楊錦肖

（連江縣琯頭中心小學(xué)，福建 連江 350500）

一、追問本質(zhì)：按比例分配因何而教？

為什么要進(jìn)行按比例分配教學(xué)？對一個新知識的學(xué)情分析是數(shù)學(xué)教學(xué)的起步工作，只有準(zhǔn)確把握新知的內(nèi)涵才能科學(xué)把脈數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，以確保核心素養(yǎng)在知識學(xué)習(xí)中有效浸潤。思索這個問題，需要從兩個維度切入。

維度一，按比例分配問題新在哪里？一是問題的結(jié)構(gòu)是新的，用比來呈現(xiàn)幾個數(shù)量之間的關(guān)系，這個信息呈現(xiàn)點(diǎn)是新的；二是解題的思路是新的，“基于比的意義，轉(zhuǎn)化關(guān)鍵信息，巧借運(yùn)算意義解決問題”也就是將“比”轉(zhuǎn)化成份數(shù)、分?jǐn)?shù)等，再用除法或分?jǐn)?shù)乘法等解決問題。這種“轉(zhuǎn)化信息”的思路是新的，由此可見，“轉(zhuǎn)化思想”是推動這類問題解題策略生成的內(nèi)核，學(xué)習(xí)這個知識過程勢必需要感悟轉(zhuǎn)化思想，進(jìn)一步積淀數(shù)學(xué)抽象能力，從而提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

維度二，為什么有按比例分配這種方式？“分配勞動成果與經(jīng)商贏余是人類生活中的永恒課題?！边@個課題是與人們生活息息相關(guān)的，這種思考方式與經(jīng)驗(yàn)也是在生活中產(chǎn)生的。所以，追逐按比例分配的本源，可以讓學(xué)生更好感受到這種數(shù)學(xué)模型的特殊價值，體會到按比例分配的意義，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。

二、追尋本源：按比例分配因“此”而教

基于按比例分配問題的本質(zhì)分析，可以感受到這類問題的強(qiáng)烈生活性與特別的數(shù)學(xué)味。這類問題有深厚的生活基礎(chǔ)，那教學(xué)自然需要充分挖掘這個基礎(chǔ)，引領(lǐng)學(xué)生去利用按比例分配生活原型建構(gòu)新知。

那如何引領(lǐng)學(xué)生追逐到這個本源？需要回歸到分配的現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)習(xí)基于經(jīng)驗(yàn)、突破經(jīng)驗(yàn)、創(chuàng)造經(jīng)驗(yàn)。需要在分配的需要性上做文章，讓學(xué)生體會按比例分配的生活性，同時緊緊抓住關(guān)鍵信息實(shí)現(xiàn)多維溝通，讓學(xué)生理解按比例分配的解題方法，讓教學(xué)“因此”而生動透亮。

1.情境活動，產(chǎn)生問題

（1）情境一：平均分問題

師：同學(xué)們，在一次數(shù)學(xué)競賽中，五（3）班與（4）班均獲團(tuán)體一等獎，學(xué)校決定獎勵140 個桔子，你認(rèn)為怎樣分配這些桔子合理？

（2）情境二：引出按一定比分配問題

師：在這次數(shù)學(xué)競賽中，六（1）班與六（5）班分別獲團(tuán)體一等獎和二等獎，學(xué)校也決定獎勵140 個桔子給他們，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣分配這些桔子合理？

上述兩個情境素材相似，貼近學(xué)生生活實(shí)際。前后兩個不同情境，讓學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的矛盾沖突，怎樣分配不一樣的獎別？當(dāng)然，學(xué)生會基于生活經(jīng)驗(yàn)形成“一個多一個少”的思路，但這種思路不具代表性。所以，教師特意跟進(jìn)了兩組素材“14 個桔子”“1400 個桔子”按這樣的思路如何分配？促使學(xué)生去思考80 與60 的關(guān)系，進(jìn)而產(chǎn)生8、6 與800、600 的分配結(jié)果，這個過程讓學(xué)生有意識地關(guān)注分配結(jié)果，去觸碰比例關(guān)系，但此時，比例的概念還比較模糊。最后，教師再次追問“三次分配都按什么標(biāo)準(zhǔn)分？”徹底點(diǎn)燃學(xué)生心底的那團(tuán)“火”，挖出“比”這一分配標(biāo)準(zhǔn)，從而產(chǎn)生按比例分配這種新方式。

