石志群

摘要：數(shù)學(xué)可以與自然、社會(huì)在真、善、美的境界中達(dá)到統(tǒng)一。數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該也可以引人入勝。具體的策略有：在情境中提出感興趣的問(wèn)題，揭秘自然的規(guī)律，用數(shù)學(xué)精神引領(lǐng)思維活動(dòng)，像數(shù)學(xué)家一樣思考，感悟數(shù)學(xué)表征形式的多樣性與內(nèi)在本質(zhì)的一致性，用好“精彩”的錯(cuò)誤。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)習(xí)興趣問(wèn)題情境數(shù)學(xué)精神數(shù)學(xué)思維

中小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的情感如何？數(shù)學(xué)枯燥乏味、艱深難學(xué)，可能是大部分學(xué)生的共同認(rèn)知，于是，厭惡、畏懼?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)就成為非常普遍的現(xiàn)象。造成這種后果的根源在于，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程主要是沉悶無(wú)趣的課堂、繁難量大的作業(yè)，讓學(xué)生既感受不到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，也享受不了學(xué)習(xí)成功的喜悅。

更為嚴(yán)重的是，社會(huì)普遍對(duì)數(shù)學(xué)存在這樣的認(rèn)識(shí)：數(shù)學(xué)是抽象的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模斫庵R(shí)與解決問(wèn)題的思維難度較高，是理性的;不同于語(yǔ)文等學(xué)科明顯的感性特征，也不同于物理等學(xué)科由實(shí)驗(yàn)操作帶來(lái)的神奇與驚異，數(shù)學(xué)本身就是冰冷的、呆板的，所以，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本來(lái)就不應(yīng)該也不可能充滿熱情和樂(lè)趣。

陳振宣先生說(shuō)過(guò)：“減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵是激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，改進(jìn)學(xué)習(xí)方法。只要讓學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容真正感興趣了，專注認(rèn)真了，教學(xué)質(zhì)量上升乃是水到渠成的必然結(jié)果。把這一條稱為‘教學(xué)公理是當(dāng)之無(wú)愧的。”

其實(shí)，與文學(xué)、藝術(shù)等學(xué)科一樣，數(shù)學(xué)也是追求真、善、美，充滿真、善、美的。它們可以從不同的側(cè)面引導(dǎo)學(xué)生的審美活動(dòng)。文學(xué)、藝術(shù)具有自然屬性和社會(huì)屬性，自然美體現(xiàn)的是自然界的現(xiàn)象和諧，社會(huì)美聯(lián)系最密切的是“善”。而數(shù)學(xué)美最重要的屬性是“真”，數(shù)學(xué)既是對(duì)自然屬性的“精微化”，也是由人在社會(huì)活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)的。因此，數(shù)學(xué)可以與自然、社會(huì)在真、善、美的境界中達(dá)到統(tǒng)一。

故而，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該也可以引人入勝，讓學(xué)生感受到和文學(xué)課、藝術(shù)課一樣的精神愉悅，和物理、化學(xué)等實(shí)驗(yàn)學(xué)科一樣的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的喜悅。那么，怎樣才能讓數(shù)學(xué)課堂引人入勝呢？

不同學(xué)科的課堂教學(xué)有一些共同的特點(diǎn)。要想使課堂教學(xué)引人入勝，教師的飽滿精神、全情投入，神態(tài)的和藹可親，語(yǔ)言的抑揚(yáng)頓挫，講授的深入淺出，思路的邏輯清晰……都是很有必要的。除此之外，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有什么特殊之處呢？

一、在情境中提出感興趣的問(wèn)題

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之所以枯燥乏味，一個(gè)重要的原因是學(xué)生在機(jī)械地執(zhí)行教師下達(dá)的一系列指令。而要使學(xué)生的心智投入學(xué)習(xí)過(guò)程，就必須使其心理產(chǎn)生動(dòng)力。如果我們把知識(shí)的教學(xué)放到問(wèn)題解決的過(guò)程中，或者呈現(xiàn)一個(gè)解決問(wèn)題的過(guò)程，再讓學(xué)生揭示其本質(zhì)，建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，就能夠使學(xué)生經(jīng)歷有意義學(xué)習(xí)的過(guò)程，自然地調(diào)動(dòng)起學(xué)習(xí)的積極性。而在具有現(xiàn)實(shí)真實(shí)性和理論重要性以及學(xué)生熟悉的情境中，提出感興趣的問(wèn)題（往往包含認(rèn)知沖突、有價(jià)值），能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和探究欲望，使學(xué)生迅速進(jìn)入激動(dòng)、興奮的研究狀態(tài)。

