了體積概念之后，在體積相同（不相同）而容積不相同（相同）的比較推理中，在如何增大體積或容積的比較思辨中，自然感悟體積外觀空間，容積內(nèi)察容納。因此，不管是概念形成還是概念同化，都強(qiáng)調(diào)比較在“體積與容積”概念教學(xué)中的作用，通過比較可以幫助學(xué)生提煉體積與容積概念的本質(zhì)屬性，并對(duì)其異同點(diǎn)及內(nèi)在聯(lián)系加以辨析，以構(gòu)建整體知識(shí)結(jié)構(gòu)。

（三）教學(xué)德育點(diǎn)滲透

立德樹人是教育教學(xué)的根本任務(wù)，教育家托馬斯·里考納認(rèn)為，各科教學(xué)對(duì)道德教育來說是一個(gè)“沉睡的巨人”，潛力極大[3]。數(shù)學(xué)學(xué)科也不例外。在“體積與容積”的教學(xué)中，教師除了教授學(xué)生課本上的知識(shí)，還可以以盒子包裝作為教學(xué)的切入點(diǎn)，落實(shí)立德樹人任務(wù)，增強(qiáng)學(xué)生節(jié)約和環(huán)保的意識(shí)。

二、教學(xué)實(shí)踐與設(shè)計(jì)

（一）在比較中感知空間大小

在教學(xué)伊始，教師首先提出以下問題引發(fā)學(xué)生思考。

問題：如圖1，這有兩箱相同品牌的餅干，售價(jià)都是30元，你會(huì)到哪個(gè)超市去買？為什么？

在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生選擇A超市，因?yàn)閷W(xué)生覺得A超市的餅干包裝占的空間大，B超市的餅干包裝占的空間小。接著，教師讓學(xué)生舉例說明身邊哪些物體占的空間大，哪些物體占的空間小。

【設(shè)計(jì)意圖】大小不同的兩個(gè)包裝箱的比較問題，不僅拉近了教師與學(xué)生的距離，還使學(xué)生在明顯的視覺對(duì)比中，輕松感知空間的存在，并感悟到空間有大小之分，同時(shí)也為后續(xù)的拒絕“過度包裝”教學(xué)埋下伏筆。教師讓學(xué)生結(jié)合身邊的物體，對(duì)比物體所占空間的大小，從而讓學(xué)生對(duì)空間建立起清晰、鮮明的概念。

（二）在比較中深化體積理解

1體積概念的生成

教師引導(dǎo)學(xué)生舉例說明物體的體積，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)體積的概念。

師：生活中的物體都占了一定的空間，像這樣，物體所占空間的大小叫做它們的體積。

師：同學(xué)們能說一說其他物體的體積嗎？2體積大小的比較

師：如圖2，你能一眼看出哪個(gè)物體的體積最大，哪個(gè)物體的體積最小嗎？

（1）產(chǎn)生矛盾

學(xué)生舉手發(fā)言，分別說出了自己的答案。教師發(fā)現(xiàn)大家答案不統(tǒng)一，于是激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究。

（2）比較方法

A觀察法

師：雖然大家的意見不統(tǒng)一，但比較時(shí)怎么都把③排除在外呢？

生：因?yàn)棰垡谎劭瓷先ゾ椭啦皇亲畲蠡蜃钚〉奈矬w。B計(jì)算法

師：那么①和②哪個(gè)的體積最大？絕大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為②的體積最大，學(xué)生開始爭辯。有的學(xué)生認(rèn)為通過觀察就可以得出①的體積最大;有的學(xué)生認(rèn)為②雖然看起來小，但是它比①厚，所以②的體積最大。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)一數(shù)的方法進(jìn)行比較：①一共有3×5=15包紙面巾，②一共有3×6=18包紙面巾，所以②的體積最大。

