傅希林

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，250358，濟(jì)南)

1 引 言

不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)是從動(dòng)力學(xué)角度描述刻劃客觀現(xiàn)實(shí)中相互作用的若干物體的動(dòng)力學(xué)模型.現(xiàn)實(shí)世界中大量實(shí)際問題的研究對(duì)象往往不是單一、靜止、孤立的，而是多個(gè)、動(dòng)態(tài)、相互作用的.具有這樣特征的實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型往往可歸結(jié)為不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng).

不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)是這樣的動(dòng)力系統(tǒng)：一般而言，在不同區(qū)域或不同時(shí)間區(qū)間上存在不同的連續(xù)子系統(tǒng)，且不同的連續(xù)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)都是不同的.從相互作用、動(dòng)態(tài)、統(tǒng)一的觀點(diǎn)將各個(gè)不同區(qū)域或不同時(shí)間區(qū)間上存在的連續(xù)子系統(tǒng)，連同各不同區(qū)域邊界的特性(譬如邊界約束條件)或不同時(shí)間區(qū)間端點(diǎn)的特性(譬如傳輸率)一起，整體看作動(dòng)態(tài)域上的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng).

1.1實(shí)際意義大量機(jī)械工程中的實(shí)際問題(譬如碰撞問題、摩擦問題、連接問題、懸掛問題等)的數(shù)學(xué)模型往往可以用“不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)”來描述.滑模控制的大量實(shí)際問題(譬如同步問題、導(dǎo)彈跟蹤問題、航天器列隊(duì)飛行問題等)的數(shù)學(xué)模型往往可歸結(jié)為含有某種控制律的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng).

許多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型可以歸結(jié)為這樣一類具有切換時(shí)刻的切換動(dòng)力系統(tǒng)：有限個(gè)子系統(tǒng)在無限個(gè)時(shí)間區(qū)間上進(jìn)行切換，而在切換時(shí)刻(區(qū)間端點(diǎn))滿足傳輸律.從不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的角度來看，這類切換動(dòng)力系統(tǒng)實(shí)質(zhì)上是一類具體的具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng).

具有瞬時(shí)突變現(xiàn)象的實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型往往可以歸結(jié)為具體的脈沖微分系統(tǒng).根據(jù)脈沖微分系統(tǒng)理論[1]，脈沖微分系統(tǒng)常見類型有兩類：一類是具有固定時(shí)刻脈沖的脈沖微分系統(tǒng)，其特點(diǎn)是脈沖時(shí)刻與狀態(tài)無關(guān).這類脈沖微分系統(tǒng)實(shí)質(zhì)上是一類以脈沖時(shí)刻為切換時(shí)刻的具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng).另一類是具有任意時(shí)刻脈沖的脈沖微分系統(tǒng)，其特點(diǎn)是脈沖面依賴于狀態(tài).這類脈沖微分系統(tǒng)實(shí)質(zhì)上是一類以脈沖面為邊界的具邊界轉(zhuǎn)換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng).因此從不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的角度來看，具有瞬時(shí)突變現(xiàn)象的實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型往往可以歸結(jié)為具體的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng).

近年來關(guān)于多自主體系統(tǒng)的研究受到廣泛關(guān)注，形成了研究的熱點(diǎn)問題.自主體是具有一定獨(dú)特性特征各自可識(shí)別的多單元系統(tǒng)的個(gè)體；所謂多自主體系統(tǒng)就是含有多個(gè)自主體的集合或群體，它是一個(gè)有一定規(guī)則和秩序的群體，它能夠完成群體內(nèi)單個(gè)個(gè)體不能完成的、比較復(fù)雜或艱巨的任務(wù).研究表明，多自主體系統(tǒng)已成功應(yīng)用于太空衛(wèi)星群運(yùn)行、信息網(wǎng)絡(luò)擁塞、無人飛機(jī)的協(xié)同、機(jī)器人隊(duì)列控制、網(wǎng)絡(luò)游戲設(shè)計(jì)以及人群行為模擬等實(shí)際問題.從不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的角度來看，多自主體系統(tǒng)實(shí)質(zhì)上是以各個(gè)自主體為子系統(tǒng)的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng).

1.2歷史縱觀現(xiàn)從歷史的角度縱觀不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)研究所經(jīng)歷的自然過程.這里僅指出不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)研究的基本背景和幾個(gè)關(guān)鍵趨勢(shì)，而不是提供其詳細(xì)的歷史.可以認(rèn)為，關(guān)于不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的研究迄今已經(jīng)歷了3次發(fā)展浪潮.

不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)研究的歷史可以追朔到20世紀(jì)30年代.在機(jī)械工程中基于“碰撞”或“摩擦”的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)實(shí)際問題是普遍存在的.對(duì)這些問題的動(dòng)力學(xué)研究是機(jī)械工程研究領(lǐng)域最基本且又最重要的問題.1931年den Hartog[2]研究了具有摩擦的、含有強(qiáng)迫外力的阻尼線性振子的周期運(yùn)動(dòng).1932年den Hartog和MiKina[3]使用固定域上無阻尼的分段線性系統(tǒng)來研究齒輪嚙合動(dòng)力學(xué).1949年Levinson[4]用分段線性模型研究了具有周期激勵(lì)的VdP方程的周期運(yùn)動(dòng).1988年Ozguven和Houser[5]用分段線性模型和碰撞模型來描述和研究嚙合力學(xué)模型.1991年Nordmark[6]使用術(shù)語(yǔ)“擦邊”對(duì)一個(gè)具體碰撞振子的擦邊現(xiàn)象進(jìn)行了描述并給出了擦邊條件.1998年Natsiavas[7]研究了含有三個(gè)對(duì)稱線性彈簧的分段線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和周期分支.這些關(guān)于機(jī)械工程中的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)實(shí)際問題的前期研究工作都是在固定域上進(jìn)行的，大多是化作分段線性系統(tǒng)用連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的方法進(jìn)行研究，但是關(guān)于不連續(xù)邊界上流的奇異性分析不夠充分.

