王曉峰 周海東

(1．江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心 215021；2．江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星洋學(xué)校 215021)

代數(shù)是研究數(shù)、數(shù)量、關(guān)系、結(jié)構(gòu)與代數(shù)方程(組)的通用解法及其性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支，是一門具有豐富內(nèi)容并且與現(xiàn)實世界、與學(xué)生的生活、與其他學(xué)科聯(lián)系十分密切的學(xué)科．它為數(shù)學(xué)本身和其他學(xué)科的研究提供了語言、方法和手段．“數(shù)與代數(shù)”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》(以下簡稱《標準》)主要的課程內(nèi)容，包括數(shù)的概念、數(shù)的運算，數(shù)量的估計；字母表示數(shù)，代數(shù)式及其運算；方程、方程組、不等式、函數(shù)等．數(shù)與式、方程與不等式和函數(shù)，都是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系和運動、變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系的角度來認識現(xiàn)實世界，是未來公民必備的重要基礎(chǔ)知識．

數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過抽象得到了數(shù)學(xué)的研究對象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等數(shù)學(xué)方法，理解和表達現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律．義務(wù)教育階段，隨著學(xué)段的增加，數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容逐漸在擴充，思維形式也從具象逐漸過渡到抽象，且抽象的程度越來越高，解決的問題也越來越復(fù)雜，這就造成部分學(xué)生對數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了困難．

數(shù)學(xué)實驗是學(xué)生通過動手動腦，以“做”為支架的數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動方式，是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生運用有關(guān)工具，通過實際操作，在認知與非認知因素參與下進行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)知識、驗證數(shù)學(xué)結(jié)論的數(shù)學(xué)活動．數(shù)學(xué)實驗具有直觀性，能將抽象的代數(shù)知識的形成過程可視化，增強學(xué)生對知識的感性認識；數(shù)學(xué)實驗具有操作性，強調(diào)動手操作和動腦思考相結(jié)合，能將離身思辨變?yōu)榫呱眢w驗；數(shù)學(xué)實驗具有過程性，能讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運算、推理與建模等過程．因此，通過數(shù)學(xué)實驗可以讓學(xué)生在活動中建構(gòu)知識體系、掌握數(shù)學(xué)方法、形成代數(shù)思維．

1 通過數(shù)學(xué)實驗理解概念本質(zhì)

概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式，正確的概念是科學(xué)抽象的結(jié)果．數(shù)與代數(shù)中的概念一般來源于現(xiàn)實的生活實踐，是從現(xiàn)實中抽象概括出來的．教師在進行概念教學(xué)時，應(yīng)根據(jù)學(xué)生已有的活動經(jīng)驗和學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，從現(xiàn)實中尋找實物模型或通過實驗幫助學(xué)生對概念形成感性認識，讓學(xué)生在經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、推理、歸納的過程中抽象出概念，揭示概念的本質(zhì)，從而正確、清晰地理解概念．

例如，函數(shù)概念的理解．函數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，是由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)思維上的一次飛躍，也是義務(wù)教育階段學(xué)生比較難理解和掌握的數(shù)學(xué)概念之一．為此，借助數(shù)學(xué)實驗“函數(shù)發(fā)生器”，可以幫助學(xué)生建立函數(shù)概念．“函數(shù)發(fā)生器”是指具有這樣功能的盒子(數(shù)學(xué)實驗工具)：從盒子上方開口插入一張卡片，這張卡片可以自然地從下方的一個出口滑出，但卡片的正反面正好調(diào)換．這樣，我們可以在一組卡片正面寫上一個數(shù)(如1，3，5，7，…)，反面相應(yīng)寫上另一個數(shù)(如2，4，6，8，…)，教師可以演示函數(shù)發(fā)生的過程：輸入一個x(如“1”)，輸出一個唯一的y(如“2”)．這樣，利用“函數(shù)發(fā)生器”，既可以幫助學(xué)生直觀地了解函數(shù)概念的本質(zhì)特性——聯(lián)系和變化，又可以促進對函數(shù)概念的文本理解．

再如，無理數(shù)概念的理解．無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)源于古希臘畢達哥拉斯(Pyethagoras，公元前582-497)學(xué)派，因其隱含 “無限”和“不循環(huán)”，一直被人們看成“霧中花”，說不清、道不明．直到19世紀，才由戴德金、柯西、維爾斯塔拉斯等數(shù)學(xué)家構(gòu)造嚴密的實數(shù)理論，消除了人們對無理數(shù)的神秘感．事實上，初中學(xué)生對無理數(shù)的感念理解存在同樣的障礙．張奠宙教授曾將無理數(shù)的概念納入超經(jīng)驗數(shù)學(xué)(憑現(xiàn)實生活的情景無法達到的數(shù)學(xué))的范圍，認為超經(jīng)驗數(shù)學(xué)不合常理，所以學(xué)起來比較困難．為此，可以借助下面的數(shù)學(xué)實驗，讓學(xué)生親歷無理數(shù)的構(gòu)造過程，幫助學(xué)生感悟從有限小數(shù)到無限循環(huán)小數(shù)再到無限不循環(huán)小數(shù)，在比較中理解無理數(shù)的本質(zhì)含義．