比如，教學(xué)“百分位數(shù)”時(shí)，可以從一個(gè)學(xué)校中一個(gè)年級(jí)學(xué)生的成績(jī)排名引入。這時(shí)，只要看其成績(jī)所排名次，就可確定其在總體中的水平位置。但是，對(duì)于學(xué)生總體狀況差不多的兩個(gè)學(xué)校而言，甲校高三800名學(xué)生中的第720名與乙校高三600名學(xué)生中的第540名相比，哪一個(gè)更好一些呢？這是學(xué)生熟悉的情境，也是學(xué)生感興趣的問(wèn)題，而且具有一定的挑戰(zhàn)性，當(dāng)然能夠引人入勝。

再如，引入零指數(shù)、負(fù)指數(shù)冪的概念時(shí)，如果教師只是給出規(guī)定，那么學(xué)生不僅不能理解其合理性，而且產(chǎn)生不了任何興趣。如果我們來(lái)個(gè)開(kāi)場(chǎng)白：

同學(xué)們，我們知道，25就是5個(gè)2相乘的積，34就是4個(gè)3相乘的積，即：乘方運(yùn)算是一種特殊的乘法運(yùn)算。那么，這里的指數(shù)可以取0嗎？可以取-1嗎？

學(xué)生一下子就被這個(gè)問(wèn)題吸引住了：可以有0個(gè)2相乘嗎？可以有-1個(gè)2相乘嗎？當(dāng)然不可能了！這時(shí)，我們繼續(xù)引導(dǎo)：

是的，0個(gè)2相乘、-1個(gè)2相乘是很荒唐的！這說(shuō)明到目前為止，零指數(shù)、負(fù)指數(shù)冪還沒(méi)有意義。既然如此，我們有權(quán)力給它們以恰當(dāng)?shù)囊饬x！那么你認(rèn)為，如果要給20賦一個(gè)數(shù)，應(yīng)該是哪個(gè)數(shù)才“恰當(dāng)”呢？

通常情況下，建立一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象有兩種路徑：基于現(xiàn)實(shí)含義進(jìn)行意義賦予;基于數(shù)學(xué)審美進(jìn)行意義賦予。而后者又有兩種常見(jiàn)思路，即分別從數(shù)和形的角度進(jìn)行意義賦予。于是，我們有下面的啟發(fā)方式：

你能舉出正整數(shù)指數(shù)冪在現(xiàn)實(shí)生活中的原型嗎？比如21，22，23，…？

目的是讓學(xué)生想到“細(xì)胞分裂”的實(shí)際問(wèn)題。如果學(xué)生想不到，也沒(méi)有關(guān)系，我們可以繼續(xù)引導(dǎo)：

比如，一種細(xì)胞的分裂過(guò)程為：最初有1個(gè)細(xì)胞，每分裂1次，原來(lái)的1個(gè)細(xì)胞均分裂成2個(gè)細(xì)胞。那么，分裂1次、2次、3次……后分別共有多少個(gè)細(xì)胞？

……

你能由此給出20的值嗎？

學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：20就是沒(méi)有分裂時(shí)細(xì)胞的個(gè)數(shù)，其值為1是非常合理的。而我們則可以繼續(xù)“講授”：

我們還可以從數(shù)學(xué)的內(nèi)部進(jìn)行思考，比如從“數(shù)”的角度看，或者從“形”的角度看。我們先從“數(shù)”的角度進(jìn)行分析。研究“數(shù)”就必然要研究其運(yùn)算，指數(shù)冪的運(yùn)算有哪些性質(zhì)？

……

請(qǐng)你從這些性質(zhì)出發(fā)進(jìn)行指數(shù)冪概念的“推廣”，你能否發(fā)現(xiàn)a0應(yīng)該取怎樣的值？

學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：在am·an=am+n中，令m=0，有am·a0=am+0=am，即a0=1;在am÷an=am-n中，令m=n，也有a0=1。而我們還可以“講授”：