20世紀(jì)60年代不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)研究的第二次浪潮很大程度上是伴隨著“微分包含”、“極值函數(shù)”概念的形成與相應(yīng)非光滑理論的出現(xiàn)而掀起的.1964年Filippov[8]將庫(kù)侖(Coulomb)摩擦振子模型視為右端不連續(xù)的微分方程，通過引入“微分包含”和“極值函數(shù)”方法，研究了該系統(tǒng)不連續(xù)邊界的滑模運(yùn)動(dòng)，并討論了這類不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)(非光滑系統(tǒng)可以看作是一類具體的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng))解的存在性和唯一性.1974年Aizerman和Pyatniskii[9,10]拓展了Filippov的概念，提出了非光滑系統(tǒng)的一般理論.1976年Utkin[11]基于Filippov非光滑系統(tǒng)理論發(fā)展了動(dòng)力系統(tǒng)的控制方法，即滑?？刂?2000年Kunze M, Kupper T和Li Yong[12]給出了非光滑系統(tǒng)的Conley 指數(shù)定理，并應(yīng)用此定理得到了關(guān)于非光滑系統(tǒng)全局分支的研究結(jié)果.2001年Huang Lihong等[13]闡述了右端不連續(xù)微分方程理論與應(yīng)用，給出了具有不連續(xù)激勵(lì)函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型及具有不連續(xù)特征的生物學(xué)模型的研究結(jié)果.2009年Liu X和Han Maoan[14]研究了非光滑Lienard系統(tǒng)的Hopf分支.2010年Han Maoan和Zhang Weinian[15]得到了非光滑planar系統(tǒng)的Hopf分支研究結(jié)果.這些工作的主要特點(diǎn)是突破了過去用連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的研究思想方法來研究不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的局限，運(yùn)用Filippov非光滑系統(tǒng)理論來研究右端不連續(xù)的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng).但整體而言Filippov理論主要集中用于研究非光滑動(dòng)力系統(tǒng)解的存在性與唯一性，且仍是在固定域上來考慮的.因此對(duì)于邊界上流的奇異性尚需進(jìn)一步研究.

脈沖微分系統(tǒng)作為一類具體的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng),對(duì)其研究可以追朔到1960年Mil’man V D和Myshkis A D[16]的工作.自20世紀(jì)80年代對(duì)其研究日益活躍.1989年Lakshmikantham V,Bainov D D和Simeonov P S[17]總結(jié)了脈沖微分系統(tǒng)早期研究成果.國(guó)內(nèi)也相繼有學(xué)者著手這方面的研究.譬如中山大學(xué)的徐遠(yuǎn)通教授、山西大學(xué)的燕居讓教授、中國(guó)海洋大學(xué)的張炳根教授、北京理工大學(xué)的葛渭高教授、清華大學(xué)的章梅榮教授、廣州大學(xué)的庾建設(shè)教授、蘭州大學(xué)的李萬同教授、杭州師大的申建華教授、華中理工大學(xué)關(guān)志洪教授以及華南師大的翁佩萱教授等.1996年Yu Jianshe和Zhang Binggen[18]建立了一階脈沖時(shí)滯微分方程3/2穩(wěn)定性判別準(zhǔn)則.2002年Liu Bing和Yu Jianshe[19]借助重合度延拓定理,得到了二階脈沖微分系統(tǒng)m點(diǎn)邊值問題解的存在性定理.1998年Shen Jianhua和Yan Jurang[20]得到了脈沖泛函微分方程Razumikhin型穩(wěn)定性定理.1999年Fu Xilin, Qi Jiangang和Liu Yansheng[21]通過構(gòu)造具有脈沖積分限的積分函數(shù)，給出了關(guān)于非線性脈沖微分系統(tǒng)周期軌存在的充要條件.2002年Lin Wei[22]研究了具有脈沖的Lorenz系統(tǒng)的Lorenz吸引子性態(tài)，并探討了因脈沖影響所導(dǎo)致的該系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.2008年Fu Xilin,Yan Baoqian和Liu Yansheng[23]總結(jié)了關(guān)于非線性脈沖時(shí)滯微分系統(tǒng)的階段性研究成果，特別是給出了關(guān)于具無窮延滯的脈沖微分系統(tǒng)解的存在性、具實(shí)參數(shù)的脈沖自治微分系統(tǒng)奇點(diǎn)分類與分支的研究結(jié)果.整體來看前期關(guān)于脈沖微分系統(tǒng)研究的特點(diǎn)是：所用的方法主要還是基于研究連續(xù)系統(tǒng)的思想方法；所研究的脈沖微分系統(tǒng)側(cè)重于研究具固定時(shí)刻脈沖情形；而對(duì)于具任意時(shí)刻脈沖的脈沖微分系統(tǒng)的研究，基本上還是局限于軌線對(duì)脈沖面碰且僅碰一次的特殊情形.

不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)研究的第三次浪潮始于2005年的突破.Luo A C J[24]在2005年出了動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論.2006年Luo A C J[25]及2008年Luo[26]對(duì)此理論又作了進(jìn)一步凝練和提升.2007年Luo A C J和Thapa[27]運(yùn)用不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的流轉(zhuǎn)換理論研究了在周期激勵(lì)作用下剎車系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為.2009年 Luo A C J[28]將不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的流轉(zhuǎn)換理論用于“同步”的研究，得到了“彈簧”振動(dòng)系統(tǒng)與“單擺”振動(dòng)系統(tǒng)同步的充要條件.2012年Luo A C J[29]系統(tǒng)闡述了動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論的基本內(nèi)容，搭建出動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論的基本架構(gòu).上述工作的特點(diǎn)是所考慮的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)模型都是在動(dòng)態(tài)域上來考慮的，都運(yùn)用了“G函數(shù)”作為測(cè)度來“度量”不連續(xù)邊界的奇異性，并運(yùn)用流轉(zhuǎn)換理論具體分析了邊界上流的轉(zhuǎn)換性；有些工作還運(yùn)用映射動(dòng)力學(xué)理論在“動(dòng)態(tài)域”與“不連續(xù)”情形下研究了相應(yīng)模型的周期運(yùn)動(dòng).特別需要指出的是，近年Ni Mingkang[30]獨(dú)辟蹊徑,運(yùn)用奇異攝動(dòng)多尺度方法和空間對(duì)照結(jié)構(gòu)理論得到了關(guān)于脈沖微分系統(tǒng)解的結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新結(jié)果.

同時(shí)，國(guó)際上一批動(dòng)力系統(tǒng)專家學(xué)者近年也著手開展關(guān)于不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的研究.俄羅斯院士、圣彼得堡大學(xué)的Gennady Leonov教授、墨西哥Autonoma 大學(xué)的Valentin Afraimovich教授、法國(guó)巴黎大學(xué)的Maurice Courbage教授、德國(guó)Bielefeld大學(xué)的Dimitry Volchenkov教授、美國(guó)Georgia Tech的Leonid Bunimovich教授、西班牙國(guó)王大學(xué)的Miguel A F S等都從不同角度對(duì)關(guān)于不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的實(shí)際問題進(jìn)行了研究.近5年關(guān)于不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的國(guó)際會(huì)議已分別在美國(guó)、中國(guó)、土耳其、巴西、莫斯科召開.這些都充分說明關(guān)于不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的研究在國(guó)際上已日益活躍，并逐漸形成研究熱點(diǎn).

1.3本文結(jié)構(gòu)本文結(jié)構(gòu)如下： 第2節(jié)分別給出具邊界轉(zhuǎn)換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)和具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的基本概念;闡述了不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的兩個(gè)特征，指出其特征會(huì)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)與規(guī)律往往會(huì)產(chǎn)生本質(zhì)影響；并由此自然提出了關(guān)于動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題.第3節(jié)給出了動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論的基本架構(gòu)，并分別闡述了該理論的基本內(nèi)容：流轉(zhuǎn)換理論和映射動(dòng)力學(xué).著重給出G函數(shù)的概念，并借助G函數(shù)在動(dòng)邊界任一點(diǎn)局部建立了相應(yīng)的度量測(cè)度，從而能夠?qū)O限分析的思想方法用于分析研究動(dòng)態(tài)邊界上流的轉(zhuǎn)換及奇異性.第4節(jié)介紹當(dāng)前不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)研究的一些進(jìn)展.

