張德瑜 黃 敬 張 芮

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,250358,濟(jì)南)

1 引 言

1859年, Bernhard Riemann 發(fā)表了一篇題為“über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr?sse (論不大于一個(gè)給定值的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù))”的論文[1], 這是他唯一公開(kāi)發(fā)表的數(shù)論文章. 然而, 正是這篇不長(zhǎng)的論文開(kāi)創(chuàng)了解析數(shù)論的一個(gè)新時(shí)期, 并推動(dòng)了復(fù)變函數(shù)理論的發(fā)展. 眾所周知, 著名的Euler恒等式:對(duì)實(shí)數(shù)s>1, 有

(1)

將素?cái)?shù)p和自然數(shù)n聯(lián)系了起來(lái). Riemann 以Euler 恒等式作為研究的出發(fā)點(diǎn), 將s看作復(fù)變數(shù), 引入了復(fù)變數(shù)s=σ+it的函數(shù)

(2)

現(xiàn)在稱(chēng)它為Riemann Zeta函數(shù). Riemann 對(duì)Zeta函數(shù)進(jìn)行了非常深刻的研究, 將ζ(s)解析開(kāi)拓到全平面, 證明了函數(shù)方程, 討論了其零點(diǎn)等等. 更為重要的是,Riemann不但給出了新方法, 還提出了一個(gè)具有深遠(yuǎn)影響的天才猜測(cè)—Riemann猜想. 事實(shí)證明, 解析數(shù)論的中心問(wèn)題—素?cái)?shù)定理正是嚴(yán)格地按照Riemann的文章所提出的思想、方法和結(jié)論取得進(jìn)展, 解析數(shù)論也沿著Riemann所指明的方向在二十世紀(jì)取得了迅速的發(fā)展.

本文中,將結(jié)合對(duì)Riemann Zeta函數(shù)的性質(zhì)的了解與認(rèn)知, 簡(jiǎn)要闡述Riemann Zeta函數(shù)的零點(diǎn)分布問(wèn)題在當(dāng)前的研究進(jìn)展與研究動(dòng)態(tài). 在本文第二節(jié),將簡(jiǎn)要闡述Riemann Zeta函數(shù)的解析性質(zhì):函數(shù)方程、非零區(qū)域、階的估計(jì)、積分均值等. 第三節(jié)主要介紹Riemann Zeta函數(shù)的零點(diǎn)分布結(jié)果的研究進(jìn)展. 第四節(jié)以Ingham的經(jīng)典零點(diǎn)密度的結(jié)果為例, 簡(jiǎn)述了零點(diǎn)探測(cè)的方法. 最后一節(jié)為研究展望,介紹了Riemann Zeta函數(shù)的高階推廣—自守L-函數(shù)的零點(diǎn)分布的研究動(dòng)態(tài),其中包括作者近年來(lái)的部分工作.

2 Riemann Zeta函數(shù)的性質(zhì)

從無(wú)窮乘積展開(kāi)式(1),可以得到

|ζ(s)|>0,σ>1.

對(duì)(2)式利用部分求和公式,有

(3)

這里[u]表示u的整數(shù)部分, 上式中的積分當(dāng)σ>0時(shí)絕對(duì)收斂, 因此Riemann Zeta函數(shù)在σ>0半平面上除去在s=1處留數(shù)為1的單極點(diǎn)外解析.

Riemann用兩種方法(復(fù)變積分法、Poisson求和法)將ζ(s)開(kāi)拓到整個(gè)復(fù)平面,令

(4)

則ξ(s)滿足函數(shù)方程

ξ(1-s)=ξ(s),

(5)

函數(shù)ξ(s)是一階整函數(shù), 由有窮階整函數(shù)理論,可得到ξ(s)的無(wú)窮乘積表示:

(i)ζ(s)有無(wú)窮多個(gè)非顯然零點(diǎn);

(ii) Imρ≠0, 即全為復(fù)零點(diǎn);

(iii) 0≤β≤1;

(v) ∑|ρ|-1發(fā)散,而∑ρ-1-ε收斂,ε為任意正數(shù).

Riemann Zeta 函數(shù)的零點(diǎn)分布與素?cái)?shù)分布緊密相連,連接的紐帶則是下面的顯式:

(6)

這里ρ取遍 Riemann Zeta函數(shù)的所有非顯然零點(diǎn).若Riemann猜想成立,則

(7)

1896年, J Hadamard和C J de la Vallée Poussin同時(shí)獨(dú)立證明了在直線σ=1上ζ(s)≠0,且存在絕對(duì)常數(shù)c,使得在區(qū)域

(8)

中沒(méi)有零點(diǎn).此結(jié)果后來(lái)被Vinogradov和Korobov改進(jìn)為

(9)

(10)

另外,Riemann Zeta 函數(shù)的階的估計(jì)是數(shù)論學(xué)家關(guān)心的熱點(diǎn)問(wèn)題. 由(1)式, 顯然, 當(dāng)σ≥1+δ>1時(shí)ζ(s)?1.