我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，那么，我們也可以通過(guò)數(shù)軸來(lái)研究指數(shù)冪的問(wèn)題。特別地，你能在數(shù)軸上畫出21，22，23，…對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并通過(guò)這些點(diǎn)之間的關(guān)系探求20的意義嗎？

學(xué)生不難畫出圖1，從中看出相鄰兩個(gè)冪之間的關(guān)系，由此“倒推”得到：要仍然滿足這種關(guān)系，必須有20=1。

這時(shí)，教師可以進(jìn)一步提問(wèn)：

我們從運(yùn)算法則和數(shù)軸兩個(gè)視角，分別得到了20的意義，結(jié)果是一致的，你能說(shuō)明這兩個(gè)視角之間的關(guān)系嗎？

……

有了上述經(jīng)驗(yàn)，2-1的意義完全可以讓學(xué)生自己去探求（可以從運(yùn)算性質(zhì)的角度，也可以在數(shù)軸上）。而這樣的過(guò)程是充滿趣味的，能給學(xué)生以成功的體驗(yàn)，無(wú)疑是引人入勝的！

又如，教學(xué)“充分條件、必要條件”時(shí)，通常的做法是給出若干個(gè)命題，讓學(xué)生分析命題的真假及條件與結(jié)論的關(guān)系。這種過(guò)程沒(méi)有動(dòng)力源，學(xué)生不知道為什么要這樣做，學(xué)習(xí)也就沒(méi)有熱情可言。而我們可以這樣導(dǎo)入：

對(duì)于兩個(gè)整數(shù)m、n，要證明m+n是偶數(shù)，只需要證明m、n均為偶數(shù)，為什么？

學(xué)生證明后，我們?cè)僮穯?wèn)：

這里，我們將證明“m+n是偶數(shù)”轉(zhuǎn)化為證明“m、n均為偶數(shù)”。這說(shuō)明“m、n均為偶數(shù)”與“m+n是偶數(shù)”之間有著怎樣的關(guān)系？

學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：這說(shuō)明只要“m、n均為偶數(shù)”成立，“m+n是偶數(shù)”就一定成立，即前者成立使后者成立得到充分的保證。從而，我們便可引入充分條件的概念。

二、揭秘自然的規(guī)律

對(duì)于數(shù)列概念形成的過(guò)程，教材通常給出若干例子，再提出問(wèn)題：它們有著怎樣的共同特征？這樣的處理掩蓋了提出問(wèn)題的過(guò)程：怎么想到要考察這些例子的？學(xué)生不僅對(duì)材料本身缺少興趣，更對(duì)“怎么想到這個(gè)話題的”存在疑惑，課堂沉悶就是必然的了。因此，不少教師反映，數(shù)列概念教了幾十年，就是感到不順暢、不自然。

要解決這個(gè)問(wèn)題，一是要從數(shù)學(xué)研究的基本方法、過(guò)程上找思路，二是要從數(shù)學(xué)與自然的關(guān)系上求出路。將自然中的狀態(tài)“數(shù)學(xué)化”，即用“數(shù)”刻畫自然中的狀態(tài)，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過(guò)研究數(shù)學(xué)模型發(fā)現(xiàn)自然的規(guī)律，是數(shù)學(xué)研究中最常見(jiàn)的基本方法和過(guò)程。

基于這樣的認(rèn)識(shí)，我們可以設(shè)計(jì)這樣的問(wèn)題情境：

如圖2，觀察某株樹(shù)木的枝丫數(shù)，第一年為1，第二年為1，第三年為2，第四年為3，第五年為5，第六年為8，第七年為13，第八年為21，第九年為34，第十年為55，第十一年為89，第十二年為144……將它們按年份排列起來(lái)，就是下面的一列數(shù)：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…

你能發(fā)現(xiàn)這列數(shù)有什么規(guī)律嗎？

讓學(xué)生思考一段時(shí)間后，我們可以繼續(xù)介紹和追問(wèn)：

數(shù)學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)，這一列數(shù)有許多規(guī)律。例如，從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)都等于前兩個(gè)數(shù)的和;第n個(gè)數(shù)為151+52n-1-52n;相鄰兩個(gè)數(shù)的比值（前一個(gè)數(shù)與后一個(gè)數(shù)之比）越來(lái)越接近于某個(gè)確定的常數(shù)。