其次，通過寫小數(shù)游戲(或者利用Excel軟件產(chǎn)生隨機小數(shù))讓學(xué)生體會到無限不循環(huán)小數(shù)是真實存在的．全班每位同學(xué)準備10張紙條，分別寫上數(shù)字0、1、2、…、9后放入不透明的袋子中．每位同學(xué)在自己的袋子中隨機抽出一張紙條，依次報數(shù)后再放回，教師在3.0的后面按順序?qū)懮蠄蟪龅臄?shù)字．按照這樣的方式不斷地抽下去，再把報出的數(shù)字不停地記下去，就可以得到一個無限小數(shù)，并思考這個無限小數(shù)的小數(shù)點后的數(shù)字會循環(huán)出現(xiàn)嗎？為什么？

最后，嘗試構(gòu)造無限不循環(huán)小數(shù)，進一步體會到無限不循環(huán)小數(shù)是客觀存在的．按照每兩個1之間依次增加一個0構(gòu)造一個無限不循環(huán)小數(shù)1.010 010 001…，嘗試再寫一個類似的無限不循環(huán)小數(shù)．

經(jīng)歷這樣的實驗過程之后，學(xué)生即能真實體會到“無理數(shù)就在自己身邊”、“無理數(shù)是大量存在的”，亦可以把握住無理數(shù)無限和不循環(huán)的特征．從而接受無理數(shù)的客觀存在，理解無理數(shù)的概念．

2 通過數(shù)學(xué)實驗發(fā)展運算能力

運算能力指的是根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力．運算包含算理與算法．算理指的是運算的理論依據(jù)，由數(shù)學(xué)概念、定律和性質(zhì)等構(gòu)成，是運算過程中的思維方式，主要解決“為什么這樣算”的問題．算法是依據(jù)算理提煉出來的運算方法和規(guī)則，是人為規(guī)定的操作方法，主要解決“怎樣計算”的問題．算理是算法的基礎(chǔ)，算法是算理的具體體現(xiàn)．算理為運算提供了正確的思維方式，保證了運算的合理性和可行性；算法為運算提供了便捷的操作程序和方法，保證了運算的正確性和快速性．算理與算法相輔相成，共同決定了運算能力的形成與發(fā)展．為此，教學(xué)中可從學(xué)生的生活經(jīng)驗和知識基礎(chǔ)出發(fā)，通過動手操作探索具體情境中蘊藏的規(guī)律，充分展開對算法的必要性與合理性、算理的客觀存在性的感悟與認識，讓學(xué)生在探索的過程中真正理解算理、掌握算法，并在此基礎(chǔ)上通過訓(xùn)練形成運算技能(包括估算)，發(fā)展運算能力．

例如，分式的基本性質(zhì)的探索．教學(xué)中分式的基本性質(zhì)往往都是利用類比的方法，猜想出分式具有與分數(shù)類似的基本性質(zhì)．類比是合情推理，其結(jié)果是或然的，但證明卻往往又無從下手，教學(xué)會陷入困境．為此，可以借助“剪拼長方形紙片”的數(shù)學(xué)實驗解決這個問題．

操作1：將兩個面積為S、寬為a的長方形紙片按圖①方式拼接成一個大長方形，大長方形的長為多少？若繼續(xù)拼接，你有何發(fā)現(xiàn)？請利用等式描述你的結(jié)論．

操作2：將一個面積為S、寬為a的長方形紙片按圖②方式裁剪成兩個小長方形，小長方形的長為多少？若繼續(xù)裁剪，你有何發(fā)現(xiàn)？請利用等式描述你的結(jié)論．

圖1

圖2

這樣，借助長方形紙片先將抽象的分式轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形，再根據(jù)剪拼前后圖形中隱含的數(shù)量之間的關(guān)系，通過演繹推理的方式證明了猜想，得到了分式的基本性質(zhì)．另外，利用類似的實驗還可以探索分式的加法運算法則．

再如，有理數(shù)的加法法則的探索．數(shù)式運算法則的掌握，不能依賴死記硬背，應(yīng)以理解為基礎(chǔ)，在應(yīng)用中不斷鞏固．教學(xué)中應(yīng)注重建立法則與學(xué)生生活經(jīng)驗與知識基礎(chǔ)的聯(lián)系，組織學(xué)生開展實驗、操作、嘗試等活動，引導(dǎo)學(xué)通過觀察、思考、分析，抽象概括出運算法則．“有理數(shù)的加法法則”是初中引入“負數(shù)”概念后學(xué)生對小學(xué)已經(jīng)獲得的數(shù)的運算法則基礎(chǔ)上的發(fā)展和深化．為此，利用正負數(shù)可以表示“意義相反的量”，通過設(shè)計“點在數(shù)軸上的移動”實驗活動探索有理數(shù)的加法法則．