師：為什么剛一看好像①的體積最大呢？

生1：因?yàn)棰俚拿娲螅匀藗儩撘庾R(shí)就認(rèn)為它的體積大。

生2：以前我們比較大小只看長和寬就行了，但體積要看長、寬和高。

師：這位同學(xué)說到點(diǎn)子上了，以前大家比較大小時(shí)，只關(guān)注二維的面，而體積是三維的體，它有長、寬、高三個(gè)維度，我們要有很好的空間想象力才行。C排水法

師：④和⑤哪個(gè)的體積最?。坑械膶W(xué)生認(rèn)為⑤的體積最小，因?yàn)棰莸膬深^都是尖的;有的學(xué)生認(rèn)為雖然⑤的兩頭尖，但是它比④大，所以④的體積最小;有的學(xué)生認(rèn)為④從頭到尾都大，所以⑤的體積最小。

師：看來大家誰也說服不了誰，你們有什么辦法比較它們的體積大小嗎？學(xué)生說出各種比較的方法，例如描邊比較、掂重量、溢水法、排水法等。最后師生一起通過以下實(shí)驗(yàn)得出結(jié)論，即在兩個(gè)燒杯中倒入同樣多的水，分別放入兩個(gè)物體，比較水面高低，得出④的體積最小。

師：為什么放入④后水面升高了？

生：④占了空間。

師：為什么放入⑤后水面也升高了？

生：⑤也占了空間。

師：那為什么裝⑤的杯子里的水位比裝④的杯子里的水位要高？

生：因?yàn)棰荼娶艿捏w積大?！驹O(shè)計(jì)意圖】張奠宙教授指出，給五年級(jí)學(xué)生講體積應(yīng)該從度量入手，體積是對(duì)三維物體大小的一種度量，和線段的長度、平面圖形的面積加以對(duì)照，就能增加對(duì)體積的理解[4]。因此，在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計(jì)了三個(gè)層次的比較活動(dòng)：第一層次是通過直接觀察比較得出體積大小（礦泉水瓶）;第二層次是比較兩包紙面巾的體積大?。ㄒ话娲蟮。话嫘〉瘢?，從而引發(fā)學(xué)生的爭論，正是在體積大小的辨析中，改變了學(xué)生已有的面積大小觀念，凸顯體積的三維度量方式，同時(shí)也為今后計(jì)算長方體體積打下基礎(chǔ);第三層次是比較不規(guī)則物體（土豆和紅薯）的體積大小，有了前面的比較基礎(chǔ)，學(xué)生自然會(huì)從長、寬、高三個(gè)維度思考問題，但不規(guī)則物體很難直觀比較體積大小，于是教師通過實(shí)驗(yàn)利用排水法讓學(xué)生更直觀地感知物體所占空間的大小。

3鞏固提升

（1）如圖3，用相同數(shù)量的硬幣分別壘成下面的形狀，哪個(gè)體積最大？為什么？

在學(xué)生的答題中，筆者發(fā)現(xiàn)有兩種答案：一是③體積最大;二是①和③體積都是最大的。兩種答案的學(xué)生各執(zhí)己見：有的學(xué)生認(rèn)為③傾斜后，體積變大了;有的學(xué)生認(rèn)為③雖然傾斜了，但都是10枚一樣的1元硬幣，體積一樣大。最后，一位學(xué)生提出：把①和③都放在同樣多的水里，因?yàn)槎际?0枚一樣的1元硬幣，水面上升肯定一樣高，所以體積一樣大。

（2）用相同的四個(gè)小正方體，排成如圖4的兩個(gè)長方體。兩個(gè)長方體的表面積相同嗎？體積呢？

師生共同探討，得出表面積不同，但體積相同的結(jié)論。于是，教師順勢對(duì)學(xué)生進(jìn)行以下引導(dǎo)。

師：從這道題中我們發(fā)現(xiàn)，體積和表面積好像不是一回事。表面積相等，體積不一定相等;表面積大，體積也不一定大。

（三）在比較中感悟體積與容積的不同

1理解容積概念

師：現(xiàn)在大家對(duì)于體積的感悟更深刻了吧。讓我們再來仔細(xì)觀察圖2的五個(gè)物體，你有沒有發(fā)現(xiàn)哪個(gè)物體與眾不同？通過教師引導(dǎo)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)礦泉水瓶最特殊，可以裝水、沙子之類的東西。于是學(xué)生得出以下結(jié)論：像礦泉水瓶這樣，里面能裝東西的物體，我們把它叫做容器。接著教師讓學(xué)生說一說身邊還有哪些容器。