后來(lái)，人們?cè)谘芯扛鞣N類型花的花瓣數(shù)時(shí)得到表1所示的事實(shí)。表中出現(xiàn)的花瓣數(shù)都出現(xiàn)在上面的一列數(shù)中，另外花籽的排列方式及籽粒數(shù)也與這一列數(shù)有著密切的關(guān)系。

上述研究的基本過(guò)程是什么？從這個(gè)案例中，你可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的一種基本模式嗎？

由此可以使學(xué)生了解為什么要研究“按一定順序排列著的一列數(shù)”以及怎樣研究這類問(wèn)題，理解數(shù)列概念的本質(zhì)。而且，這個(gè)過(guò)程是有吸引力的，課堂氛圍一定會(huì)很熱烈。

其實(shí)，數(shù)學(xué)的“模式”與自然界的聯(lián)系是非常密切的，數(shù)學(xué)教學(xué)要善于運(yùn)用這種聯(lián)系激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

比如：（1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，路程與時(shí)間的平方成正比例，這個(gè)規(guī)律由公式s=12gt2（g為重力加速度，約為9.81米/秒2）來(lái)表示，它表示路程s是時(shí)間t的函數(shù);（2）質(zhì)量為m的物體以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的動(dòng)能以公式E=12mv2來(lái)表示，因此，對(duì)于給定的物體，動(dòng)能E是速度v的函數(shù);（3）導(dǎo)線中有電流通過(guò)時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量以公式Q=12RI2來(lái)表示，其中R表示導(dǎo)線的電阻，I表示電流強(qiáng)度，因此，當(dāng)電阻一定時(shí)，Q是I的函數(shù);（4）銳角α相鄰的直角邊為x的直角三角形的面積以S=12x2tan α來(lái)表示，因此，當(dāng)銳角α確定時(shí)，S是x的函數(shù)。上述四個(gè)公式可以統(tǒng)一成y=12ax2。

這就是從具體的變量t、s，v、E，I、Q，x、S等過(guò)渡到一般的變量x、y，從具體的依賴關(guān)系過(guò)渡到它們的統(tǒng)一形式的抽象過(guò)程。如果說(shuō)力學(xué)、電學(xué)等研究的是與具體的量聯(lián)系著的具體公式，那么，數(shù)學(xué)研究的則是與具體的量不一定有關(guān)的一般公式。正是這一般公式，揭示了自然界的一般規(guī)律——它們的統(tǒng)一性。

數(shù)學(xué)教學(xué)就是要讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的過(guò)程，由此感受數(shù)學(xué)的意義與價(jià)值。如此，數(shù)學(xué)課堂就有了“情節(jié)”和“生命”，也就有了意蘊(yùn)和趣味。

三、用數(shù)學(xué)精神引領(lǐng)思維活動(dòng)

日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏在《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》一書中，舉了一個(gè)例子：“解方程 5x-7=3x+1：5x-7=3x+1→5x-3x=1+7→2x=8→x=82→x=4。即進(jìn)行逐步的等價(jià)變換，使之化為最簡(jiǎn)形式，從而得到方程的解。像這樣處理問(wèn)題，就是數(shù)學(xué)的精神?！睋Q句話說(shuō)，如果僅僅是將上述過(guò)程作為一種操作步驟，沒(méi)有了轉(zhuǎn)化與化歸思想的引領(lǐng)，那么上述過(guò)程就是機(jī)械的、沒(méi)有靈魂的。

英國(guó)著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家懷特海在《教育的目的》一書中，也批判了缺少精神引領(lǐng)的數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀：“最近幾年來(lái)，（在函數(shù)教學(xué)中）關(guān)于作圖，一直在進(jìn)行重要的改革，但是從現(xiàn)階段來(lái)看，這種改革不是走向極端，就是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不足。僅僅學(xué)會(huì)畫圖表是不夠的。隱藏在圖表背后的思想——就像槍后面的那個(gè)人——才是取得成效真正不可缺少的。”