操作1：把筆尖放在數(shù)軸的原點，沿數(shù)軸先向左移動5個單位長度，再向右移動3個單位長度，這時筆尖停在“-2”的位置上．用數(shù)軸(圖3)和算式可以將以上過程及結(jié)果分別表示為：(-5)+(+3)=-2．

圖3

操作2：把筆尖放在數(shù)軸的原點，沿數(shù)軸先向右移動3個單位長度，再向左移動2個單位長度，這時筆尖停在“1”的位置上．用數(shù)軸(圖4)和算式可以將以上過程及結(jié)果分別表示為：(+3)+(-2)=+2．

圖4

操作3：把筆尖放在圖5中數(shù)軸的原點，沿數(shù)軸先向左移動3個單位長度，再向左移動2個單位長度，這時筆尖的位置表示什么數(shù)？請用數(shù)軸和算式分別表示以上過程及結(jié)果．

圖5

再做一些類似的試驗活動，并寫出相應(yīng)的算式．

這樣，借助人人都可以動手操作的筆尖在數(shù)軸上兩次移動的方法，可以讓學(xué)生直觀感受兩次連續(xù)運動中點的運動方向與移動的距離對實際移動效果產(chǎn)生的影響，通過“形與數(shù)”的轉(zhuǎn)換，歸納出有理數(shù)加法運算法則，學(xué)生對有理數(shù)加法運算法則的理解會更加深刻．

3 通過數(shù)學(xué)實驗形成符號意識

符號意識是學(xué)習(xí)者在感知、認識、運用數(shù)學(xué)符號方面所作出的一種主動性反應(yīng)，是一種積極的心理傾向．建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達和進行數(shù)學(xué)思考的重要形式．數(shù)學(xué)實驗可以為學(xué)生提供豐富的情境，讓學(xué)生在實驗的過程中抽象出數(shù)學(xué)符號，幫助學(xué)生獲得運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的體驗，促進學(xué)生主動使用符號進行運算和推理，提高運用符號解決問題的意識與能力，發(fā)展代數(shù)思維．例如，可以通過下面的拼圖實驗，在問題解決的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的符號意識．

問題1：如圖6是邊長為8的正方形紙片，把它剪成4塊，按圖7重新拼合，這4塊紙片恰好能拼成一個長為13、寬為5的長方形嗎？

學(xué)生觀察圖6、圖7后，一般會直觀地判斷成“可以拼成”．通過分析與計算，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)圖6中正方形的面積為64，圖7中長方形的面積為65，面積不相等，因此不能拼成．這樣，學(xué)生就產(chǎn)生了認知沖突．為此，教師可將一張較大的正方形紙片，按圖6的方式分割，再按圖7的方式拼合，通過觀察，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：圖中直角三角形的斜邊與直角梯形的腰不在同一條直線上，兩個直角三角形的兩條斜邊與兩個直角梯形的兩條腰組成了一個狹長的平行四邊形縫隙，它的面積正好是1．由于視覺的關(guān)系，這四條線段似乎在同一條直線上，于是得到了“可以拼成”錯誤結(jié)論．進而，引導(dǎo)學(xué)生再做如下思考．

圖6

問題2：將一個正方形紙片按上述方式進行裁剪后，再重新拼合，能否拼成一個長方形？若能，又該如何裁剪？

圖7

圖8

圖9

圖10

該實驗中的問題1體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的證偽與證實，問題2是對問題1的深入與延伸，兩者共同構(gòu)成了一個完整的正方形剪拼成等面積的長方形的探究過程．學(xué)生通過觀察、猜想、操作、推理、驗證，思維由形到數(shù)、再由數(shù)到字母，逐步獲得了升華．顯然，這樣的數(shù)學(xué)活動有利于學(xué)生符號意識的形成與發(fā)展．

4 結(jié)束語

著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾經(jīng)這樣描述數(shù)學(xué)的表達形式：“沒有一種數(shù)學(xué)的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子公開發(fā)表出來．一個問題被解決后，相應(yīng)地發(fā)展為一種形式化技巧，結(jié)果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗．”事實上，數(shù)學(xué)課本由于表達的需要，往往以邏輯嚴密的學(xué)術(shù)形態(tài)出現(xiàn)，呈現(xiàn)出冰冷的美麗，讓學(xué)生望而生畏．教學(xué)的任務(wù)就是把它們重新顛倒過來，使它們借助自然形態(tài)的數(shù)學(xué)實驗轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易接受的教育形態(tài)呈現(xiàn)出來．在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，注重學(xué)生親歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等活動，感悟概念、法則、性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)、形成與應(yīng)用過程，形成主動利用符號進行表達、分析與解決問題的意識，才能讓“冰冷的美麗”綻放為“火熱的思考”，而這種學(xué)習(xí)體驗恰恰是數(shù)學(xué)實驗可以提供的．