2 不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題

通常有兩類不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)[31]：一類稱作具邊界轉(zhuǎn)換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng),是指在相空間中存在若干不同的區(qū)域,在任何兩相鄰區(qū)域上都分別定義著連續(xù)子系統(tǒng)；一旦子系統(tǒng)的流“抵達(dá)”相應(yīng)區(qū)域的邊界,兩相鄰子系統(tǒng)之間的差異,將通過邊界上的流轉(zhuǎn)換性來傳達(dá).另一類稱作具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng),是指對(duì)于兩相鄰的不同的時(shí)間區(qū)間上對(duì)應(yīng)有確定的動(dòng)力系統(tǒng)；一旦動(dòng)力系統(tǒng)的流“抵達(dá)”時(shí)間區(qū)間端點(diǎn)(切換時(shí)刻)，兩相鄰時(shí)間區(qū)間上動(dòng)力系統(tǒng)的差異，將通過切換時(shí)刻的傳輸率來傳達(dá).

本節(jié)分別給出具邊界轉(zhuǎn)換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)和具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的基本概念.

2.1具邊界轉(zhuǎn)換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)假設(shè)在第i個(gè)開的可接近子域Ωi(α∈{1,2,...，N})上, 存在一個(gè)Cri連續(xù)系統(tǒng)

(1)

H1 兩個(gè)相鄰子系統(tǒng)之間流的轉(zhuǎn)換關(guān)于時(shí)間t是連續(xù)的.

H2 假設(shè)一個(gè)可接近域 Ωi是無界的, 則存在一個(gè)開域Di?Ωi, 該子系統(tǒng)的向量場(chǎng)和流是有界的.也就是說, 在域Di內(nèi), 當(dāng)t∈[0,)時(shí), 存在兩個(gè)常數(shù)K1和K2使得下列不等式

‖F(xiàn)(i)‖≤K1和‖Φ(i)‖≤K2

成立.

H3 假設(shè)一個(gè)可接近域Ωi是有界的, 則存在一個(gè)開域Di?Ωi, 該子系統(tǒng)的向量場(chǎng)有界, 但子系統(tǒng)的流可以無界. 也就是說, 在域Di內(nèi),當(dāng)t∈[0,)時(shí), 存在常數(shù)K1使得下列不等式

‖F(xiàn)(i)‖≤K1和‖Φ(i)‖<

成立.

為了構(gòu)建不同子域之間流的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的相互聯(lián)系, 對(duì)于可連通域的兩個(gè)相鄰可接近域Ωi與Ωj可以定義子域之間的邊界.

(2)

其中邊界約束函數(shù)φij是Cr(r≥1)連續(xù)的.

以邊界為定義域, 相應(yīng)動(dòng)力系統(tǒng)記為

(3)

定義1[32]在相空間中, 對(duì)于定義在各個(gè)子域Ωi(i∈{1,2,...,N})內(nèi)的連續(xù)系統(tǒng)(1)及定義在各個(gè)邊界?Ωij(i,j∈{1,2,...,N})上的邊界系統(tǒng)(3), 在邊界約束函數(shù)(2)的共同作用下形成一個(gè)整體不連續(xù)的動(dòng)力系統(tǒng), 且滿足假設(shè)(H1)-(H3), 則稱系統(tǒng)(1)-(3)為具邊界轉(zhuǎn)換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng).

作為不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的特例, 具任意時(shí)刻脈沖的脈沖微分系統(tǒng)

(4)

就是一類具邊界轉(zhuǎn)換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng), 其中連續(xù)部分為各個(gè)子域內(nèi)的連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng), 依賴狀態(tài)的脈沖面t=τ(x) 為邊界約束函數(shù), 而脈沖函數(shù)x(t+)=h(x(t))是邊界系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程.

2.2具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)若已知不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)在邊界附近出現(xiàn)流的轉(zhuǎn)換或切換的時(shí)刻, 則系統(tǒng)將在達(dá)到這些時(shí)刻時(shí), 受邊界系統(tǒng)的作用在若干連續(xù)子系統(tǒng)之間切換, 從而成為具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng). 切換系統(tǒng)即這種情形的典型例子, 其中傳輸率即邊界系統(tǒng), 切換時(shí)刻即發(fā)生流的轉(zhuǎn)換或切換的時(shí)刻. 假設(shè)在第i個(gè)開子域Ωi(i=1,2,...m,m≤M)內(nèi), 存在一個(gè)區(qū)間[tk-1,tk] 上的Cri(ri≥1)連續(xù)系統(tǒng)

(5)

為了研究包含若干子系統(tǒng)(5)的具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng), 考慮下列假設(shè):

H4 任意兩個(gè)子系統(tǒng)之間流的切換關(guān)于時(shí)間t是連續(xù)的;

H5 在子域Ωi(i=1,2,...，m)內(nèi), 對(duì)t∈[tk-1,tk],

(6)

H6 在子域Ωi(i=1,2,...，m)內(nèi), 對(duì)t∈[tk-1,tk],

(7)

H7 對(duì)t∈[tk-1,tk],

(8)

其中?Ωi為開子域Ωi的邊界, 可以看作

(9)

在假設(shè)H6下, 第i個(gè)子系統(tǒng)的任意流在t∈(tk-1,tk)上, 即切換至相鄰子系統(tǒng)之前, 不會(huì)達(dá)到邊界, 否則可按照前面的具邊界轉(zhuǎn)換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)討論. 通過上述假設(shè), 相應(yīng)子系統(tǒng)在有限時(shí)間區(qū)間上存在有限解, 從而可進(jìn)一步討論具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的定義.

為了討論切換系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為, 首先給出有限切換時(shí)間區(qū)間上的連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)集合的概念.

定義2[33]對(duì)于動(dòng)力系統(tǒng)(5), 假設(shè)系統(tǒng)流發(fā)生切換的時(shí)刻為tk(k∈Z+), 在子域Ωi(i=1,2,...，m)內(nèi)區(qū)間[tk-1,tk]上的動(dòng)力系統(tǒng)集合為

={Si|i=1,2,...,m},

(10)

其中

基于上述定義, 考慮第i個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)Si對(duì)應(yīng)的相空間, 即 第i個(gè)子空間為

(11)

由此可以將系統(tǒng)的相空間劃分為依賴切換時(shí)刻tk的若干子空間及其之間的邊界

(12)

為了研究切換系統(tǒng)在任意兩個(gè)子空間之間流的切換問題, 首先基于具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)相鄰兩個(gè)子空間的上述兩種關(guān)系, 介紹兩種流的連續(xù)切換的定義并給出傳輸率的概念.