數(shù)學(xué)的精神體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的觀念、意識(shí)、思想和方法等各個(gè)方面，是數(shù)學(xué)基本規(guī)律的體現(xiàn)。課堂教學(xué)中，讓所有的活動(dòng)都具有數(shù)學(xué)的精神，這樣的課堂必定是引人入勝的。

學(xué)生要學(xué)習(xí)很多數(shù)學(xué)知識(shí)，將它們作為知識(shí)點(diǎn)碎片化地記憶，一定是不能引起學(xué)習(xí)興趣的，也難以促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。數(shù)學(xué)審美下求簡(jiǎn)、追求統(tǒng)一的理性精神是最基本的數(shù)學(xué)精神。運(yùn)用這一精神引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，將零碎的知識(shí)整合成關(guān)聯(lián)的體系，一定是引人入勝的，也能夠突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生的理解性學(xué)習(xí)。

比如，對(duì)于求1+2+3+…+100的值，小學(xué)教師會(huì)介紹高斯運(yùn)用的“配對(duì)法”（高斯當(dāng)時(shí)真實(shí)的思維過(guò)程不得而知，也有可能運(yùn)用的就是倒序相加的方法，但這并不影響學(xué)生基于已有知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行探究），即配成50個(gè)101。那么，如何求1+2+3+…+100+101的值呢？當(dāng)然，可以先求出1+2+3+…+100的值，再加上101，或者這樣配對(duì)：（1+101）+（2+100）+（3+99）+…+（50+52）+51=50（1+101）+51?，F(xiàn)在的問(wèn)題是：能不能將這兩種情形（奇數(shù)個(gè)加數(shù)與偶數(shù)個(gè)加數(shù)）的處理方法統(tǒng)一起來(lái)呢？其實(shí)，只要用數(shù)學(xué)的審美眼光考察上面的配對(duì)過(guò)程，就可以發(fā)現(xiàn)是完全可以的。

先看奇數(shù)個(gè)加數(shù)的情形，從數(shù)學(xué)的精神追求來(lái)看“（1+101）+（2+100）+（3+99）+…+（50+52）+51”這樣的配對(duì)過(guò)程，就能夠發(fā)現(xiàn)：既然和式中的101個(gè)加數(shù)的“地位”是平等的，那么，為什么到了“51”時(shí)不繼續(xù)配下去呢？這是不應(yīng)該的！如此繼續(xù)配對(duì)后，可以發(fā)現(xiàn)：出現(xiàn)了順序正好相反的兩個(gè)等差數(shù)列1，2，3，…，99，100，101和101，100，99，…，3，2，1的和。于是，倒序相加這一等差數(shù)列的求和方法躍然紙上。再看偶數(shù)個(gè)加數(shù)的情形，同樣地，如果不是從解題的功利角度看，而是從數(shù)學(xué)的精神追求看的話，也應(yīng)該完整地寫出和式中各個(gè)加數(shù)所對(duì)應(yīng)的加數(shù)。

再如，學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)在統(tǒng)一性（也就是平行與相交的統(tǒng)一性），感悟它們的本質(zhì)都是平角的大小是180°（它們是平角的不同表現(xiàn)形態(tài)）：如圖3，因?yàn)槠揭撇桓淖儍蓷l直線夾角的大小，所以∠1=∠2（同位角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等），又因?yàn)椤?和∠3合在一起是平角，所以∠1+∠3=180°（同旁內(nèi)角互補(bǔ)）;如圖4，∠3被分成了∠4與∠5，而∠5=∠6（同位角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等），故∠1+∠4+∠6=180°（三角形內(nèi)角和為180°）。學(xué)生能夠從中感受到數(shù)學(xué)的審美意蘊(yùn)與精神內(nèi)核。

四、像數(shù)學(xué)家一樣思考

數(shù)學(xué)思維是充滿美感的，而且是一種發(fā)乎于心靈深處的感受。尤其是當(dāng)我們面對(duì)數(shù)學(xué)家們當(dāng)初所面對(duì)的情境（問(wèn)題），像數(shù)學(xué)家們一樣，用數(shù)學(xué)的思維方式去思考、探究、發(fā)現(xiàn)，特別是由此產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)觀念時(shí)，那種精神的享受是難以言表的。而這樣的過(guò)程也就更加引人入勝了。