2.交流探索，解決問題

（1）畫圖分析，初識結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

出示例題：數(shù)學(xué)競賽中，六年級1 班與5 班分別獲得一等獎與二等獎，學(xué)校決定將140 個桔子作為獎品，按3：2 獎勵給兩個班，他們分別可得幾個桔子？

學(xué)生畫圖分析理解題意。

教師基于學(xué)生的畫圖分析，在黑板上畫圖表示題意：

（2）小組互助，探索解答方法

“按3：2 分配”，類似這樣的按比例分配問題的標(biāo)志性信息，解決問題關(guān)鍵是要實(shí)現(xiàn)對“比”的轉(zhuǎn)化分析。用畫圖的方式去分析題意，可以突出對關(guān)鍵信息的解讀，引起學(xué)生對問題結(jié)構(gòu)的關(guān)注。同時，圖示可以突出比的意義，數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解比，實(shí)現(xiàn)與分?jǐn)?shù)有意義的溝通。

圖示分析后學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考及小組交流互助，可以促使學(xué)生基于原來的除法、分?jǐn)?shù)乘法等知識經(jīng)驗(yàn)解決問題，再基于小組活動進(jìn)行方法溝通，實(shí)現(xiàn)相互幫助。

（3）集中互助，完善解答方法

方法一：3+2=5 140÷5=28（個） 28×3=84（個）28×2=56（個）

師：請問，5 是什么意思？第一個算式求什么？140 為什么除以5？

……

方法三：設(shè)每份是x 個，那么1 班是3x 個，5 班是2x 個。

3x+2x=140

5x=140

x=28

1 班：28×3=84（個） 5 班：28×2=56（個）

在小組交流中，學(xué)生對方法已經(jīng)有了初步的感知，但缺乏全面的理解。集中交流就是為了突出對每種方法的意義分析，幫助學(xué)生理解掌握解答方法。通過學(xué)生展示、教師追問的方式展開交流，可以突出學(xué)生的主體性，同時發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，在關(guān)鍵點(diǎn)上追問，引導(dǎo)學(xué)生真正理解每種方法的意義。特別是三種方法的對比，讓孤立的方法實(shí)現(xiàn)了聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對這類問題的意義把握。

3.嘗試練習(xí)，深化理解

圖書館新進(jìn)450 本圖書，按4∶5 分配給兩個年級，分別可以分到幾本？

…………

溝通平均分與按比例分配的關(guān)系是本課的目標(biāo)之一，借助試一試題目變換信息呈現(xiàn)平均分，過程比較自然?！?∶5”這樣一個特殊比，能迅速引起學(xué)生的思考熱情，可以看成10 份來解決，也可化簡為1∶1 解決，那就是平均分。在這樣的自主判斷與對話中，學(xué)生對平均分與按比例分配理解更深入，明白兩者的相通處，從而重新建構(gòu)了對分配的認(rèn)識，達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)。

三、追逐本真：按比例分配因“經(jīng)驗(yàn)”而生長

追問本質(zhì)、追逐本源，讓教學(xué)不再停留于技能的機(jī)械移植，而是讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程。

1.激活經(jīng)驗(yàn)，支撐學(xué)習(xí)。教學(xué)充分關(guān)注激活學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，讓已有經(jīng)驗(yàn)支撐學(xué)習(xí)。一是平均分的經(jīng)驗(yàn)?！鞍呀圩营剟罱o兩個同為一等獎的班級”這個素材快速激活了學(xué)生平均分經(jīng)驗(yàn)，也是日常分配的既有經(jīng)驗(yàn)。二是比的意義。“畫圖表示3：2”這個過程讓學(xué)生回顧了比的意義，也為實(shí)現(xiàn)比與分?jǐn)?shù)、份數(shù)的轉(zhuǎn)化做了積極準(zhǔn)備。三是求每份數(shù)的方法。在獨(dú)立嘗試過程中，學(xué)生主動遷移，利用歸一法、分?jǐn)?shù)乘法、方程等已有方法嘗試解決問題。三組素材（活動）讓三個核心經(jīng)驗(yàn)得以激活，讓后續(xù)的沖突生成、意義理解有了充分的心理準(zhǔn)備。