定義3[34]考慮動(dòng)力系統(tǒng)集合(10)中的任意兩個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)Si,Sj, 對(duì)應(yīng)子域?yàn)棣竔,Ωj,

則稱系統(tǒng)Si與Sj在tk是Cr-連續(xù)切換的;

(13)

則稱系統(tǒng)Si與Sj在tk是C0-連續(xù)切換的. 由此, 根據(jù)不同時(shí)間區(qū)間上流的切換, 可以給出具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的定義.

定義4[34]考慮相空間的一個(gè)劃分(12), 對(duì)于定義在子空間(11)上的連續(xù)系統(tǒng)

(14)

(15)

的作用下若干(14)式形成一個(gè)整體不連續(xù)的動(dòng)力系統(tǒng), 且滿足假設(shè)(H4)-(H6),則稱系統(tǒng)(14)-(15)為具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng).

作為不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的特例,具固定時(shí)刻脈沖的脈沖微分系統(tǒng)

屬于具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng), 其中由脈沖面函數(shù)解出的固定的脈沖時(shí)刻tk即切換時(shí)刻.

2.3不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)有兩個(gè)特征：其一是所考慮的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)具有隨時(shí)間變化的定義域.其二是所考慮的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)具有關(guān)于邊界或切換時(shí)刻的不連續(xù)性.不同區(qū)域或不同區(qū)間上的動(dòng)力系統(tǒng)不同，整體不連續(xù).這種不連續(xù)性特別體現(xiàn)在邊界上、切換時(shí)刻處.

不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的“動(dòng)態(tài)域”與“不連續(xù)”特征對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)與規(guī)律往往會(huì)產(chǎn)生本質(zhì)影響，導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為.尤其是具邊界轉(zhuǎn)換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)在相鄰區(qū)域共同邊界的轉(zhuǎn)換狀態(tài)、具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)在切換時(shí)刻的切換狀態(tài)都往往會(huì)出現(xiàn)不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)所特有的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為.主要體現(xiàn)在如下三個(gè)方面：

第一方面，體現(xiàn)在由不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的“動(dòng)態(tài)域”與“不連續(xù)”特征所導(dǎo)致的流轉(zhuǎn)換或流切換的復(fù)雜性.譬如不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)邊界上可以出現(xiàn)可穿越流、不可穿越流、滑模流、擦邊流等；進(jìn)一步研究還揭示了該系統(tǒng)臨界滑模運(yùn)動(dòng)發(fā)生裂碎的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象[35].

第二方面，體現(xiàn)在由不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的“動(dòng)態(tài)域”與“不連續(xù)”特征所導(dǎo)致的周期運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性.文獻(xiàn)[36]說明在不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)周期流的研究中，會(huì)出現(xiàn)所謂的分支樹及復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.文獻(xiàn)[37]揭示了所考慮的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)振子模型兩獨(dú)立的周期運(yùn)動(dòng)之間存在混沌運(yùn)動(dòng)或大幅跳躍現(xiàn)象.

第三方面，體現(xiàn)在由不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的“動(dòng)態(tài)域”與“不連續(xù)”特征所導(dǎo)致的新的分支與碎裂.譬如對(duì)于具邊界轉(zhuǎn)換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)，可以出現(xiàn)穿越流滑模分支和穿越流的源分支，亦可以出現(xiàn)非穿越流的滑模碎裂分支和非穿越流的源碎裂分支[29].這些所謂的“轉(zhuǎn)換分支”都是具邊界轉(zhuǎn)換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)在其邊界上流轉(zhuǎn)換過程中所特有的分支現(xiàn)象；這里所謂的“碎裂”就是由分支引起的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.

因此，由不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)自身特征必然導(dǎo)致其動(dòng)力學(xué)研究的新困難.一方面是由“動(dòng)態(tài)域”所帶來的新困難.由于“區(qū)域”或“區(qū)間”都是時(shí)變的，相應(yīng)的“邊界”或“切換時(shí)刻”也是時(shí)變的.這種時(shí)變千變?nèi)f化，沒有一般規(guī)律，只能根據(jù)實(shí)際問題的具體特征而定.另一方面是由“不連續(xù)”所帶來的新困難.對(duì)不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)來說，盡管其局部在“不同區(qū)域”或“不同區(qū)間”上通常都有連續(xù)子系統(tǒng)，但就整體而言系統(tǒng)是不連續(xù)的，這種不連續(xù)性往往導(dǎo)致在“邊界”或“切換時(shí)刻”流的奇異性.已有研究表明不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)在“邊界”或“切換時(shí)刻”流的奇異性主要有如下呈現(xiàn)：流的性態(tài)在“邊界”或“切換時(shí)刻”附近的復(fù)雜多樣性; 流的結(jié)構(gòu)在“邊界”或“切換時(shí)刻”附近的深度隱蔽性; 流的趨勢(shì)在“邊界”或“切換時(shí)刻”附近的集合吸引性.

根據(jù)上述分析，我們可以自然提出關(guān)于動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)研究的基本動(dòng)力學(xué)問題：揭示在“動(dòng)態(tài)域”與“不連續(xù)”情形下不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)流的奇異性規(guī)律；尋求在“動(dòng)態(tài)域”與“不連續(xù)”情形下不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的特性；探討在“動(dòng)態(tài)域”與“不連續(xù)”情形下不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)新的分支性態(tài)及復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為.

需特別指出的是，這里所考慮的動(dòng)態(tài)域上由多個(gè)連續(xù)子系統(tǒng)組成的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)通常不滿足Lipschitz條件.眾所周知，動(dòng)力系統(tǒng)的存在唯一性定理等基本理論都是基于Lipschitz條件的，并且基于Lipschitz條件的動(dòng)力系統(tǒng)基本理論也被大量應(yīng)用于工程與科技諸領(lǐng)域.但是Lipschitz條件的假設(shè)對(duì)于不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)實(shí)際問題而言往往是太強(qiáng)了，致使連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的傳統(tǒng)理論在此就不能應(yīng)用.甚至當(dāng)試圖將連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的傳統(tǒng)研究方法用于不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)時(shí)也難以奏效，且往往使問題的解決變得更加復(fù)雜和困難.因此基于Lipschitz條件來建立不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)基本理論是難以行得通的.

對(duì)不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)從理論上進(jìn)行研究主要在如下兩個(gè)方面具有重要科學(xué)意義.一方面，緊緊圍繞不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)問題開展研究，探討不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的規(guī)律與特征.另一方面，對(duì)不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的研究必須探索新的研究方法.過去用于連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的研究思想和方法已受制約，或已不再適用，都需要另辟蹊徑，尋求新的研究方法與途徑.因此開展對(duì)不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題的研究，對(duì)于探索研究不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的新途徑、尋求不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的自身客觀規(guī)律、揭示不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的本質(zhì)等都具有重要的科學(xué)意義.

3 動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論

動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論正是在不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)前期研究的基礎(chǔ)上，順應(yīng)不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)研究的歷史趨勢(shì)，著眼于層出不窮的當(dāng)代實(shí)際問題的挑戰(zhàn)而產(chǎn)生的.動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論的基本架構(gòu)是：以不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)流轉(zhuǎn)換理論和不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)映射動(dòng)力學(xué)為基本內(nèi)容；并由其自然派生拓展出不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)流轉(zhuǎn)換分支理論、不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)流障礙理論、不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)多值向量場(chǎng)理論及n-維不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)棱轉(zhuǎn)換理論等，搭建出動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論的基本架構(gòu)[33].

