馮 斌

(浙江省寧波市教育局教研室 315100)

隨著高中課程改革的深入，教學(xué)的核心聚焦在如何將學(xué)科核心素養(yǎng)落實到課堂教學(xué)上，而教師的專業(yè)水平和育人能力是落實的關(guān)鍵，傳統(tǒng)的教學(xué)行為已經(jīng)不足以承擔(dān)時代賦予教師的重任，數(shù)學(xué)界對“數(shù)學(xué)育人要用數(shù)學(xué)的方式”、“學(xué)習(xí)即研究”、“教學(xué)即研究指導(dǎo)”的呼聲比以往任何時候都來得強烈，這就意味著教師要以數(shù)學(xué)研究者的擔(dān)當(dāng)來促使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)育人目標(biāo)的達成，以研究者的視角來理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)、理解技術(shù)，以研究者的身份來踐行課堂教學(xué)，以研究者的心態(tài)來反思自身的教學(xué)行為. 作為本屆高中數(shù)學(xué)教壇新秀評選活動的組織者，我們把“以評促研，以研促教”作為課堂教學(xué)評比環(huán)節(jié)的宗旨，為教師精心打造行動研究的舞臺，喚起教師向研究者轉(zhuǎn)型的內(nèi)驅(qū)力.本文將本次比賽的所思、所想、所悟整理成文，與同行交流，期待拋磚引玉.

1 打破固有經(jīng)驗，促使參賽教師研究行為的發(fā)生

雖然教育教學(xué)活動依賴于教師教學(xué)經(jīng)驗的不斷積累、創(chuàng)新與持續(xù)生成，但不可否認，教學(xué)經(jīng)驗中固有的“定勢性”正成為阻止教師向研究者轉(zhuǎn)型的一大障礙. 很多教師認為，憑借自己多年積累的“經(jīng)驗”、既成的“模式與套路”，就足以應(yīng)對教學(xué)任務(wù)與各類業(yè)務(wù)比武，自己的業(yè)務(wù)水平已臻于“嫻熟精湛”，并不需要繼續(xù)研究.結(jié)果，有的教師為維護舊有的經(jīng)驗而走向僵化、獨斷、作繭自縛[1]. 因此，本次比賽在教學(xué)視角、教學(xué)載體、教學(xué)素材、教學(xué)節(jié)點等方面作了一些改進與創(chuàng)新，旨在打破固有經(jīng)驗，促使教師研究行為的發(fā)生.

1.1 以“單元教學(xué)”視角，促使參賽教師研究新的理論

根據(jù)筆者的教學(xué)觀察，發(fā)現(xiàn)多數(shù)教師仍停留在“就課論課，只見樹木不見森林”的課時教學(xué)設(shè)計層面.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》在教學(xué)建議中強調(diào)：整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展. 鐘啟泉教授認為“單元設(shè)計是撬動課堂轉(zhuǎn)型的一個支點”，崔允漷教授也認為“學(xué)科核心素養(yǎng)呼喚大單元設(shè)計”.本屆課堂教學(xué)的選題以“單元教學(xué)”為視角，要求參賽教師站在系統(tǒng)高度，依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，對教材中具有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性的內(nèi)容進行分析，整體把握教學(xué)內(nèi)容，制定學(xué)習(xí)目標(biāo)、整合學(xué)習(xí)內(nèi)容、分析學(xué)習(xí)要素、設(shè)計學(xué)習(xí)活動、進行學(xué)習(xí)評價. 這也進一步要求教師針對平時教學(xué)中所暴露的問題，加強學(xué)習(xí)、研究，樹立積極的、與時代發(fā)展同步的數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)教學(xué)觀，改進與優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)，更好地履行自己的職責(zé)與使命[2].

1.2 以“概念復(fù)習(xí)課”為載體，促使參賽教師研究新的課型

以往課堂教學(xué)比武通常以“概念新授課”與“章節(jié)復(fù)習(xí)課”為主，由于這兩類課有很多“成功”的課例可供參考，使參賽教師把大量精力放在對已有課例的學(xué)習(xí)與借鑒上，課堂中“數(shù)學(xué)教學(xué)=解題教學(xué)=題型訓(xùn)練”的現(xiàn)象也很普遍，很少會考慮對課堂教學(xué)的整體改進與創(chuàng)新.本次比賽課融兩類課型于一體，課型為“概念復(fù)習(xí)課”，要求參賽教師遵循“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的”理念，以概念的再認知為目標(biāo)開展復(fù)習(xí)課教學(xué)：既要立足數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，深入挖掘概念的內(nèi)涵與外延，又要注重在概念系統(tǒng)中認識概念，使概念得到充分的整合，將概念組織為具有層次性、立體化的結(jié)構(gòu)體系，以增強概念的靈活遷移能力[3].這樣的復(fù)習(xí)課可以扭轉(zhuǎn)教師只關(guān)注題目而忽視概念、知識結(jié)構(gòu)的弊病，從而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認識水平，達到認知結(jié)構(gòu)的清晰性、可辨別性、可利用性，以實現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越 .

1.3 以“參考材料”為素材，促使參賽教師研究“如何用教材教”

跟以往的不一樣，本屆比賽上課的內(nèi)容沒有直接指定上“教材中某章某節(jié)”，而是以課程標(biāo)準(zhǔn)和教材為基礎(chǔ)，將教材的相關(guān)內(nèi)容整合成“參考材料”，供教師進行教學(xué)加工，以此避免教師直接“教教材”的可能性，促使教師去研究如何創(chuàng)造性的“用教材教”.

執(zhí)教對象：省一級重點中學(xué)的高二學(xué)生.

