劉 陽(yáng)

(1.中赟國(guó)際工程有限公司，河南 鄭州 450000；2.河南省地質(zhì)災(zāi)害防治工程技術(shù)研究中心，河南 鄭州 450000；3.鄭州市中原智慧地質(zhì)研究院，河南 鄭州 450000)

長(zhǎng)期以來(lái)，人們對(duì)混凝土或水泥制品的研究大多是從耐久性、滲透性、導(dǎo)熱性、強(qiáng)度、脆性等方面開(kāi)展的宏觀研究，隨著新材料的開(kāi)發(fā)應(yīng)用和研究手段的升級(jí)，科研工作者又開(kāi)始對(duì)混凝土或水泥制品展開(kāi)一系列的細(xì)觀或微觀研究，揭示其內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)的特征以及與力學(xué)性能、滲透性能、混凝土或水泥制品導(dǎo)熱性能的關(guān)系。唐明[1]利用孔隙分形理論對(duì)混凝土的孔隙特征進(jìn)行了分析評(píng)價(jià)，通過(guò)對(duì)斷面掃描圖片的灰度處理，進(jìn)行了孔隙斷面表面分維研究；通過(guò)壓汞實(shí)驗(yàn)堆對(duì)孔隙體積分維進(jìn)行了研究。周勝波[2]針對(duì)混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)，通過(guò)幾種分形模型研究對(duì)比得出Menger 海綿體模型也適合描述混凝土孔隙特征。劉陽(yáng)等[3]提出了多孔結(jié)構(gòu)體的孔隙體積分形維數(shù)、表面分形維數(shù)的算法，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了多孔結(jié)構(gòu)比表面積的計(jì)算公式，發(fā)現(xiàn)孔隙比表面積與孔隙率和孔隙的表面褶曲粗糙程度有關(guān)，孔隙比表面積需要用體積分維和表面分維兩個(gè)獨(dú)立變量表示。王學(xué)龍等[4]以Menger模型為基礎(chǔ)，根據(jù)壓汞實(shí)驗(yàn)計(jì)算出多孔鎳試件的孔隙體積分形維數(shù)為2～3，同時(shí)研究了孔徑分布與孔隙分形的關(guān)系。王清等[5]采用壓汞測(cè)試方法對(duì)土體試樣進(jìn)行孔隙測(cè)定，從孔徑大于某一孔徑的體積累計(jì)百分含量的雙對(duì)數(shù)曲線圖發(fā)現(xiàn)二者的關(guān)系圖大致分為三段折線，每一段折線代表一個(gè)標(biāo)度不變區(qū)間，從而每個(gè)折線端點(diǎn)被確定為孔徑等級(jí)劃分的依據(jù)。鄭瑛[6]和周宏偉[7]基于不同假設(shè)研究了多孔結(jié)構(gòu)的分形算法，研究結(jié)果卻差別很大，說(shuō)明目前的分形研究計(jì)算方法還存在問(wèn)題。盡管不少學(xué)者陸續(xù)展開(kāi)了對(duì)混凝土孔隙結(jié)構(gòu)的研究，但是深層次研究的空間依然很大。本文利用孔隙結(jié)構(gòu)分形原理和概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律，系統(tǒng)研究了混凝土孔隙特征與其體積分形的關(guān)系，有助于更清晰地認(rèn)識(shí)混凝土的孔隙結(jié)構(gòu)。

1 孔隙體積分形與孔隙率的關(guān)系

假設(shè)海綿體的孔隙率為φ，則得出φ關(guān)于體積分形維數(shù)D、邊長(zhǎng)一次等分?jǐn)?shù)m以及重復(fù)挖孔次數(shù)k的關(guān)系式：

(1)

式中，φk為重復(fù)挖孔k次所得到的全部孔隙的累積體積與海綿體的表觀體積之比。

由式(1)可以看出，孔隙率與多孔體的體積分形維數(shù)呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，通過(guò)壓汞實(shí)驗(yàn)得到的體積分維數(shù)可以作為評(píng)價(jià)多孔混凝土結(jié)構(gòu)孔隙率大小的指標(biāo)。