(11)

定義滿足ζ(s)?|t|c的c的下界為μ(σ). 根據(jù)Phragmén-Lindel?f原則, 知μ(σ)連續(xù), 非負(fù), 非增且下凸. 因此

(12)

由凸性,可以得到

(13)

即

(14)

(15)

另一方面,可以考慮平均意義下的Lindenl?f猜想:

(16)

這里k為任意正整數(shù). Littlewood證明了k=1時(shí),

(17)

Hardy和Littlewood進(jìn)一步證明了k=2時(shí),

(18)

Heath-Brown[2]和Iwaniec[3]分別研究了小區(qū)間上的四次積分均值:

(19)

3 Riemann Zeta函數(shù)的零點(diǎn)分布

由于 Riemann Zeta函數(shù)的非顯然零點(diǎn)對(duì)實(shí)軸對(duì)稱(chēng)且不為實(shí)數(shù), 所以在討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí), 可假定T≥0, 以N(T)表示在矩形0≤σ≤1,0≤t≤T中的ζ(s)的零點(diǎn)個(gè)數(shù), 則

N(T+1)-N(T)?log(T+2).

(20)

對(duì)T≥2, 有

N(T)?TlogT.

(21)

更準(zhǔn)確地說(shuō),N(T)有下面的漸近公式[4]:

(22)

這里

N(T)=N0(T),T>0.

1921年,Hardy和Littlewood[6]證明了:存在正常數(shù)A1, 使得N0(T)>A1T.

1942年, A Selberg[7]取得了重大進(jìn)展, 證明了存在正常數(shù)A2, 使得N0(T)>A2N(T).

后來(lái), 許多數(shù)學(xué)家對(duì)證明簡(jiǎn)化, 并改進(jìn)了這個(gè)結(jié)果[10-15]. 另一方面, 大量的數(shù)值計(jì)算都支持猜想是正確的. 從1903年J P Gram計(jì)算了ζ(s)開(kāi)頭的15個(gè)零點(diǎn)起, 到1983年為止, Brent、Lune[16]等人證明了N(T)=N0(T),0

在Riemann猜想沒(méi)有被證明的情況下,很自然而然地要去考慮有多少零點(diǎn)位于臨界直線外. 因此, 令N(σ,T)表示ζ(s)在區(qū)域σ≤β≤1,|γ|≤T中零點(diǎn)ρ=β+iγ的個(gè)數(shù),就是所謂的零點(diǎn)密度問(wèn)題. 我們主要尋求如下形式的上界估計(jì):

(23)

證明上述形式的結(jié)果主要有兩種方法. 一種是基于單復(fù)變函數(shù)論的Littlewood定理, 即利用幅角的變化來(lái)估計(jì)零點(diǎn)的個(gè)數(shù), 并要用到凸性定理. 另一種方法本質(zhì)上是由Linnik提出來(lái)的, 它基于這樣一個(gè)事實(shí):對(duì)應(yīng)于每個(gè)零點(diǎn), 總有一個(gè)Dirichlet多項(xiàng)式取“大值”. 因此, 利用Dirichlet多項(xiàng)式的均值估計(jì)就可相應(yīng)得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)的這種估計(jì)式.1940年, Ingham[17]證明了

(24)

Huxley[18]得到

(25)

從上述結(jié)果可以得到

(26)

所以，零點(diǎn)密度猜想可以表示為

4 零點(diǎn)探測(cè)法

本節(jié)中將介紹零點(diǎn)密度估計(jì)的方法—零點(diǎn)探測(cè)法,進(jìn)而得到Ingham的結(jié)果(24).

令

這里μ(n)為M?bius函數(shù),且s=σ+it,log2T≤|t|≤T,X=X(T),Y=Y(T)為待定的參數(shù). 由初等關(guān)系式

知

(27)

其中

得

結(jié)合(27)式,可得

(28)

這里ρ=β+iγ為ζ(s)的非顯然零點(diǎn).

其中當(dāng)|v|≥log2T時(shí),極點(diǎn)ω=1-ρ處的留數(shù)為o(1).

注意到,當(dāng)Y→時(shí)

或

分別設(shè)R1,R2為滿足(Ι)式、(ΙΙ)式的零點(diǎn)ρ=β+iγ的個(gè)數(shù),且|γ1-γ2|≥2log4T. 因此

N(σ,T)?(R1+R2+1)log5T.

一般來(lái)說(shuō),取X=Tε,則

對(duì)條件(Ι)中的和式利用二分法,設(shè)Tε≤N≤2-jYlog2Y,j=1,2,…, 則(Ι)中的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為O(logY)個(gè)，滿足(29)式的零點(diǎn)之和

(29)

將(29)式提升至k重和,得到

(30)

這里

其中k為依賴(lài)于N的自然數(shù),使得

Nk=M,(2N)k=P≤Tc,P?M.

將和式(30)分成長(zhǎng)度為M的子和,取k使得

Nk≤Yrlog2rY

這里r為固定的整數(shù),則(30)式變?yōu)?/p>

(31)

且

選取r=2,得

(32)

對(duì)(31)式利用分部求和,得

令

b(n)=0,u

則

?Tε(T+M)M1-2σ.