本節(jié)著重介紹動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)流轉(zhuǎn)換理論和不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)映射動(dòng)力學(xué).

3.1不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)流轉(zhuǎn)換理論作為動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論的基本內(nèi)容之一的流轉(zhuǎn)換理論的基本思想是：受物理能量層啟發(fā)，針對(duì)不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)動(dòng)邊界提出了“G函數(shù)”的概念，并用G函數(shù)作為度量測(cè)度，給出了不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)不連續(xù)邊界上各類流轉(zhuǎn)換的解析條件，有效克服了不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)自身的“動(dòng)態(tài)域”、“不連續(xù)”所帶來的本質(zhì)困難.

其中在t時(shí)刻邊界 ?Ωij上x(0)(t)處相應(yīng)的法向量為

(16)

如果此刻的法向量是單位向量,則位移向量差和法向量的乘積就是位移向量差在法方向上的投影.因此區(qū)域內(nèi)的流與邊界流的差在法方向上的變化率是度量區(qū)域內(nèi)的流與邊界流關(guān)系的重要指標(biāo),是研究的重點(diǎn).下面首先闡述G函數(shù)的概念.

(17)

再次對(duì)上述方程進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開, 得到如下表達(dá)式

為更好地理解G函數(shù)的概念, 下面通過具體例子進(jìn)行說明. 取具有擾動(dòng)的二維非線性Hamilton系統(tǒng)

(18)

其中兩個(gè)參數(shù)滿足μ∈Rm1,π∈Rm2. 對(duì)應(yīng)的無擾動(dòng)的Hamilton系統(tǒng)為

(19)

根據(jù)能量守恒, 無擾動(dòng)Hamilton系統(tǒng)關(guān)于時(shí)間的變化率為0, 即有以下關(guān)系:

擾動(dòng)向量場(chǎng)為

F(x,y,t,p)=(F1(x,y,t,p),F2(x,y,t,p))T.

其中全微分為(σ=1,2)

由定義可知, 一階G函數(shù)是零階G函數(shù)關(guān)于時(shí)間的變化率. 換句話說, 一階G函數(shù)是擾動(dòng)向量場(chǎng)在Hamilton能量曲面法方向上的分量關(guān)于時(shí)間的變化率.

通過上述具體例子的分析, 我們對(duì)G函數(shù)的概念進(jìn)行了進(jìn)一步的闡述, 并具體給出了零階G函數(shù)和一階G函數(shù)的表達(dá)形式, 這有助于對(duì)G函數(shù)的深刻理解.

定義7[33]考慮不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)(1)-(3),tm時(shí)刻在兩個(gè)相鄰區(qū)域Ωα(α=i,j) 的邊界?Ωij上點(diǎn)為x(0)(tm)=xm∈?Ωij. 對(duì)任意ε>0, 存在時(shí)間區(qū)間[tm-ε,tm).假設(shè)fx(α)(tm-)=xm. 如果兩個(gè)區(qū)域內(nèi)的流x(α)(t)(α=i,j)滿足如下性質(zhì)

則稱兩個(gè)流x(i)(t)和x(j)(t)關(guān)于邊界?Ωij是第一類不可穿越流(匯流).

則稱區(qū)域Ωα內(nèi)的流x(α)(t)是相切于邊界?Ωij的相切流(擦邊流).

3.2不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)映射動(dòng)力學(xué)動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論的另一基本內(nèi)容是不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的映射動(dòng)力學(xué).其基本思想是：將動(dòng)力系統(tǒng)符號(hào)動(dòng)力學(xué)的思想應(yīng)用于不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)，針對(duì)各類不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)“邊界”或“切換時(shí)刻”的特征構(gòu)造相應(yīng)的基本映射，再通過基本映射的復(fù)合得到相應(yīng)的映射結(jié)構(gòu)，進(jìn)而可以研究不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)周期流的存在性、穩(wěn)定性及分支，也有效克服了不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)自身的“動(dòng)態(tài)域”、“不連續(xù)邊界”所帶來的本質(zhì)困難.下面具體介紹具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的映射動(dòng)力學(xué).

對(duì)于具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng), 其切換時(shí)刻為固定的時(shí)間序列, 相應(yīng)轉(zhuǎn)換點(diǎn)集合及基本映射均可借助切換時(shí)刻的信息給出.首先由切換時(shí)刻給出所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換點(diǎn)集合的概念.

定義11[38]假設(shè)不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)(14)-(15)的流的切換時(shí)刻為tk(k∈Z+), 那么對(duì)第i個(gè)子空間Ωi而言, 第i個(gè)轉(zhuǎn)換集定義為

(20)

1) 對(duì)于區(qū)間[tk-1,tk], 在子空間Ωi內(nèi)關(guān)于系統(tǒng)(14)-(15)的轉(zhuǎn)換集Ξ(i)的域內(nèi)映射為

2) 在切換時(shí)刻tk, 關(guān)于系統(tǒng)(14)-(15)的相鄰兩個(gè)轉(zhuǎn)換集Ξ(i)和Ξ(i+1)的傳輸映射為

這兩類基本映射的控制方程可由連續(xù)部分的動(dòng)力系統(tǒng)和切換部分的傳輸率得到.在切換時(shí)刻tk,對(duì)于相鄰兩轉(zhuǎn)換集上的傳輸映射P0,由傳輸率(13)可得到基本局部傳輸映射的控制方程為

(21)

(22)

在區(qū)間[tk-1,tk]上, 對(duì)于連續(xù)子空間內(nèi)的連續(xù)基本映射Pi, 應(yīng)用子系統(tǒng)上的方程(5)知, 基本局部域內(nèi)映射的控制方程為

(23)

在給出具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的一般運(yùn)動(dòng)的映射結(jié)構(gòu)之前, 首先針對(duì)連續(xù)切換的兩種情形統(tǒng)一給出元映射的概念.

基于上述基本離散映射的構(gòu)造, 針對(duì)所研究的具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)這一整體不連續(xù)系統(tǒng), 對(duì)于區(qū)間[tk,tk+1], 可以得到一個(gè)在相鄰兩個(gè)轉(zhuǎn)換集之間的局部元映射

(24)

其中

P(i,i+1)=(P0)λ°Pi+1,λ∈{0,1}.

(25)

當(dāng)λ=1時(shí),P(i,i+1)=P0°Pi+1包含了流的連續(xù)部分和一次C0-連續(xù)切換,表示從子空間Ωi到Ωi+1在區(qū)間[tk,tk+1]上的一個(gè)完整映射;當(dāng)λ=0時(shí),P(i,i+1)=Pi+1僅包含了流的連續(xù)部分,但流在tk+1時(shí)刻達(dá)到子空間Ωi和Ωi+1的重合部分,在區(qū)間[tk,tk+1] 上實(shí)現(xiàn)了一次Cr-連續(xù)切換.