依據(jù)Menger海綿體的構(gòu)造過(guò)程，m=3時(shí)，在不同迭代次數(shù)下，作孔隙率φ與體積分形維數(shù)DV的關(guān)系圖，如圖1和圖2所示。

圖1 孔隙率-孔隙分形關(guān)系

圖2 迭代次數(shù)k與孔隙率的關(guān)系

孔隙率φ是關(guān)于體積分形維數(shù)DV的減函數(shù)(圖1和公式(1))。多孔結(jié)構(gòu)的體積分形維數(shù)越大，孔隙率越低；迭代次數(shù)對(duì)孔隙率的影響也很大，迭代次數(shù)越高，孔隙率越大。

孔隙率隨迭代次數(shù)k升高而增大(見(jiàn)圖2)。一般來(lái)講，迭代次數(shù)越高，能檢測(cè)到的孔徑范圍增大，測(cè)得的孔隙體的容積就越大，孔隙率就越高，只是小孔徑所占的比例太大，孔隙率增長(zhǎng)幅度有所限制。同時(shí)，四條曲線的斜率有所差別。分形維數(shù)越大，φ隨k變化的曲線斜率越??；分形維數(shù)越小，φ隨k變化的曲線斜率越大。壓汞實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，迭代次數(shù)越高，對(duì)應(yīng)的汞壓越大，因此孔隙率隨汞壓力的變化幅度能反映多孔結(jié)構(gòu)的孔隙結(jié)構(gòu)分形情況。

2 孔隙體積分形與孔徑分布的關(guān)系

混凝土多孔體系中，孔徑的分布范圍為(rmin，rmax)，假定孔徑隨機(jī)連續(xù)分布，孔徑分布滿足標(biāo)度不變性，具有明顯的分形特征[8]。根據(jù)分形幾何原理和孔徑分布的隨機(jī)性，設(shè)定F(r)為孔徑不大于r的孔隙分布函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為：

(2)

式中，D代表多孔結(jié)構(gòu)體的體積分形維數(shù)，2

根據(jù)概率密度函數(shù)的性質(zhì)，得出：

(3)

y(r)為孔徑概率密度函數(shù)，可以用孔隙體積分形維數(shù)D表示：

(4)

由式(3)解得：A=-1/(rmin-D-rmax-D)

(5)

將式(5)代入式(3)得到孔徑概率密度函數(shù)y(r)關(guān)于孔隙體積分維D的表達(dá)式：

y(r)=1/(rmin-D-rmax-D)·D·r-D-1

(6)

將式(5)代入式(2)得到孔徑分布函數(shù)F(r)關(guān)于孔隙體積分維D的表達(dá)式：

(7)

孔隙體積分形D與中值孔徑μ的關(guān)系可以從概率統(tǒng)計(jì)學(xué)角度得出中值孔徑μ的期望計(jì)算公式：

(8)

圖3 孔徑概率分布密度與孔徑的關(guān)系

孔徑概率分布密度與孔徑的關(guān)系如圖3所示。

由圖3可以看出：孔隙概率分布密度y(r)與孔徑r的雙對(duì)數(shù)曲線呈線性關(guān)系，符合分形特征，對(duì)該雙對(duì)數(shù)曲線的斜率取絕對(duì)值就得到孔隙分形維數(shù)D；孔隙分維數(shù)越大，孔徑概率分布密度越小，孔徑的分布區(qū)間越寬。因此，可以用孔隙體積分維數(shù)D來(lái)表征孔徑分布的均勻程度。

