肖加疇

（壽寧縣第二實驗小學，福建 壽寧 355500）

模型思想是《義務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》（以下簡稱課標）的十大核心詞之一。課標指出，模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑，有助于提高學生學習數(shù)學的興趣和應用意識。小學運算律的教學，都是從生活情境中抽象出數(shù)學問題，用含有字母的式子表示運算中的變化規(guī)律，并理解、討論這些式子的意義，這就是學生建立和應用模型的過程。因此，運算律的教學，是小學數(shù)學模型構建的最好體現(xiàn)，是最直接體現(xiàn)模型思想的教學內容之一，在小學數(shù)學教學中有著重要的意義。乘法分配律在小學數(shù)學計算領域中，特別是在簡便計算中運用最為廣泛。與其他運算律相比，由于它涉及到兩種不同的運算，有特殊的數(shù)學運算關系結構，是單元教學的一大難點。為了讓學生更好掌握乘法分配律的“形”，［1］理解其“神”，構建“形神兼?zhèn)洹钡某朔ǚ峙渎蓴?shù)學模型，筆者在教學乘法分配律這節(jié)課時，嘗試從對比兩岸不同版本的教材入手，存同求異，為學生構建乘法分配律數(shù)學模型搭建橋梁。

通過對比幾套不同版本教材在這一內容上的編排，發(fā)現(xiàn)有以下幾個共性之處：

一、在現(xiàn)實情境中引出數(shù)學模型

課標指出，情境的創(chuàng)設應當充分考慮學生的認識水平和活動經驗，盡可能地貼近學生的生活，以利于他們經歷從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學知識與方法。從學生熟悉的生活場景引入，可以激發(fā)學生的學習興趣和解決問題的欲望，喚醒已有的學習經驗,感受數(shù)學的應用價值。分析幾套教材對這一內容的編排，發(fā)現(xiàn)都是從學生比較熟悉的生活場景引出數(shù)學問題，并通過觀察比較進而抽象出數(shù)學模型。不管是人教版的植樹問題、北師大版的貼磁磚問題，還是蘇教版班級領跳繩問題，這些都與學生的生活息息相關。這些熟悉的生活場景，學生很容易從中得到不同的解決方法，為抽象乘法分配律的數(shù)學模型創(chuàng)造條件。即便是臺灣版教材，它的出發(fā)點和大陸也是一致的（如下圖）。

圖1 人教版

圖2 蘇教版

圖3 北師大版

圖4 臺灣版

從具體情境中提出問題、解決問題，形成數(shù)學模型，學生能夠利用情境中的數(shù)學信息從生活的角度解釋數(shù)學模型，理解模型的生活意義，［2］溝通了數(shù)學與外部世界的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學的價值。

二、在觀察比較中初步建構數(shù)學模型

比較在數(shù)學教學中無處不在。縱觀幾套教材的編排，無一不是引導學生觀察比較兩個算式之間的聯(lián)系來初步建立乘法分配律的數(shù)學模型：一是比較兩種解法的結果相同，兩個算式可以用“=”連接；二是比較這個等式的結構，從算式中數(shù)字和運算順序上找出它們的聯(lián)系和區(qū)別；三是嘗試用自己的話來說說發(fā)現(xiàn)了什么。

不同的是人教版教材只通過一道等式的觀察比較來歸納概括（如圖5），北師大版教材通過兩個式子的觀察比較得出，只有蘇教版教材有要求學生寫出幾道類似的等式來觀察比較，從不同的等式中找出相同的本質屬性，為乘法分配律數(shù)學模型的形成提供了充分的素材。筆者認為，充分的比較，是感知模型結構的基礎，從具體到抽象、特殊到一般的不完全歸納，僅僅通過觀察比較一兩道式子的感知，數(shù)量與質量上都比較單薄。在多道類似的等式中比較觀察，顯得尤其必要。

圖5 人教版

圖6 北師大版

圖7 蘇教版

三、在抽象概括中數(shù)學建立模型的結構

課標提出“使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性”。三套教材都有在比較具體式子的基礎上要求用字母來表示乘法分配律，引導學生經歷分配律的數(shù)學模型從具體到抽象、特殊到一般的過程。讓學生用字母a、b、c 分別表示三個數(shù)來抽象概括乘法分配律，根據(jù)已有的學習經驗，學生不難得出（a+b）×c=a×c+b×c。

