蘇孟琪

摘 要：以《直線與平面所成角》為例，通過探究實(shí)驗(yàn)、信息技術(shù)手段、設(shè)置問題串作為線索等手段啟發(fā)學(xué)生，滲透類比、降維等思想，提高學(xué)生的邏輯推理能力。同時(shí)也存在線面角的引入缺乏直觀性、唯一性的討論過早等問題，從考試數(shù)據(jù)來看，學(xué)生找角的能力也較弱。

關(guān)鍵詞：啟發(fā)式教學(xué);直線與平面所成角;信息技術(shù)

一、教學(xué)背景

（一）學(xué)生情況

在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了空間中點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系，學(xué)習(xí)了直線與平面平行的定義、判定定理以及性質(zhì)定理，初步運(yùn)用過“降維”的思想方法來處理一些問題。在這個(gè)過程中，學(xué)生的幾何直觀得到了進(jìn)一步的發(fā)展，逐漸開始建立空間觀念。與此同時(shí)，學(xué)生本身的幾何知識(shí)水平仍然停留在平面幾何階段，并且立體幾何的圖形和人們?nèi)粘Ｉ畹膱D形結(jié)構(gòu)存在一定的差異性，這使得學(xué)生更加不好理解立體幾何。另一方面，學(xué)生正處于從形象思維到抽象思維的轉(zhuǎn)折階段，邏輯思維能力不足，很難理解立體幾何知識(shí)點(diǎn)間的邏輯關(guān)系，只能通過死記硬背的方式去記憶，在解題的過程中，學(xué)生只能將公式定理當(dāng)做模板去套用，沒有靈活性。因此，如何啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索是立體幾何教學(xué)的重點(diǎn)。

（二）教學(xué)情況

在學(xué)習(xí)立體幾何之前，學(xué)生進(jìn)行了必修五《解三角形》和《數(shù)列》的學(xué)習(xí)，明顯表現(xiàn)出對《數(shù)列》學(xué)習(xí)的不適應(yīng)性，一是不能抓住數(shù)列明顯的結(jié)構(gòu)特征來聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)解題;二是不能順暢地進(jìn)行邏輯推理，涉及到多層推理的問題很多學(xué)生都選擇放棄;三是知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系非常薄弱。這些問題到立體幾何部分更加嚴(yán)重，學(xué)生只能處理直接明了的證明題。

在立體幾何的證明中，學(xué)生的書寫非?；靵y，輔助線的構(gòu)建也很雜亂，這也從側(cè)面反映出學(xué)生在證明過程中的邏輯是比較混亂的。在平常的教學(xué)中，教師一般都是畫圖+實(shí)物演示結(jié)合進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生往往聽得似是而非，對定義定理的理解模棱兩可，沒有建立起一個(gè)具體的幾何模型。圖像與實(shí)物間也需要一條橋梁，幫助學(xué)生將平面圖像轉(zhuǎn)化成空間中的立體圖形，信息技術(shù)是最好的方式。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)

為了緩解或者解決上述問題，我的教學(xué)設(shè)計(jì)采用了啟發(fā)式教學(xué)，以“降維思想”為核心，首先通過復(fù)習(xí)讓學(xué)生回憶“降維”在立體幾何中的應(yīng)用，然后圍繞選平面中的哪條線與斜線所成角來替代線面角展開，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)先讓學(xué)生提出假設(shè)，隨后通過GeoGebra演示平面中不同的直線與斜線所成角的規(guī)律，然后得到結(jié)論。最后再利用數(shù)學(xué)符號語言對結(jié)論給予嚴(yán)格的證明。

這樣的研究符合知識(shí)發(fā)展和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在這個(gè)過程中，學(xué)生既從直觀上理解了斜線與其射影在平面上所成角的優(yōu)越性，也從邏輯上給出了嚴(yán)格證明，既有數(shù)也有形，多個(gè)方面幫助學(xué)生理解線面角的定義。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)與不足

（一）教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)

1. 以“降維”為核心設(shè)計(jì)問題串

學(xué)生對直線與平面所成角只有一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)，如何將這個(gè)感性的認(rèn)識(shí)一步步剖析開，用理性思維去認(rèn)識(shí)是設(shè)置問題串所需要解決的問題。

