陜西省岐山縣蔡家坡高級(jí)中學(xué)

1 前言

題目(《數(shù)學(xué)通報(bào)》2019年10月號(hào)問(wèn)題2510[1])已知a,b,c＞1,a+b+c+2≥abc,求證：

文[2]的作者在《數(shù)學(xué)通報(bào)》2019年11期給出了如下的

證明條件等價(jià)于即

注意到，當(dāng)a≥b≥c＞1,時(shí)，有于是，應(yīng)用切比雪夫不等式，得

文[2]的證明中，不等式(?)跳躍性太大，它不是由切比雪夫不等式直接得到的.按文[2]的證明，由切比雪夫不等式得到的不等式應(yīng)該為：

而由不等式(??)要推出不等式(?)，并不是顯然的，還應(yīng)該有適當(dāng)?shù)淖C明.下面的另證，調(diào)整思路，兩次應(yīng)用切比雪夫不等式，嚴(yán)格的證明問(wèn)題2510.

2 另證

證明由已知，

不妨設(shè)a≥b≥c＞1,先證明

所以，

由切比雪夫不等式，得

所以

即不等式(1)成立.

3 推廣

已知條件a,b,c＞1,a+b+c+2≥abc可推廣為：ai＞1(i=1,2,...,n,n≥3,n ∈N),

比較復(fù)雜，用起來(lái)也不方便.而

并且這個(gè)等價(jià)條件易于推廣，使用方便，因此，可以考慮用等價(jià)條件作為已知條件進(jìn)行推廣.按照這個(gè)思路，下面對(duì)問(wèn)題2510進(jìn)行推廣.

3.1 問(wèn)題2510 按項(xiàng)數(shù)推廣

定理1已知ai＞1(i=1,2,...,n,n≥3,n ∈則

證明由先證明不妨設(shè)a1≥a2≥...≥an＞1,由有則而由切比雪夫不等式，得

由切比雪夫不等式，得

定理2已知ai＞k(i=1,2,···,n,n≥3,n ∈N,0＜k＜則

證明由先證明不妨設(shè)a1≥a2≥...≥an＞k,由有則

由切比雪夫不等式，得

所以

即不等式(3)成立.

3.2 問(wèn)題2510 按指數(shù)推廣

定理3已知ai＞1(i=1,2,...,n,n≥3,n ∈N),m≥則

定理4已知ai＞k(i=1,2,...,n,n≥3,n ∈N,0＜則

為證明定理3、定理4，先證明下面的引理：

引理已知h,k＞0,r,m ∈N+,r≤m,x＞0,則

(i)當(dāng)h＞k時(shí)，函數(shù)

y=是減函數(shù)；

(ii)當(dāng)h＜k時(shí)，函數(shù)

y=是增函數(shù).

證明設(shè)則

A′B展開(kāi)式同次排成一列，得菱形狀圖表.

x2m-r-1項(xiàng)的系數(shù)分布：

xm-r-1項(xiàng)的系數(shù)分布：

同理，AB′展開(kāi)式中x2m-r-1項(xiàng)的系數(shù)分布：

xm-r-1項(xiàng)的系數(shù)分布：

所以，得A′B-AB′展開(kāi)式中兩邊(橫、側(cè))的通項(xiàng)：故當(dāng)h＞k時(shí)，y′≤0,函數(shù)

y=是減函數(shù)；當(dāng)h＜k時(shí)，y′≥0,函數(shù)

y=是增函數(shù).

驗(yàn)證r=1時(shí)，由①②分別得時(shí)，由①②分別得3時(shí)，由①得其和與上面計(jì)算的分子上的結(jié)果一致，并且，其增減性符合引理.

下面證明定理3、定理4：

證明由定理1的證明知且

由切比雪夫不等式，得

所以

即不等式（4）成立.

由切比雪夫不等式，得

所以

即不等式（5）成立.