師：這些容器都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是它們都能容納物體。像這樣，容器所能容納物體的體積，就是它的容積。

師：礦泉水瓶的容積是什么？

生：礦泉水瓶的容積就是礦泉水瓶所能容納物體的體積。接著，通過現(xiàn)場倒水試驗(yàn)，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：先不倒?jié)M，這是它的容積嗎？如果不是，那么什么才是它的容積？

2比較大小

（1）實(shí)驗(yàn)質(zhì)疑

首先，教師讓學(xué)生觀察2個(gè)外觀相同的礦泉水瓶，比較兩者的體積和容積是否相同，當(dāng)學(xué)生得出外觀相同的礦泉水瓶體積和容積都相同的結(jié)論后，教師把其中的一瓶礦泉水倒入另一瓶中，看看是否正好裝滿，以印證結(jié)論的正確性。此時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)還剩一點(diǎn)水，從而引發(fā)強(qiáng)烈的好奇心。

師：好神奇，居然還剩一點(diǎn)水！這說明兩個(gè)礦泉水瓶的容積不一樣，為什么呢？課堂頓時(shí)活躍起來，學(xué)生猜測，可能一個(gè)瓶子是扁的或是提前倒出了水，但都被否定了。另外一名學(xué)生提出了自己的想法：其中一個(gè)瓶子底部提前裝了一些東西。當(dāng)教師提起瓶子，學(xué)生恍然大悟，原來一個(gè)瓶子里加了石塊。最后，教師和學(xué)生共同得出結(jié)論：體積相等，容積未必相等。

（2）變化大小

師：如果想把其中一個(gè)礦泉水瓶的容積變小，怎么辦？

生：往礦泉水瓶里面加些東西。

師：如果想把其中一個(gè)礦泉水瓶的體積變大怎么辦？

生：在礦泉水瓶外面加些東西。

師：體積和容積有時(shí)還真的不是一回事，它們有什么區(qū)別？師生探究后得出結(jié)論：體積是從外面看物體占多大空間，容積是從里面看能容納多大體積。外觀占空間，內(nèi)察能容納。

【設(shè)計(jì)意圖】思維自驚奇和疑問開始，教師出示兩個(gè)外觀完全相同（體積相同），但內(nèi)部卻有差異的礦泉水瓶（容積不同）。學(xué)生以為容積會(huì)一樣大，結(jié)果一倒水才發(fā)現(xiàn)了問題，他們在“心求通而未達(dá)，口欲言而未能”中積極思考，主動(dòng)探究，感悟體積與容積的不同。接著又在如何使體積和容積變大或變小的問題中，讓學(xué)生體會(huì)體積和容積的區(qū)別，從而深入理解兩者的含義。

3是否有容積

教師出示一個(gè)泡沫，并提問學(xué)生。

師：泡沫有體積和容積嗎？當(dāng)學(xué)生得出泡沫有體積沒有容積的結(jié)論后，教師把泡沫翻轉(zhuǎn)過來，學(xué)生發(fā)現(xiàn)里面居然挖了個(gè)洞，于是紛紛改口說有容積。

師：為什么有容積？

生：能容納物體。教師通過不斷追問以及巧妙的課堂問題設(shè)計(jì)，讓學(xué)生更進(jìn)一步理解體積和容積的區(qū)別，加深對(duì)容積概念的理解。