部分教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)過程 設(shè)計(jì)意圖

【任務(wù)一：復(fù)習(xí)舊知】

【任務(wù)二：探究定義】

步驟一：

問題1：平面內(nèi)的直線與斜線的位置關(guān)系是怎樣的？

問題2：用平面內(nèi)哪條過斜足的直線與斜線所成角來刻畫直線與平面所成角？

情況一：用斜線在平面上的射影與斜線所成角來替代直線與平面所成角

情況二：不清楚應(yīng)該用哪條

教師引導(dǎo)：我們回憶一下距離的定義，兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到直線的距離我們都用的是最小距離來定義，用最小量定義是我們常見的定義方式，因此我們有了定義的方向，利用最小的線線角來定義線面角

步驟二：實(shí)驗(yàn)探究

1. 提出問題：平面內(nèi)哪條過斜足的直線與斜線所成角為最小角

2. 提出假設(shè)：斜線在平面內(nèi)的射影與斜線所成角為最小角

3. 實(shí)驗(yàn)探究：利用GeoGebra演示平面中不同的直線與斜線所成角

4. 實(shí)驗(yàn)結(jié)論：

首先任務(wù)一通過復(fù)習(xí)引導(dǎo)學(xué)生回憶“降維”的思想方法，以它作為定義線面角的切入點(diǎn)，幫助學(xué)生找到研究的方向。

緊接著任務(wù)二中，第一個(gè)步驟利用問題1解決了與斜線異面的問題，進(jìn)一步縮小了平面中的直線范圍，通過問題2和教師的引導(dǎo)幫助學(xué)生進(jìn)一步確定選取直線的標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)提升學(xué)生類比的能力。第二個(gè)步驟的實(shí)驗(yàn)探究在學(xué)生已經(jīng)有了猜測的基礎(chǔ)上，通過信息技術(shù)將規(guī)律直觀展示給學(xué)生，幫助學(xué)生建立對定義的直觀感知。

在這樣的問題設(shè)計(jì)中，教師更多地扮演著引導(dǎo)者和啟發(fā)者的角色。教師通過關(guān)鍵的問題啟發(fā)學(xué)生讓學(xué)生自主思考，讓學(xué)生深入到定義里，從多個(gè)角度去研究去理解而不是浮于表面。

2. 使用信息技術(shù)，增添了直觀感知性

直線與平面所成角的定義中，為什么選擇斜線的射影是研究定義的核心，也是學(xué)生難以理解的地方，很多教師在處理時(shí)選擇先給定義，再嚴(yán)格證明解釋原因。在這個(gè)過程中，學(xué)生并沒有獲得直觀的圖形信息，因此嚴(yán)格的證明也沒有起到加強(qiáng)解釋的作用，對于學(xué)生而言更多的是增添了負(fù)擔(dān)。

基于這樣的情況，設(shè)置了一個(gè)實(shí)驗(yàn)探究，教師利用GeoGebra軟件動(dòng)態(tài)演示，選取不同的平面內(nèi)直線，測量此時(shí)所成的線線角，再拖動(dòng)直線的位置直觀呈現(xiàn)角度的變化。通過這樣的過程，學(xué)生能夠建立一個(gè)具體的模型，對定義也有了直觀的理解。

3. 例題設(shè)置較好，幫助學(xué)生多角度理解射影

當(dāng)學(xué)生利用定義去求線面角時(shí)，找不到射影是學(xué)生最嚴(yán)重的問題。通過連接斜足和垂足來確定射影，因此問題就轉(zhuǎn)化為如何確定平面的垂線。

例1：如圖所示，正方體中，求：

（1）與面所成角的正弦值;

（2）與面所成角的正弦值;

（3）與面所成角的正弦值;

例2：如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，求與底面所成角的正切值。

兩個(gè)例題由淺入深，從學(xué)生最熟悉的正方體模型開始，讓學(xué)生感受并尋找正方體中的垂直位置關(guān)系，同時(shí)也讓學(xué)生意識(shí)到每個(gè)方向都有射影，找射影先找平面垂線。當(dāng)學(xué)生逐漸熟悉找線面角的步驟后，再以棱錐為模型，并且已經(jīng)給了平面的垂線，降低了習(xí)題的難度。