比如，教學(xué)“函數(shù)的奇偶性”時(shí)，就可以向?qū)W生展示、讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家的思維：

一位名人曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)家都是些‘懶人?！睘槭裁催@么說(shuō)呢？因?yàn)閿?shù)學(xué)家們總是喜歡將新的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決了的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將總體的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為局部的問(wèn)題。比如，他們總喜歡先研究函數(shù)的性質(zhì)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決進(jìn)一步的問(wèn)題，或簡(jiǎn)化研究方式，或縮小研究的范圍。一個(gè)簡(jiǎn)單的情況是，如果函數(shù)的圖像具有某種對(duì)稱性，我們就可以只研究其部分定義域內(nèi)的性質(zhì)，從而推知其整個(gè)定義域上的性質(zhì)。你能舉出這樣的例子嗎？

學(xué)生思考、舉例，如：y=x2的圖像具有對(duì)稱性，所以只要知道了[0，+∞）上的性質(zhì)（如單調(diào)性），就可以知道（-∞，0]上的對(duì)應(yīng)性質(zhì);y=1x的圖像具有對(duì)稱性，所以只要知道了（0，+∞）上的性質(zhì)（如單調(diào)性），就可以知道（-∞，0）上的對(duì)應(yīng)性質(zhì)。教師繼續(xù)提問(wèn)：

那么，函數(shù)y=x4-x2+1和函數(shù)y=x3x2-1的圖像的對(duì)稱性如何？應(yīng)該如何判斷呢？

前兩個(gè)函數(shù)的圖像學(xué)生十分熟悉，但是，這兩個(gè)函數(shù)的圖像學(xué)生畫不出來(lái)。這就需要判斷對(duì)稱性的新方法，自然就提出了如何判定函數(shù)圖像關(guān)于y軸、原點(diǎn)對(duì)稱的問(wèn)題，據(jù)此可以建構(gòu)偶函數(shù)、奇函數(shù)的概念。

歷史上數(shù)學(xué)家們的真實(shí)探究過(guò)程對(duì)激活課堂、激發(fā)興趣的作用巨大。比如，數(shù)學(xué)家們是怎樣將正整數(shù)指數(shù)冪推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的，是在怎樣的思想觀念下創(chuàng)造解析幾何的思想方法的，運(yùn)用了怎樣的新思想推導(dǎo)球的體積公式，是怎樣研究“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”的……這些都是教學(xué)設(shè)計(jì)中可以運(yùn)用的好素材。

五、感悟數(shù)學(xué)表征形式的多樣性與內(nèi)在本質(zhì)的一致性

數(shù)學(xué)對(duì)象可以有多種表征形式，如代數(shù)的、幾何的、向量的等。多樣的表征形式為我們提供了使數(shù)學(xué)課堂引人入勝的激發(fā)因子。而教師啟發(fā)、引導(dǎo)的方法也非常簡(jiǎn)單：我們可以怎樣表示這個(gè)對(duì)象？這個(gè)對(duì)象還可以有不同形式的表示嗎？……

比如，對(duì)于前面的等差數(shù)列求和問(wèn)題，教師只需問(wèn)一句“我們能用‘形的形態(tài)有序地表示這些‘?dāng)?shù)嗎？”，學(xué)生就會(huì)興奮地投入到探求直觀化途徑的思維活動(dòng)中。通過(guò)思考與交流，自然地可以獲得如圖5、圖6和圖7所示的三種表征方式。再聯(lián)想到平面幾何中求面積的轉(zhuǎn)化方法“三角形化四邊形”“不規(guī)則圖形化規(guī)則圖形”，通過(guò)拼圖的方法自然可以得到倒序相加的求和技巧。

事實(shí)上，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn=a1+an2n與梯形面積公式的形式是一樣的。于是，其又有著如圖8所示的表征方式。這說(shuō)明，其推導(dǎo)思路的幾何基礎(chǔ)就蘊(yùn)含在這個(gè)表征中。如果據(jù)此進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，課堂上學(xué)生的興致一定很高。