4容積大小

教師讓學(xué)生思考：淘氣和笑笑各有一瓶同樣的飲料，淘氣倒了3杯，而笑笑只倒了2杯，你認(rèn)為有可能嗎？從而激發(fā)學(xué)生探究的積極性。

（四）在比較中滲透德育教育

1回歸課始的餅干問題

教師讓學(xué)生再回到課堂伊始的餅干問題，引發(fā)學(xué)生思考：你認(rèn)為A超市的那箱裝的餅干就一定多嗎？接著，教師通過PPT揭開謎底后，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣得以激發(fā)。

師：大家為什么笑了？

生：大的那箱容積很小，小的那箱容積卻很大。2德育教育

師：生活中你見過像這種過度包裝的商品嗎？學(xué)生舉出諸如化妝品包裝、豪華的鋼筆包裝等例子。接著，教師再通過PPT出示水果、茶葉等包裝，讓學(xué)生再次感受過度包裝的生活實(shí)例。

師：你想對(duì)過度包裝說些什么 ？（學(xué)生提出過度包裝的危害，從而達(dá)成德育教育的目標(biāo)。）

師：如果讓你設(shè)計(jì)一個(gè)節(jié)約和環(huán)保的鉛筆盒，你會(huì)怎么設(shè)計(jì)？請(qǐng)?zhí)顚懴旅鎻V告詞。

節(jié)約環(huán)保鉛筆盒，（）空間，（）容量，是你理想的選擇！學(xué)生填完廣告詞后，教師播放關(guān)于小空間大容量的鉛筆盒的視頻，讓學(xué)生增強(qiáng)環(huán)保理念。

【設(shè)計(jì)意圖】教師在課末設(shè)置了揭秘環(huán)節(jié)，當(dāng)學(xué)生看到兩個(gè)包裝盒內(nèi)部的物品大小時(shí)，會(huì)心地笑了，此時(shí)拒絕“過度包裝”的環(huán)保理念從心灌輸并自然引入課堂，讓學(xué)生在潛移默化中獲得了知識(shí)并提升了思想。

三、教學(xué)反思

（一）比較，讓課堂辯論更精彩

學(xué)習(xí)是學(xué)生自主建構(gòu)的過程，教師應(yīng)積極地引導(dǎo)學(xué)生由被動(dòng)的聽者變成主動(dòng)的辨者，在辯論中交流、批判、反思及改進(jìn)。在本節(jié)課，筆者設(shè)置了5種物體大小比較的情境，讓學(xué)生互相辯論，同時(shí)通過教師的適當(dāng)引導(dǎo)，使這場辯論更有深度。

（二）比較，讓學(xué)習(xí)探究更神秘

一節(jié)課如果只是空洞的講解，必定是無趣的。學(xué)習(xí)應(yīng)該是積極進(jìn)取、內(nèi)心愉悅，促進(jìn)思維成長的過程，這三者相互聯(lián)系，缺少其一，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)來說都會(huì)有所缺憾。在教學(xué)中，筆者有意在概念比較中設(shè)置一些懸念，學(xué)生見中生疑，疑而求解，好奇心與探究欲被充分調(diào)動(dòng)起來，提高了教學(xué)效果。

（三）比較，讓育人價(jià)值更凸顯

人們常說數(shù)學(xué)是枯燥無味的，但是通過挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含的育人內(nèi)容和屬性，把德育巧妙地貫穿在知識(shí)的學(xué)習(xí)中，也能達(dá)到“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”的效果。在本課中，筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩個(gè)外觀差異較大的箱子進(jìn)行對(duì)比，為拒絕“過度包裝”埋下伏筆，培養(yǎng)學(xué)生的環(huán)保意識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

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[3]傅國文.找準(zhǔn)德育切入點(diǎn)，讓科學(xué)教育與德育雙豐收[J].考試周刊，2010（1）：209-210.

[4]張奠宙.從體積的定義說起[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2008（11）：12.

（責(zé)任編輯：陸順演）