對(duì)于每個(gè)單位區(qū)間[tk,tk+1]上的元映射,其控制方程可由基本映射的控制方程(21)-(23)復(fù)合得到.

經(jīng)多次復(fù)合之后, 可由每個(gè)子空間單元內(nèi)的元映射(24)-(25)得到推廣意義下的一般映射結(jié)構(gòu)

(26)

其中

(27)

且λis∈{0,1},ij∈{1,2,...,m-1},j=1,2,…,s.

在一般映射(26)-(27)中, 上標(biāo)(i1,i2,...,is,is+1)表示該全局映射是從轉(zhuǎn)換集Ξ(i1)上開始的s個(gè)不同的元映射P(ij,ij+1)(j=1,2,...s)的復(fù)合映射, 最終映射到轉(zhuǎn)換集Ξ(is+1)上, 刻畫了區(qū)間[tk1,tks+1]上的系統(tǒng)流的全局動(dòng)態(tài)行為. 該映射結(jié)構(gòu)的Jacobi矩陣及映射動(dòng)力學(xué)的定性分析將在下面以周期運(yùn)動(dòng)為例具體給出.

根據(jù)映射動(dòng)力學(xué)的理論, 在不考慮局部信息時(shí), 對(duì)于具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)(14)-(15)所對(duì)應(yīng)的任意流均可以由前面給出的一般映射來刻畫. 為了分析并預(yù)測(cè)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)行為, 在映射意義下, 首先給出所研究的具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)(14)-(15)的周期流的概念.

(28)

且

tkm-tk0≡T,

(29)

若系統(tǒng)流滿足

(30)

且

tlkm-tk0≡lT,

(31)

對(duì)于周期運(yùn)動(dòng)的一般映射結(jié)構(gòu), 其轉(zhuǎn)換集可以通過一系列非線性代數(shù)方程組確定. 考慮前面給出的一般映射結(jié)構(gòu)P(i0,i1,...,im), 由定義12可知其 映射關(guān)系為

(32)

該映射由如下基本映射關(guān)系

(33)

復(fù)合而成, 其中元映射P(is,is+1)=(P0)λis°Pis,s=0,1,...m-1,λis∈{0,1}. 由于(21)可以描述兩類連續(xù)切換的傳輸映射的控制方程, 故可取λis=1, 即對(duì)每個(gè)元映射P(is,is+1)而言, 映射關(guān)系為

(34)

考慮(33)-(34)中每一個(gè)映射的起點(diǎn)和終點(diǎn), 可由(21)及(23)得到映射(32)的2m個(gè)代數(shù)控制方程

(35)

注1在定義12中, (30)-(31)說明該周期流的切換時(shí)間關(guān)于初始轉(zhuǎn)換集具有等時(shí)差性, 即Luo[3]所討論的具等時(shí)切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)在一般映射結(jié)構(gòu)下的周期運(yùn)動(dòng), 此種特殊情形在實(shí)際應(yīng)用中具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

對(duì)于系統(tǒng)(14)-(15)在映射意義下的一般周期流的解析條件, 可以通過求解條件(28)和(29)得到. 一旦得到周期運(yùn)動(dòng)在相應(yīng)碰撞點(diǎn)的解析條件, 那么此周期流在轉(zhuǎn)換集附近的局部穩(wěn)定性可以通過傳統(tǒng)判斷局部穩(wěn)定性的方法進(jìn)行分析判斷.

下面借助前面的離散映射和不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的基本理論,介紹所研究的具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)(14)-(15)的周期運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果, 采用廣義特征值理論總結(jié)系統(tǒng)周期流各種不同的動(dòng)力學(xué)行為以及解析預(yù)測(cè),包括周期流的穩(wěn)定性條件和分支條件.

定理5[39]對(duì)于具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)(14)-(15),考慮其基于切換時(shí)刻tkj(j∈{0,1,...,m})的相空間的劃分(12),若存在滿足條件(28)和(29)的周期運(yùn)動(dòng),則其局部穩(wěn)定性分析可由廣義特征值理論得到.

其中元映射

并可由參數(shù)

αkj+1=tkj+1-tkj

(36)

表示該元映射的區(qū)間長(zhǎng)度.

由映射關(guān)系(33)-(34)可以得到包含了兩類連續(xù)切換的每個(gè)切換點(diǎn)處的映射

其中每一個(gè)映射對(duì)應(yīng)一個(gè)代數(shù)控制方程,則映射P的2m個(gè)代數(shù)控制方程可由(35) 確定.由周期流的定義,條件(28)中im=i0,從而由(35)可解得該周期流的相應(yīng)切換點(diǎn),將切換時(shí)刻代入(36)后,可以由

計(jì)算出該周期流的周期T,同時(shí)得到切換時(shí)刻區(qū)間參數(shù)

因此,在整個(gè)區(qū)間[tk0,tk0+T]上,系統(tǒng)(14)-(15)在全局映射下的流可以表示為

(37)

為了確定系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性,首先需要確定總映射P的Jacobi矩陣,然后根據(jù)其特征值,分析系統(tǒng)的周期解的局部穩(wěn)定性和分支問題.對(duì)于周期運(yùn)動(dòng)(37),其相應(yīng)的Jacobi矩陣為

(38)

上式中兩個(gè)基本離散映射的Jacobi矩陣的元素可以各自通過方程(21)和(23)按如下方式計(jì)算：

(39)

(40)

其中j=0,1,...，m-1.

將各個(gè)映射的Jacobi矩陣元素(39)和(40)代入總映射P的Jacobi矩陣(38), 由

|DP-λI|=0

可以計(jì)算出周期運(yùn)動(dòng)映射結(jié)構(gòu)的特征值λ1,λ2.記矩陣DP的秩為Tr(DP),行列式為 Det(DP),則DP的特征值可表示為

(41)

其中 △=[Tr(DP)]2-4Det(DP).如果 △<0,則(41)式可表示為

λ1,2=Re(λ)±iIm(λ),

進(jìn)而可以由特征值的符號(hào)及大小判斷該周期運(yùn)動(dòng)的局部穩(wěn)定性,具體結(jié)果為

情形一: 若特征值的模均小于1,即 |λi|<1(i=1,2),則存在一個(gè)穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng);

情形二: 若至少一個(gè)特征值的模大于1,即 |λi|<1(i∈{1,2}),則該周期運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定;

情形五: 若特征值為一對(duì)共軛復(fù)數(shù),且模為1,即 |λi|=1(i=1,2),則該周期運(yùn)動(dòng)存在Neimark分支;

情形六: 若其中一個(gè)特征值為0,即λi=0(i∈{1,2}),則該情形為退化情形.

因此, 如果周期運(yùn)動(dòng)與不連續(xù)的奇異性無關(guān), 那么就可以利用傳統(tǒng)的特征值分析來確定周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性.