(33)

下面估計(jì)R2. 令r=1,2,…,R2,且tr=γr+v',

這里γ1,γ2,…,γR2為滿足條件(ΙΙ)的零點(diǎn)的虛部. 則由(ΙΙ)知

對(duì)r≠s,顯然有|tr-ts|≥log4T,則

(34)

這里用到了ζ函數(shù)的均值估計(jì)

取

結(jié)合(33)和(34)式,可以得到

5 研究展望

早在1859年,Riemann 在其題為“論不超過(guò)一個(gè)給定值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)”的著名文獻(xiàn)中第一次系統(tǒng)而又深刻的研究了素?cái)?shù)分布與Riemann Zeta函數(shù)的復(fù)零點(diǎn)的分布之間的關(guān)系,為研究素?cái)?shù)定理指明了方向. 正是沿著 Riemann所指出的方向, Hadamard 和 de la Vallee Poussin在1896年利用Zeta函數(shù)的非零區(qū)域證明了素?cái)?shù)定理. 后來(lái), Ingham,Huxley等數(shù)學(xué)家利用Zeta 函數(shù)的零點(diǎn)密度估計(jì)研究了小區(qū)間中的素?cái)?shù)分布[34-38]. 研究各種各樣的素?cái)?shù)分布問(wèn)題,一直是數(shù)論學(xué)家們關(guān)心的熱點(diǎn).20世紀(jì)九十年代,李紅澤[39]研究了小區(qū)間中的殆素?cái)?shù),賈朝華[40]利用篩法研究了幾乎所有小區(qū)間中的素?cái)?shù)分布.Linnik[41]應(yīng)用大篩法型的零點(diǎn)密度研究了算術(shù)級(jí)數(shù)中的最小素?cái)?shù)問(wèn)題,得到了和廣義Riemann猜想下相同的結(jié)果. 后來(lái),陳景潤(rùn)、王天澤[42]給出了算術(shù)數(shù)列中素?cái)?shù)分布的一個(gè)定理,為Goldbach猜想的證明奠定了基礎(chǔ). 最近,在自守L-函數(shù)方面,劉建亞、葉揚(yáng)波[43]將自守L-函數(shù)的零點(diǎn)分布的結(jié)果用于素?cái)?shù)理論,在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下證明了Linnik常數(shù)等于1,這沖破了GL(1)的Riemann猜想的限制. Piatetski-Shapiro素?cái)?shù)定理指的是存在c>1,使得有無(wú)窮多形如[n^c]的素?cái)?shù). 它是數(shù)論中非常重要的定理之一. 許多數(shù)論學(xué)家如Piatetski-Shapiro,Balog,Frielander, 賈朝華, 李紅澤等都對(duì)這一問(wèn)題做了相關(guān)研究[44-47],得到了若干結(jié)果. 后來(lái),S Baier 和Zhao L Y[48]研究了SL_2(Z)上Hecke特征值在Paiertetski-Shapiro 素?cái)?shù)中的分布,進(jìn)一步完善了SL_2(Z)上自守L-函數(shù)的解析理論. Balog[49]和G Dufner[50]首次給出了Piatetski-Shapiro孿生素?cái)?shù)的定義,并研究了其平均分布. 最近,張德瑜和翟文廣利用自守L-函數(shù)的零點(diǎn)密度證明了SL_2(Z)上全純尖形式的傅里葉系數(shù)在Piatetski-Shapiro孿生素?cái)?shù)中的均值定理.

自守L-函數(shù)理論是目前數(shù)論、代數(shù)、調(diào)和分析和幾何學(xué)等學(xué)科交匯點(diǎn)上的熱點(diǎn)領(lǐng)域, 這個(gè)領(lǐng)域既包含著解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重大潛力(例如,費(fèi)爾馬大定理的證明);也包含著許多迷人的猜想,其中居于核心地位的是廣義Riemann猜想,即自守L-函數(shù)的非顯然零點(diǎn)都位于Res=1/2這一臨界直線上. 在廣義Riemann猜想還沒(méi)有被證明的情況下,我們很自然地去考慮自守L-函數(shù)有多少零點(diǎn)落于臨界直線之外, 即考慮關(guān)于自守L-函數(shù)的零點(diǎn)密度問(wèn)題. 零點(diǎn)密度問(wèn)題在研究小區(qū)間素?cái)?shù)分布、稀疏素?cái)?shù)分布等問(wèn)題中會(huì)起到類(lèi)似于Riemann 猜想的作用. 因此,對(duì)零點(diǎn)密度的研究, 為我們提供了一個(gè)研究素?cái)?shù)分布問(wèn)題的有效工具與手段. 但由于自守L-函數(shù)的代數(shù)及幾何性質(zhì)理論較復(fù)雜, 給相應(yīng)的問(wèn)題計(jì)算帶來(lái)了巨大困難與前所未有的挑戰(zhàn). 現(xiàn)在的研究工作僅僅是個(gè)開(kāi)始, 仍需要數(shù)論學(xué)界高度關(guān)注與深入研究.