在習(xí)題設(shè)置上，先讓學(xué)生在熟悉的模型里面操作，熟悉的模型未知的內(nèi)容少，難度低，學(xué)生能將注意力更多地集中于找線面角上。然后更換模型，稍微提高難度考察學(xué)生。在這樣階梯式的過渡中，學(xué)生能夠更好地掌握方法。

（二）教學(xué)設(shè)計(jì)的缺點(diǎn)

1. 教學(xué)中對找角的訓(xùn)練不足

在本次期末考中，立體幾何內(nèi)容共考了四題，其中有兩題與找角有關(guān)，年級得分情況如下表。

這兩道題屬于綜合性題目，找角是解決這兩個(gè)題目的關(guān)鍵。從上表數(shù)據(jù)以及考后反饋來看，學(xué)生要么是看到題目與找角有關(guān)就跳過，要么就是找不到角或者找到的角是錯(cuò)誤的。

線面角是異面直線所成角研究的繼續(xù)，也是研究二面角的基礎(chǔ)。它在異面直線所成角的基礎(chǔ)上結(jié)合了平行和垂直的位置關(guān)系，更加考察學(xué)生的空間想象和邏輯推理能力。因此這節(jié)課的主要內(nèi)容是線面角定義的生成，而難點(diǎn)是如何尋找線面角，但是如何尋找線面角只在習(xí)題中體現(xiàn)出來，學(xué)生的訓(xùn)練不到位。

2. “最小角”的證明可能過早

學(xué)生觀察出斜線在平面上的射影與斜線所成角為最小角是很容易的，當(dāng)有了這樣一個(gè)認(rèn)知以后，線面角的定義也就呼之欲出了，嚴(yán)格地進(jìn)行證明不是必須的，對于水平不同的班級，是否需要嚴(yán)格證明要視學(xué)生情況而定。

3. 射影強(qiáng)調(diào)不到位

射影是線面角的基礎(chǔ)，但是這份教學(xué)設(shè)計(jì)對射影只是匆匆略過，強(qiáng)調(diào)不到位影響后續(xù)練習(xí)效果。如圖所示，斜線與其在平面上的射影可以構(gòu)成，因此可以利用直角三角形求線面角的正余弦值和正切值，計(jì)算量就小了很多。這個(gè)直角三角形要多加強(qiáng)調(diào)，讓學(xué)生加深印象。

四、教學(xué)設(shè)計(jì)的改進(jìn)方案

針對上述問題，提出以下改進(jìn)方案。

通過演示光從上往下照射，斜線在平面上留下影子，借此引出射影的概念，隨后教師進(jìn)行板書，在黑板上演示一遍射影的畫法，最后強(qiáng)調(diào)此時(shí)形成了一個(gè)直角三角形。通過一系列的設(shè)問探究后得到線面角的定義，此時(shí)教師需要一邊復(fù)述定義，一邊畫出線面角，再次強(qiáng)調(diào)此時(shí)通過射影的定義形成了一個(gè)直角三角形，這能夠降低我們的計(jì)算量和計(jì)算難度。

找角作為學(xué)生的一大難點(diǎn)，一方面與學(xué)生的線面垂直的判定功力有關(guān)，另一方面也與不熟練找角的程序性操作有關(guān)。因此建議在給出線面角的定義后，給出學(xué)生找線面角的程序性步驟：第一步過直線上一點(diǎn)做平面垂線交平面于點(diǎn)，第二步連接斜足和垂足形成射影，第三步直線與所形成的角即為線面角。最后在練習(xí)中，按照這樣的步驟與學(xué)生一起尋找線面角，在練習(xí)中熟悉這個(gè)程序性步驟。

附件：導(dǎo)學(xué)案

2.3.1 直線與平面垂直的判定（二）

——直線與平面所成角

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1. 了解平面的斜線的定義，理解射影的概念

2. 掌握直線與平面所成角的概念，并會(huì)求直線與平面所成的角

3. 培養(yǎng)學(xué)生的讀圖、作圖的能力，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，滲透類比，降維等思想

【學(xué)習(xí)過程】

一、復(fù)習(xí)舊知

復(fù)習(xí)線面垂直的定義和線面垂直的判定定理

二、探究新知