注2在定理5的證明中,可通過計(jì)算求出單位周期內(nèi)具體的切換時(shí)刻及其區(qū)間參數(shù),采用同樣的方法可以求得另一個(gè)周期內(nèi)的切換時(shí)刻區(qū)間參數(shù),若兩組參數(shù)一致,則該系統(tǒng)為具等時(shí)切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng), 可進(jìn)一步研究其周期-l流; 若l→, 相應(yīng)系統(tǒng)成為混沌系統(tǒng),亦可進(jìn)一步研究其混沌流[3].

本節(jié)針對(duì)上述兩類不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng),分別在具時(shí)間切換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的切換時(shí)刻處,以及具邊界轉(zhuǎn)換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的不連續(xù)邊界上,定義了轉(zhuǎn)換集及轉(zhuǎn)換集間的基本映射,介紹了不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的離散映射動(dòng)力學(xué)的基本理論; 最后采用不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的映射動(dòng)力學(xué)方法研究系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng), 借助系統(tǒng)周期流的一般映射結(jié)構(gòu)以及映射的Jacobi矩陣和特征值, 給出了周期流的局部穩(wěn)定性和分支預(yù)測(cè)的解析結(jié)果.

4 動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)研究進(jìn)展

應(yīng)用動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論可以較為有效地解決不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)因自身“動(dòng)態(tài)域”與“不連續(xù)”所帶來的困難.該理論為不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究提供了新的有效方法.近年已相繼出現(xiàn)一些運(yùn)用動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論進(jìn)行有效探索的研究工作.

4.1動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)若干問題研究

1) 高速旋轉(zhuǎn)齒輪嚙合噪聲問題研究.這類問題歷史上大都是按固定域來考慮，并借助傳統(tǒng)連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的思想方法來研究的；所得結(jié)果往往適于近似描述低速齒輪箱的動(dòng)力學(xué)行為.而當(dāng)高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，齒輪傳遞中的振動(dòng)和噪音變得非常嚴(yán)重，此時(shí)用傳統(tǒng)方法難以有效揭示高速齒輪傳遞中產(chǎn)生振動(dòng)和噪音的機(jī)理.2007年Luo和O Connor[40,41]首次運(yùn)用動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論研究了這一問題.齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)模型可以描述為一個(gè)周期外力作用下的振子位于另一個(gè)振子的兩個(gè)齒之間.由于兩個(gè)振子在時(shí)變邊界上發(fā)生相互作用，因而其運(yùn)動(dòng)區(qū)域是隨時(shí)間變化的，從而可分為三個(gè)運(yùn)動(dòng)區(qū)域：自由運(yùn)動(dòng)區(qū)域，此時(shí)兩個(gè)齒輪之間沒有相互作用，即兩振子自由運(yùn)動(dòng)；從動(dòng)輪左端發(fā)生的嚙合運(yùn)動(dòng)區(qū)；從動(dòng)輪右端發(fā)生的嚙合運(yùn)動(dòng)區(qū).應(yīng)用映射動(dòng)力學(xué)對(duì)上述3類時(shí)變區(qū)域及相應(yīng)邊界構(gòu)造基本映射，再通過基本映射的復(fù)合可得相應(yīng)映射結(jié)構(gòu)，從而可對(duì)嚙合碰撞周期運(yùn)動(dòng)和非嚙合碰撞周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)行解析預(yù)測(cè)，并可以進(jìn)行相應(yīng)穩(wěn)定性和分叉分析.進(jìn)一步還可以對(duì)混沌運(yùn)動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模擬，能夠模擬得到第一個(gè)振子和第二個(gè)振子的Poincare映射轉(zhuǎn)換點(diǎn).轉(zhuǎn)換點(diǎn)描述了兩個(gè)振子相互接觸時(shí)的位移和速度，形成了混沌運(yùn)動(dòng)的奇怪吸引子.由此可見，對(duì)于齒輪箱兩個(gè)振子碰撞與嚙合的動(dòng)力學(xué)問題，運(yùn)用動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論能夠有效分析其動(dòng)力學(xué)機(jī)理，并能將其如此復(fù)雜、豐富而又饒有趣味的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象揭示出來.

2) 同步問題研究. 2009年Luo A C J[42]將動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論用于“同步”的研究，得到了“彈簧”振動(dòng)系統(tǒng)與“單擺”振動(dòng)系統(tǒng)同步的充分必要條件.而按傳統(tǒng)方法考慮，這兩類系統(tǒng)似乎毫不相關(guān)，是難以同步.2014年Sun Xiaohui和Fu Xilin[43]研究了彈簧振子模型與VdP振子模型的同步問題；運(yùn)用流轉(zhuǎn)換理論建立了判斷其同步開始出現(xiàn)和同步消失的切換條件,并給出了其出現(xiàn)同步的解析條件.另外，不同于漸近性質(zhì)下的同步, 此理論可研究有限時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的完全同步和部分時(shí)間同步, 并建立轉(zhuǎn)換條件.

3) 碰撞振子模型研究.源于大量機(jī)械工程實(shí)際連接問題的水平碰撞振子模型，可以從不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的角度將其刻劃為具體的具邊界轉(zhuǎn)換的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)[37].如果考慮振子m與底座M水平槽底面的摩擦，該摩擦受制于振子與底座之間的相對(duì)速度，而碰撞可瞬時(shí)改變振子的速度，因而制約該模型動(dòng)態(tài)域的因素更加復(fù)雜.此時(shí)其邊界可分為兩類：一類是速度邊界，對(duì)應(yīng)于振子與底座的水平摩擦；另一類是位移邊界，對(duì)應(yīng)于振子對(duì)底座間隙左右壁的垂直碰撞.對(duì)此具摩擦的水平碰撞振子的最新研究[37]表明，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生兩種粘合運(yùn)動(dòng)：第一類粘合運(yùn)動(dòng)，是指振子在間隙內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的摩擦力太大，振子不能克服摩擦力從而與底座一起運(yùn)動(dòng)；第二類粘合運(yùn)動(dòng)，是指振子和以底座一樣的速度到達(dá)間隙左右壁，并意圖穿越間隙左右壁，由此振子與底座一起運(yùn)動(dòng).由文獻(xiàn)[37]可以看到這類摩擦碰撞振子蘊(yùn)含著引人入勝的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.2015年Fu Xilin和Zhang Yanyan[44]運(yùn)用流轉(zhuǎn)換理論給出了在周期振動(dòng)下傾斜碰撞振子模型粘合運(yùn)動(dòng)和擦邊流的動(dòng)力學(xué)新結(jié)果.2017年Zhang Yanyan和Fu Xilin[45]研究了具有干摩擦的水平碰撞振子模型的動(dòng)力學(xué)行為；運(yùn)用不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的理論得到了該模型分別在位移邊界、速度邊界發(fā)生的兩類粘合運(yùn)動(dòng)及擦邊流的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)結(jié)果.最近Zhang Yanyan和Fu Xilin[46]還得到了關(guān)于傾斜碰撞振子模型周期運(yùn)動(dòng)、周期倍分支及穩(wěn)定性的動(dòng)力學(xué)結(jié)果.

