深圳實驗學校高中部

在近幾年的全國高考壓軸題、數學競賽題中，常常遇到與指數類函數、對數類函數、二次函數等非直線型的函數不等式，這類不等式多數是與函數零點、數列求和有關，用“以直代曲”思想方法對這類不等式進行證明，往往更方便、更簡單.下面談談“以直代曲”思想方法在函數中的一些應用.

一、利用切線或割線來逼近曲線

在數學上最容易處理的函數是線性函數，通過將函數在局部轉化為線性函數，是我們處理問題時達到簡單、方便、高效的目的.

我們知道如果連續(xù)函數f(x)(x ∈(a,b))在(a,b)上是上凸函數(f′′(x)＜0)，y=g(x)是曲線y=f(x)在(a,b)上的一條切線，y=h(x)是連結點A(a,f(a))、B(b,f(b))的一條割線，則當x ∈(a,b)時，h(x)＜f(x)≤g(x)(如圖1)；反之，若f(x)是下凸函數(f′′(x)＞0)，則當x ∈(a,b)時，h(x)＞f(x)≥g(x)(如圖2).

例如函數f(x)= lnx是上凸函數，曲線y=f(x)在點(1,0)處的切線為y=x-1，則有l(wèi)nx≤x-1，同理有不等式ex≥x+1，這兩個不等式就是我們經常使用的不等式.

1 利用“以直代曲”證明不等式

利用切線或割線來逼近曲線進行放縮，是證明不等式的一種重要方法.

例1已知f(x)=xlnx-a,a＜0，設x1,x2(x1＜x2)是函數f(x)的零點，求證：ea+1＜x2-x1＜2a+1+e-2(e是自然對數的底數).

分析由于函數y=xlnx是下凸函數，曲線的切線都在圖像下方，則可構造兩割線、兩切線分別證明左、右兩邊不等式.

證明函數f(x)的零點即方程xlnx=a的解，令g(x)=xlnx，因為則函數g(x)為下凸函數，函數y=g(x)的圖像與直線y=a交于兩點(x1,a)、(x2,a)(如圖3).

圖3

圖4

圖5

設曲線y=g(x)在x=e-2和x=1處的切線分別為l1:y=-x-e-2和l2:y=x-1，直線y=a與直線l1、l2分別交于點(x′1,a)、點(x′2,a)(如圖4)，則有x′1＜x1＜x2＜x′2.因為x′1=-a-e-2，x′2=1+a，所以x2-x1＜x′2-x′1=(a+1)-(-a-e-2)=2a+1+e-2.

由g′(x)= 0，得設經過原點O和點的割線為l1′:y=-x，經過點A(1,0)和點的割線為直線y=a與直線l1′、l2′分別交于點(x1′′,a),(x2′′,a)(如圖5)，則有x1＜x1′′＜x2′′＜x2.又因為x1′′=-a，x2′′=(e-1)a+1，所以因此，原不等式成立.

2 利用“以直代曲”求最值

例2已知函數設且a+b+c=3，若不等式f(a)+f(b)+f(c)≤λ恒成立，求實數λ的最小值.

分析由于條件中給出a+b+c=3，則需將f(x)放縮成關于kx+m的形式，又由于a,b,c在條件中處在等價對稱位置，因此，可考慮用曲線y=f(x)在x=1處的切線來逼近曲線y=f(x).

解函數f(x)在x=1處的切線為y=4-x，因為當時，所以f(x)≤4-x.所以f(a)+f(b)+f(c)≤(4-a)+(4-b)+(4-c)=12-(a+b+c).

因為a+b+c=3，所以f(a)+f(b)+f(c)≤12-3=9.故要使不等式f(a)+f(b)+f(c)≤λ恒成立，必須λ≥9.又因為 當a=b=c=1時，滿足條件a+b+c=3，且f(a)+f(b)+f(c)=9，因此，λ的最小值為9.

例3已知求的最大值.

分析給出的條件和需求的代數式都不是關于a,b,c的對稱式，若進行換元，令6a=2x2,3b=2y2,2c=2z2，則命題轉化為在滿足條件x+y+z=3 下，求的最大值.此時條件和需求的代數式都是關于x,y,z的對稱式，則可考慮用曲線在x=1處的切線進行放縮求最值.

解設6a=2x2,3b=2y2,2c=2z2，則x+y+z=3，

下面證明當0≤x≤3時，不等式成立.因為

又因為當x ∈[0,3]時，有2x3-3x2-8x-13 =x2(x-3)+x(x2-9)+x-13＜0，所以不等式成立，即則有

因為x+y+z=3，所以等號當x=y=z=1時取得，因此，所求最大值為

二、利用矩形來逼近曲邊梯形

根據定積分定義我們知道，如果函數f(x)在[a,b]上連續(xù)，則其中

將區(qū)間[a,b]等分成n個小區(qū)間，如果f(x)在[a,b]上單調遞減，且f(x)＞0，根據函數圖像，則f(x)在第i個小區(qū)間上的曲邊梯形面積大于且小于因此，根據定積分定義可以得到下列不等關系：

圖6

圖7

如果f(x)在[a,b]上單調遞增，則得到與上述不等式相反的結論.因此，對一些求和型的不等式(或我們可以通過構造函數，根據函數的單調性，利用定積分定義進行證明.

例4(2009年全國高中數學聯賽加試)求證不等式：

分析因為所以可看成是n個小矩形面積的和.若將每個小矩形放縮成曲邊梯形，則可利用定積分定義證明該不等式.

證明令則f(x)在(1,+∞)單調遞減，所以因為

總之，“以直代曲”思想本質上是利用非線性函數在定義域內某個區(qū)間上的凸性，恰當利用切線、割線或矩形，將函數值運算放縮為線性運算或較簡單的代數式運算.對于一些不等式的證明問題和最值的求解問題，運用“以直代曲”方法，往往能化繁為簡.