用語言描述模型的特征，能加深對模型結構的理解，對訓練數(shù)學思維能力非常重要。人教版與蘇教版都是在語言闡述的基礎上提出用字母來表示，教材也有呈現(xiàn)具體規(guī)范的語言表述（如圖8、圖9）。教學時，還要引導學生比較字母式與文字表達二者之間的優(yōu)劣，體會模型的優(yōu)越性。例如：人教版與蘇教版都是在學生用語言闡述的基礎上提出用字母來表示的，教材也有呈現(xiàn)具體規(guī)范的語言表述。對比二者的語言表述與字母表示式，不難發(fā)現(xiàn)：一個冗長，一個簡潔。［3］從文字的表述來看，要完全理解“可以先把它們與這個數(shù)相乘，再相加”和“可以把這兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘”所表達的意思，對四年級的學生來說比較困難，而且比較容易產生歧義。通過比較兩種表達方式，發(fā)現(xiàn)字母表達比文字表達的數(shù)學模型更簡潔、概括，更為重要的是它比文字表達更準確、無歧義。

圖8

圖9

從以上教材比較中可以看出，三套教材都是以“創(chuàng)設具體情境，提出數(shù)學問題——解決問題，形成具體等式——觀察、比較，抽象數(shù)學模型——運用模型解決問題”的步驟安排教學，側重點放在從生活意義的角度來解釋和建構乘法分配律的數(shù)學模型，學生對它的生活意義及“外形”有了較豐富的認識。但教材對乘法分配律模型實質揭示未見“只言片語”，學生對乘法分配律模型的實際意義缺乏有效理解，對模型的直觀感知比較模糊。為了使學生對它的認識更加豐滿，讓乘法分配律數(shù)學模型“形神兼?zhèn)洹?，教學時，筆者從以下三個方面展開。

（一）運用乘法的意義引領乘法分配律教學

運算律是算法的衍生，是對四則運算運算順序的重構。乘法的意義是乘法分配律的“神”，乘法分配律實質是乘法的意義的運用。這在三套教材的后續(xù)例題與練習安排上都能找到答案（見圖10、圖11）。

可見，教學時借助乘法的意義，來建構乘法分配律的數(shù)學模型，突破分配律的實質是教學所需。教學時，筆者這樣教（以蘇教版例題為例）。

圖10

圖11

【教學片斷1】

師：剛才我們已經知道算式“（4+6）×24”和“4×24+6×24”都是表示四、五年級一共領了多少根跳繩，如果離開例題的圖你能知道“4×24”在數(shù)學上表示的是幾個幾？“6×24”呢？

生1：“4×24”就4 個24。

生2：也可以是24 個4。

師：你們同意嗎？在這里，更確切的是表示幾個幾？為什么？

生：我覺得表示4 個24，因為有4 個班，每班領24根跳繩，所以“4×24”表示“4 個24”。

師：你們同意他的說法嗎？誰再來說說“6×24”表示多少？

生：“6×24”表示6 個24。

師：誰能說說“4×24+6×24”表示多少？

生：“4×24+6×24”表示4 個24 加6 個24。

師：“4 個24 加6 個24”等于幾個幾？

生：“4 個24 加6 個24”等于“（4+6）個24，也是10個24”。

師：誰能說說“（4+6）×24”又是表示多少？

生：表示“（4+6）個24，也是10 個24”。

師：離開例題的圖，誰能說說為什么“（4+6）×24=4×24+6×24”？

生：等式的左邊表示“4+6 個24，也是10 個24”，右邊表示“4 個24 加6 個24 也是10 個24”，所以“（4+6）×24=4×24+6×24”。

師：離開例題的圖我們從乘法的意義上也能解釋這兩個算式為什么相等。像這樣的式子你也能寫出幾個嗎？

學生自主書寫，教師巡視，指名匯報，板書：

（7+8）×6=7×6+8×6

（12+8）×10=12×10+8×10

（25+15）×4=25×4+15×4

（50+20）×13=50×13+20×13

（100+50）×20=100×20+50×20

（21+79）×100=21×100+79×100

……

師：寫得完嗎？你是怎樣驗證它們相等的？有沒有不通過計算也能發(fā)現(xiàn)它們是相等？

生：“（7+8）×6=7×6+8×6”左邊是（7+8）個6 是15個6，右邊是7 個6 加8 個6 也是15 個6，所以它們相等。

師：其他式子也能說說嗎？

……

通過這樣的教學，學生從已有的經驗出發(fā)，從乘法意義的角度解釋等式左右兩邊為什么相等，很好地理解了模型的實質。同時，結合之前學過的“兩三位數(shù)乘兩位數(shù)”中的豎式（如下圖），溝通舊知與新知之間的聯(lián)系，體會乘法分配律的數(shù)學意義。