4) 脈沖VdP振子模型研究.2014年Fu Xilin和Zheng Shasha[47]從VdP振子方程所描述的LC振蕩電路問題出發(fā),具體給出了脈沖VdP系統(tǒng)的構(gòu)建過程；并運(yùn)用不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的理論得到了該模型關(guān)于Chatter動(dòng)力學(xué)新結(jié)果.2015年Zheng Shasha和 Fu Xilin[48]運(yùn)用不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的映射理論,對(duì)脈沖VdP系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分析和預(yù)測(cè),并借助特征值理論得到其局部穩(wěn)定性準(zhǔn)則. 1907年Taylor[49]曾研究金屬切削刀具震顫問題.2014年Fu Xilin和Zheng Shasha[50]將該問題的數(shù)學(xué)模型歸結(jié)為一類具體的具任意時(shí)刻脈沖的脈沖VdP系統(tǒng)，運(yùn)用動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論得到了關(guān)于這類脈沖VdP系統(tǒng)Chatter動(dòng)力學(xué)的新結(jié)果，進(jìn)而給出了關(guān)于金屬切削刀具震顫發(fā)生與消失的新的判別準(zhǔn)則.最近Fu Xilin和Zheng Shasha[51]還得到了關(guān)于由VdP振子激勵(lì)的Fermi加速模型加速性態(tài)的動(dòng)力學(xué)結(jié)果.

5) 具非對(duì)稱阻尼性質(zhì)的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)研究. 2018年Sun Guanghui和Fu Xilin[52]利用不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論研究了以懸架系統(tǒng)為實(shí)際背景的具有非對(duì)稱阻尼性質(zhì)的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為.上述工作的特點(diǎn)是所考慮的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)模型都是在動(dòng)態(tài)域上來考慮的，都運(yùn)用了“G函數(shù)”作為測(cè)度來“度量”不連續(xù)邊界的奇異性，并運(yùn)用流轉(zhuǎn)換理論具體分析了邊界上流的轉(zhuǎn)換性；有些工作還運(yùn)用映射動(dòng)力學(xué)理論在“動(dòng)態(tài)域”與“不連續(xù)”情形下研究了相應(yīng)模型的周期運(yùn)動(dòng).

4.2動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)研究展望

1) 動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論僅是初步建立，尚需不斷發(fā)展與完善[53-57].一方面，針對(duì)不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)“動(dòng)態(tài)域”與“不連續(xù)”等自身特征來揭示不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)本質(zhì)規(guī)律的研究尚需進(jìn)一步深入.另一方面，對(duì)于各類典型的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的研究亟待開拓新路徑.譬如切換動(dòng)力系統(tǒng)：切換動(dòng)力系統(tǒng)屬典型的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng).目前從不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的角度對(duì)切換動(dòng)力系統(tǒng)的研究還很初步，且主要集中于具時(shí)間切換的切換動(dòng)力系統(tǒng)；而關(guān)于具狀態(tài)切換的切換動(dòng)力系統(tǒng)的研究工作尚很少見.因此運(yùn)用不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論發(fā)展切換動(dòng)力系統(tǒng)的理論是十分必要的.又如脈沖微分系統(tǒng): 脈沖微分系統(tǒng)也屬于典型的不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng).目前關(guān)于脈沖微分系統(tǒng)的研究主要集中于具固定時(shí)刻脈沖的脈沖微分系統(tǒng),且主要沿用研究連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的思想方法來研究.因此從不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的角度，運(yùn)用動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論來研究脈沖微分系統(tǒng)，是發(fā)展脈沖微分系統(tǒng)理論的有效途徑.

2) 現(xiàn)代工程與科學(xué)技術(shù)諸領(lǐng)域中可以用不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)來描述的實(shí)際問題大量涌現(xiàn)，亟待解決[58-61].現(xiàn)代最新研究成果表明，不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)來源于實(shí)踐、應(yīng)用于實(shí)踐，在機(jī)械工程、自動(dòng)控制、航天技術(shù)、機(jī)密通訊、生命科學(xué)、金融工程、復(fù)雜網(wǎng)咯、人工智能等諸多領(lǐng)域都有著廣闊的應(yīng)用前景.在當(dāng)今大數(shù)據(jù)、互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，及即將到來的人工智能+時(shí)代，呈現(xiàn)并將不斷呈現(xiàn)出“海量噴涌的數(shù)據(jù)量、層出不窮的模型規(guī)模、與日俱增的復(fù)雜度、日益苛求的精度要求”的態(tài)勢(shì).伴隨著更強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)、更大的數(shù)據(jù)集和能夠訓(xùn)練更深網(wǎng)絡(luò)的新技術(shù)、新方法的出現(xiàn)，對(duì)當(dāng)今時(shí)代的實(shí)際問題從動(dòng)力系統(tǒng)角度建模、研究成為可能.而不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的自身特征及其研究的思想方法更側(cè)重于從“動(dòng)態(tài)”和“相互作用”角度來思考問題，因而以不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)作為某些當(dāng)代實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型可能實(shí)現(xiàn)更加有效的近似；換言之，可能實(shí)現(xiàn)更有效地描述、分析和預(yù)測(cè).

5 結(jié) 論

19世紀(jì)80年代Poincare建立的連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的幾何理論有兩個(gè)特點(diǎn)：一是從幾何角度來看，其整體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)直觀.這里不必去尋求動(dòng)力系統(tǒng)的精確解或近似解，而是另辟蹊徑，致力于給出在相空間中軌線分布的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).二是從分析角度來看，其局部度量精細(xì).通過引入“無切線段”、“軌線上的極限點(diǎn)與極限集”以及“Poincare映射”等作為度量工具，可以將極限分析的思想方法得以有效應(yīng)用，從而使得精細(xì)分析軌線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)成為可能.Poincare動(dòng)力系統(tǒng)的幾何理論是展現(xiàn)“數(shù)學(xué)的哲學(xué)魅力”的典范.

本文談及的“動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論”也有類似的兩個(gè)特點(diǎn).其一是幾何直觀.動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論側(cè)重于討論相空間中動(dòng)態(tài)域不同向量場(chǎng)各類流的分布、穿越與趨勢(shì)，而避免了尋求對(duì)各相關(guān)子系統(tǒng)流的精確或近似的繁雜表達(dá).其二是度量精細(xì).G函數(shù)實(shí)質(zhì)上是借助極限工具在動(dòng)邊界任一點(diǎn)局部給出一種度量：由G函數(shù)的符號(hào)來度量動(dòng)邊界任一點(diǎn)附近域流的方向向量與該點(diǎn)法線向量的夾角，進(jìn)而可以分析流在邊界的走向和趨勢(shì).也就是說G函數(shù)的引入可以將極限分析方法在動(dòng)態(tài)邊界局部得以有效應(yīng)用，從而使得精細(xì)研究動(dòng)態(tài)邊界上流的轉(zhuǎn)換成為可能.動(dòng)態(tài)域上不連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論也蘊(yùn)藏著“從整體到局部、從幾何直觀到極限分析”的深刻辯證內(nèi)涵.