2.挑戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)學(xué)習(xí)。“桔子分給兩個獎別不一樣的班級如何分？”這個新問題讓學(xué)生對平均分經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生了懷疑，產(chǎn)生了挑戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)的欲望，為學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”按比例分配方式創(chuàng)造了機(jī)會。這是本課最關(guān)鍵的經(jīng)驗(yàn)挑戰(zhàn)點(diǎn)。同時，解決例題過程中，學(xué)生基于舊經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用除法、分?jǐn)?shù)乘法等方法順利解決了新問題。“這些方法有相同處嗎？”這個問題引發(fā)學(xué)生對三種舊方法的思考，再次去經(jīng)歷挑戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)的過程，創(chuàng)造了發(fā)現(xiàn)解決按比例分配問題需要“求每份數(shù)”這一核心經(jīng)驗(yàn)的機(jī)會，這是解題方法層面重要的經(jīng)驗(yàn)挑戰(zhàn)點(diǎn)。

3.創(chuàng)新經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)習(xí)。經(jīng)歷創(chuàng)造“按一個比分配”過程是讓學(xué)生體會按比例分配的意義。為此，教學(xué)中特意構(gòu)筑了一組結(jié)構(gòu)化的素材——按兩個層次分桔子。

層次一是“140 個桔子分給同是一等獎的兩個班級”和“140 個桔子分給一個是一等獎一個是二等獎兩個班級”，第一個素材激活學(xué)生平均分經(jīng)驗(yàn)，第二個素材引發(fā)平均分不公平的矛盾沖突，把學(xué)生帶進(jìn)了尋找“按比例分配”的新活動。

層次二是在解決“140 個桔子分給一、二等獎兩個班級如何分？”時，以現(xiàn)場追問的方式補(bǔ)充呈現(xiàn)了兩組素材“按這樣的分配方法14 個桔子如何分？”“1400 個桔子呢？”當(dāng)學(xué)生說“140 個桔子分別分80 個和60 個時，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)是“一等獎多一點(diǎn)、二等獎少點(diǎn)”這樣一個模糊的標(biāo)準(zhǔn)。緊跟的問題——按這樣的分配方法14 個桔子如何分——這樣的分配方法是什么？學(xué)生不得不重新思考剛才“多一點(diǎn)與少點(diǎn)”的具體標(biāo)準(zhǔn)。

“14 個桔子”這個新素材給學(xué)生重新思考提供了腳手架，所以學(xué)生很快找到了“8 個與6 個”這個結(jié)果，當(dāng)然這個結(jié)果的形成不排除是縱向思考（就是140 變成14 是除以10，所以80 也要除以10）。所以，馬上跟進(jìn)第三個問題——1400 個桔子呢？讓學(xué)生再次修正自己的經(jīng)驗(yàn)，同時也形成了三組數(shù)據(jù)——80個、60 個，8 個、6 個，800 個、600 個，這樣三組數(shù)據(jù)排列在黑板上也就為孩子再次審視“按什么標(biāo)準(zhǔn)分配”，發(fā)現(xiàn)“按4：3”分配創(chuàng)造了機(jī)會。

這個過程，學(xué)生經(jīng)歷了“多一點(diǎn)與少一點(diǎn)”“同時乘或除以一個相同數(shù)”“都按4：3 這個比分”這樣三次對經(jīng)驗(yàn)的不斷修正創(chuàng)造過程，也讓學(xué)生深刻體會到按比例分配這種新分配方式的價值。

按比例分配是一種公平分配思想，與傳統(tǒng)平均分有聯(lián)系嗎？這個問題是學(xué)習(xí)過程中需要幫忙學(xué)生破解的。在最初因平均分而不公平的矛盾體驗(yàn)中，學(xué)生勢必會對平均分有一些誤解。所以，教學(xué)中特意用一個趣味活動“按5∶5 分配，分別能分到幾本？”要求學(xué)生快速完成。在帶有競賽味道的氛圍中，學(xué)生中出現(xiàn)了除以2 的計(jì)算方法，討論中學(xué)生明白了平均分實(shí)質(zhì)就是按1：1 分配，從而將平均分經(jīng)驗(yàn)與按比例分配經(jīng)驗(yàn)融會貫通，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。