孔徑分布函數(shù)與孔徑的關(guān)系如圖4所示。

由圖4可以看出：78%～85%的孔徑分布在1.0×10-7～2.0×10-7，小孔數(shù)量占的比重非常大，但由于小孔容積過(guò)小，對(duì)混凝土多孔結(jié)構(gòu)的孔隙率的影響程度可能并不大。沿縱坐標(biāo)軸85%的位置作一條水平線與四條孔徑分布函數(shù)曲線相交，找出對(duì)應(yīng)的孔徑值，發(fā)現(xiàn)體積分形較大的樣品對(duì)應(yīng)的孔徑值較小，體積分形較小的樣品對(duì)應(yīng)的孔徑值較大。這說(shuō)明孔徑在分布區(qū)間上的概率與多孔體的體積分形有關(guān)。

中值孔徑與體積分形的關(guān)系如圖5所示。

由圖5可以看出：孔徑的中值孔徑與多孔體的體積分形有關(guān)，隨著混凝土多孔結(jié)構(gòu)的體積分形維數(shù)變大，孔隙體的中值孔徑趨于減小。這一結(jié)論很好印證了孔徑分布函數(shù)-孔徑關(guān)系。

圖4 孔徑分布函數(shù)與孔徑的關(guān)系

圖5 中值孔徑μ與體積分形維數(shù)D的關(guān)系

3 硬化水泥漿體壓汞實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證以上理論公式的適用性，按照摻合料、水灰比、減水劑等不同比例制備9組樣品，標(biāo)準(zhǔn)養(yǎng)護(hù)28 d后進(jìn)行壓汞實(shí)驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)表1，繪制相關(guān)曲線，如圖6、圖7所示。

表1 水泥石孔徑分布情況

圖6 水泥石孔隙率與分形維數(shù)的關(guān)系

圖7 水泥石平均孔徑與分形維數(shù)的關(guān)系

由圖6、圖7可知：水泥石的孔隙率隨孔隙分形的增大成直線減??；水泥石平均孔徑隨著分形維數(shù)的增大也不斷下降，大致呈直線關(guān)系。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與本文推導(dǎo)的式(8)和圖4、圖5的分析結(jié)論相吻合。

對(duì)9#水泥制品試件壓汞實(shí)驗(yàn)分析，結(jié)果如圖8、圖9所示。

圖8 9#試件ln(1-φ)與ln(rk/R)關(guān)系曲線

圖9 9#水泥石孔徑的概率分布密度

由圖8、圖9可知：9#水泥石的孔隙結(jié)構(gòu)大致分為2個(gè)明顯的分形區(qū)間，孔徑大于150 nm的孔隙分形維數(shù)為2.977～2.982，孔徑為10～150 nm的孔隙分形維數(shù)為2.950。大孔徑區(qū)間的分形維數(shù)大，其概率分布密度就低，所以圖9的右邊峰值就低，但是其分布區(qū)間較寬，孔徑范圍達(dá)300～2 000 nm；小孔徑區(qū)間的分形維數(shù)小，其概率分布密度就大，所以圖9的左邊峰值就高，但是其分布區(qū)間較窄，孔徑范圍為10～200 nm。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與本文推導(dǎo)的式(6)和圖3分析結(jié)論相吻合。

4 結(jié)論

(1)水泥制品的孔隙率可以用體積分形這一標(biāo)度不變量表示。水泥制品的體積分形維數(shù)越大，其孔隙率就越低，二者呈負(fù)相關(guān)關(guān)系。

(2)孔隙率隨汞壓力的變化幅度能反映多孔結(jié)構(gòu)的孔隙結(jié)構(gòu)分形情況，孔隙率隨迭代次數(shù)k升高而趨于緩慢增長(zhǎng)；不同的分形維數(shù)下，孔隙率隨迭代次數(shù)變化的幅度有所差別。

(3)孔隙體積分維數(shù)D能用來(lái)表征孔徑分布的均勻程度。孔隙分維數(shù)越大，孔徑概率分布密度越小，孔徑的分布區(qū)間越寬。

(4)中值孔徑與孔隙率呈正相關(guān)，中值孔徑隨水泥制品的體積分形維數(shù)的增大而趨于減小，這與孔隙率與體積分形的關(guān)系相一致。用分形維數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)水泥制品的孔隙結(jié)構(gòu)特征是可行的，但仍需進(jìn)一步研究。