王成強(qiáng)

（成都師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611130）

中國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試的數(shù)學(xué)試題（簡(jiǎn)稱考研數(shù)學(xué)）主要涉及“微積分”“線性代數(shù)”“解析幾何”“概率統(tǒng)計(jì)”等知識(shí)模塊[1]。 這些知識(shí)模塊彼此相關(guān)又各自具有鮮明的特色。 解析幾何知識(shí)模塊與微積分知識(shí)模塊、線性代數(shù)知識(shí)模塊緊密相關(guān)?？佳袛?shù)學(xué)中的解析幾何知識(shí)考點(diǎn)的分?jǐn)?shù)值占比很低，但因其與其他知識(shí)的緊密相關(guān)性，解析幾何考研題具有特殊的研究?jī)r(jià)值。本文的研究對(duì)象是2018年考研數(shù)學(xué)(一) 第一題第2小題，其內(nèi)容完整表述如下。

在問題（*）中，“相切”即是（切）平面與曲面 只交于一點(diǎn)[2-4]。 問題（*）具有一定的難度，它雖有教材背景，但其考查視角新穎，讓人較難在短時(shí)間內(nèi)探索出清晰的解題思路。 問題（*）的知識(shí)交匯性極強(qiáng)，可從幾何、分析、線性代數(shù)等不同方向進(jìn)行探索并獲得解答。 鑒于以上兩點(diǎn)，問題（*）的研究結(jié)論對(duì)進(jìn)一步理解微積分理論、線性代數(shù)及二次曲面理論都有一定的啟發(fā)性意義，本文旨在對(duì)問題（*）進(jìn)行多解探究。

1.預(yù)備知識(shí)

3.結(jié)束語

本文基于（解析）幾何、微積分、線性代數(shù)等多種觀點(diǎn)給出了2018年中國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試的數(shù)學(xué)試題第一題第2小題（問題（*））的5種解法。從解答過程中得到三點(diǎn)啟示: 從書本知識(shí)中尋找解題思路，如解法2, 在教材中可獲知, 曲面的切平面方程為利用題設(shè)條件“切平面過點(diǎn)列出另外兩個(gè)方程，從這三個(gè)方程可解出切點(diǎn)的坐標(biāo)及切平面方程；從所求的對(duì)象中尋找解題思路，如解法1，3，4（也見文獻(xiàn)[6]），先設(shè)出切平面的方程，再利用未利用的題設(shè)條件解出切平面中的待定參數(shù)；從書本的課后拓展中尋找解題思路，如解法5。