圖12

圖13

（二）借助幾何直觀幫助學生建立數(shù)學模型

在具體情境的解決數(shù)學問題，從具體的算式過渡到字母式，并通過符號來構建乘法分配律的數(shù)學模型，得到的數(shù)學模型都比較抽象。人教版等三套教材都沒有給出乘法分配律的幾何模型。教學時，可以通過長方形面積的計算來解釋乘法分配律。為了使學生在頭腦中對乘法分配律的數(shù)學模型有個清晰的輪廓，教學時可以在抽象出字母式后，出示乘法分配律的幾何模型，加深對乘法分配律數(shù)學模型的理解與掌握。

【教學片斷2】

師：剛才我們已經學會用字母表示乘法分配律，其實，例題的計算我們也可以用計算長方形面積的方法來表示。如右圖，兩個小長方形合成一個大長方形，大長方形的面積等于兩個小長方形的面積面積之和。你會列式表示大長方形的面積嗎？

指名匯報：（4+6）×24=4×24+6×24

師：誰能圖形來說說它們?yōu)槭裁聪嗟龋?/p>

生：（4+6）是大長方形的長，乘24 就是大長方形的面積，4×24就紅色小長方形的面積，6×24 是黃色小長方形的面積，它們的和就是大長方形的面積。

師：如果用字母來表示，大長方形的面積可以寫成什么？你能解釋它們?yōu)槭裁磿嗟葐幔?/p>

其實，比較文字、符號和幾何圖形三種數(shù)學語言形態(tài)，我們不難發(fā)現(xiàn)，圖形語言與文字語言、符號語言相比，最沒有爭議。長度、面積都不可能是負的，圖形語言比其他兩種更加直觀。數(shù)形結合應用，使學生對乘法分配律模型表象更加清晰、直觀，同時加深了對乘法分配律數(shù)學模型結構的理解。正如著名的數(shù)學家華羅庚所說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微?！?/p>

（三）拓展乘法分配律的變式應用

圖14

小學計算教學中，經常出現(xiàn)“99×34”“101×59-59”，需要運用“乘法對減法的分配律”來進行簡便計算。由于教學過程中學生沒有見過類似的習題，遇到這類題目還需要教師花上一定的時間進行解釋說明，就教學效率上來說，不見得特別高效。造成這樣的原因是新課標在制定“數(shù)的運算”第二學段目標時，對分配律的定位是乘法對加法的分配律，教材在例題的編排上也就只體現(xiàn)“乘與加”這一內容。這點上筆者發(fā)現(xiàn)臺灣版教材可以借鑒（如圖14）。首先它從名稱上把“乘法分配律”叫作“乘法對加減法的分配律”，從名稱上一眼就能清楚乘法分配律不僅適用于加法，也適用于減法。其次，在例題的設計上，通過同一道例題的條件，提出用加法和減法解決問題，并將乘法對加法和減法的分配律同時呈現(xiàn)出來。對比幾套教材例題的情境設計，不管是植樹問題，還是領跳繩問題和貼磁磚問題，學生在情境圖中提出和解決減法問題都是比較容易的。教學時，不妨進行這方面的嘗試，當然，也要考慮教學時間的安排，對減法的分配律可以作為課后的拓展，做如下教學。

【教學片斷3】

師：如果例題的問題改為“四年級比五年級多領多少根跳繩？”你會解決嗎？

生1：6×24-4×24

生2：（6-4）×24

師：這兩個式子它們相等嗎？用等號連接：（6-4）×24=6×24-4×24

觀察這個式子你發(fā)現(xiàn)了什么？我們已經知道兩個數(shù)的和乘一個數(shù)，會等于這兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再相加，這里是兩個數(shù)的差乘一個數(shù)，結果會怎樣呢？乘法分配律對減法也同樣適用嗎？帶著這個問題，課后自己用今天學習的方法進行驗證。

通過這樣的拓展，解決了知識“到哪里去”的問題，為學生的思考提供素材，體現(xiàn)了乘法分配律數(shù)學模型的價值。

總之，比較不同版本的教材，汲取不同教材的精華，就可拓寬教學視野，存同求異，借教材的“他山之石”以攻教學效率之“玉”，提高教學質量，促進教師、學生的發(fā)展。