此外，從上面的多種表征形式可以看出，幾何圖形的“割補(bǔ)”與代數(shù)式子的“拼湊”具有內(nèi)在本質(zhì)的一致性，它們是部分與整體、特殊與一般、未知與已知之間的聯(lián)系在兩個(gè)不同表征形態(tài)下的表現(xiàn)形式。如果我們?cè)诮虒W(xué)中揭示出，特別是引導(dǎo)學(xué)生感悟到這種一致性，那么，學(xué)生的興趣一定會(huì)得到極大的激發(fā)，這樣的課堂也一定會(huì)生機(jī)盎然。

六、用好“精彩”的錯(cuò)誤

愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：“只有那些從來(lái)沒(méi)有嘗試過(guò)新事物的人才會(huì)永遠(yuǎn)不犯錯(cuò)誤?！?在長(zhǎng)期的教學(xué)過(guò)程中，我們會(huì)遇到大量的錯(cuò)誤。錯(cuò)誤可以是“精彩”的嗎？當(dāng)然可以！很多非粗心產(chǎn)生的錯(cuò)誤，都和學(xué)生的某種認(rèn)知缺陷或障礙有關(guān)，可以激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，將學(xué)生引入“憤悱”的心理狀態(tài)，從而引發(fā)學(xué)生的積極反思，促進(jìn)學(xué)生的深刻理解。從數(shù)學(xué)史上看，有些錯(cuò)誤甚至對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了推動(dòng)作用。因此，錯(cuò)誤是寶貴的教學(xué)資源，我們要充分地利用它，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使數(shù)學(xué)課堂引人入勝。

有時(shí)，數(shù)學(xué)直覺(jué)會(huì)讓我們產(chǎn)生錯(cuò)誤，糾錯(cuò)的方法就是利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行邏輯推理。這可以在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望的基礎(chǔ)上，促進(jìn)其自主提出問(wèn)題。

比如，教學(xué)“圓的周長(zhǎng)”時(shí)，可以這樣開(kāi)場(chǎng)：

假定地球赤道是一個(gè)完美的圓周，其長(zhǎng)度為40000 km。現(xiàn)在我們把一根40000 km長(zhǎng)的繩子加長(zhǎng)1 m，并將其均勻地放置在赤道所在平面上（與赤道圓心相同）。請(qǐng)問(wèn)：能不能把一只老鼠放在繩子的下面？

學(xué)生基本都會(huì)認(rèn)為不可能，因?yàn)? m相對(duì)于40000 km真的太小了，估計(jì)繩子圍成的圓與赤道圓之間的距離一定非常非常小。這時(shí)，我們可以指出學(xué)生的錯(cuò)誤：

其實(shí)是可以的，因?yàn)榻?jīng)過(guò)計(jì)算，加長(zhǎng)了1 m后，兩個(gè)圓之間的間距約為15.9 cm。

這樣，學(xué)生就會(huì)自主提出問(wèn)題：這是怎樣算出來(lái)的呢？圓的周長(zhǎng)與半徑有什么關(guān)系？……

有時(shí)，數(shù)學(xué)推理本身也會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，糾錯(cuò)的方法就是仔細(xì)檢查推理過(guò)程。這可以在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望的基礎(chǔ)上，提升其思維的批判性和嚴(yán)密性。

比如，解方程：3-21+x=3x+12-x。有學(xué)生這樣做：將方程左邊通分并合并，得3x+11+x=3x+12-x;因?yàn)閮蓚€(gè)分子相等，所以兩個(gè)分母也必須相等，即1+x=2-x，解得x=12。也有學(xué)生直接去分母求解，多出了一解：x=-13。這是怎么回事？……

總之，無(wú)論是知識(shí)教學(xué)，還是解題教學(xué)，讓數(shù)學(xué)課堂引人入勝的策略和方法很多，上面介紹的僅僅是其中的一部分。

最后需要指出的是，引人入勝不是追求熱鬧，更不是嘩眾取寵，而要有數(shù)學(xué)的趣味、數(shù)學(xué)的詩(shī)意、數(shù)學(xué)的內(nèi)涵、數(shù)學(xué)的靈魂，同時(shí)也是心情的愉悅、精神的享受，是從內(nèi)心感受到數(shù)學(xué)的形式之美、內(nèi)容之美、結(jié)構(gòu)之美、規(guī)律之美、思想之美、觀念之美、精神之美……

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