教學(xué)進度：已學(xué)完必修1、必修2、必修4、必修5、選修2-1第一章和第二章

課題1橢圓的概念(高二復(fù)習(xí)課)

參考材料如下：

(1)人教A版《數(shù)學(xué)》(選修2-1)第41頁例2；

(2)人教A版《數(shù)學(xué)》(選修2-1)第41頁例3；

(3)人教A版《數(shù)學(xué)》(選修2-1)第47頁例6；

(4)人教A版《數(shù)學(xué)》(選修2-1)第49頁習(xí)題2.2 A組第1題；

(5)人教A版《數(shù)學(xué)》(選修2-1)第49頁習(xí)題2.2 A組第7題；

(6)人教A版《數(shù)學(xué)》(選修2-1)第50頁習(xí)題2.2 B組第2題.

設(shè)計意圖數(shù)學(xué)概念是人腦對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)特征的反映，而本質(zhì)特征往往有多種表現(xiàn)形式，從概念出發(fā)研究性質(zhì)，實際上就是以概念所界定的本質(zhì)特征為邏輯基礎(chǔ)，去推出數(shù)學(xué)對象的其他本質(zhì)特征，這就是“正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提”的真正含義.本課題通過對教材的再挖掘、再認識，將教材中的同類問題整合成“參考材料”，這些材料所反映的就是橢圓的其他本質(zhì)特征.本課題旨在促使教師回歸教材，基于學(xué)生對橢圓的已有認識，在“一般觀念”的指導(dǎo)下，循著“概念——性質(zhì)(關(guān)系)——結(jié)構(gòu)(聯(lián)系)”的路徑，引導(dǎo)學(xué)生以橢圓的定義為邏輯起點，對橢圓的性質(zhì)及其內(nèi)在聯(lián)系展開“再認識”，使學(xué)生對橢圓的本質(zhì)特征形成系統(tǒng)認識的同時，把數(shù)學(xué)基本思想、基本活動經(jīng)驗落實到位.

課題2空間角的概念(高二復(fù)習(xí)課)

參考材料如下：

(1)2014年高考浙江卷理科第16題(移動靶射擊問題，線面角與二面角)；

(2)2015年高考浙江卷理科第8題(線線角與二面角問題)；

(3)2016年4月浙江學(xué)考數(shù)學(xué)卷第18題(線線角與線面角的大小比較)；

(4)2017年高考浙江卷第9題(二面角的平面角大小比較)；

(5)2018年高考浙江卷第8題(三類角的大小比較).

設(shè)計意圖縱觀近幾年浙江數(shù)學(xué)高考卷、學(xué)考卷，可以發(fā)現(xiàn)：試題進一步加強了對數(shù)學(xué)核心概念的考查力度，給人以源于教材、高于教材、題在書外、理在書中之感覺[4].本課題提供的“參考材料”將近幾年空間三類角(線線角、線面角、面面角)的考題整合到一起，旨在促使教師回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，有層次地認識空間三類角及其內(nèi)在聯(lián)系.在課堂教學(xué)中，在“研究一個數(shù)學(xué)對象的基本套路”的指導(dǎo)下，循著“問題——活動——本質(zhì)——應(yīng)用”的路徑，基于學(xué)生的認知規(guī)律設(shè)計系列化的數(shù)學(xué)育人活動，幫助學(xué)生學(xué)會圍繞真正的數(shù)學(xué)問題進行“有邏輯地思考”，開展有數(shù)學(xué)含金量的教學(xué)活動，在問題解決的同時，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)思維和解決問題的經(jīng)驗，從而提升和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

1.4 以“18分鐘”為教學(xué)節(jié)點，促使參賽教師研究片段教學(xué)

要求選手在18分鐘時間內(nèi)完成教學(xué)任務(wù)，是對參賽教師的巨大挑戰(zhàn). 在這么短的時間內(nèi)，如何基于學(xué)情引入課題、如何精選教學(xué)內(nèi)容、如何凸顯教學(xué)主題、如何設(shè)計問題系列、如何實現(xiàn)師生的有效互動、如何實現(xiàn)知識的自然生成、如何恰當(dāng)?shù)睦眉夹g(shù)媒體……諸多問題都要求參賽教師運用自己的教育智慧構(gòu)建教學(xué)過程，并將著力點放在關(guān)鍵片段上，從而實現(xiàn)“聚焦片段，成就精彩”的教學(xué)效果.

2 凸顯系統(tǒng)思維視角，促使參賽教師研究“深度學(xué)習(xí)”

如何提高課堂教學(xué)質(zhì)量和效益是教研的永恒話題. 本屆評選課的教學(xué)視角是“單元教學(xué)”，單元教學(xué)的核心思想是系統(tǒng)思維[5]. 學(xué)習(xí)即研究，教學(xué)即研究指導(dǎo)，在“既要重視教，更要重視學(xué)，促進學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)”[6]的理念下，如何從整體的高度思考研究對象、組建學(xué)習(xí)單元，在18分鐘內(nèi)促使深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生是本節(jié)課研究的重點.

2.1 對橢圓概念的系統(tǒng)化認識

我們通常把橢圓、拋物線、雙曲線通稱為圓錐曲線. 它們的統(tǒng)一性可以從三個維度看. 從幾何學(xué)的觀點看，它們都是由平面截圓錐得到的截線；從點的軌跡看，它們都是與定點和定直線距離的比是常數(shù)的點的軌跡；從方程的形式看，它們的方程都是關(guān)于x、y的二次方程，因此這些曲線又稱為二次曲線. 對橢圓概念的系統(tǒng)化認識也可以從以上三個維度切入.

(1)橢圓為何稱為圓錐曲線，它與圓錐到底有什么關(guān)系

教師甲以“(人教A版《數(shù)學(xué)》(選修2-1)第41頁例2)在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？ ”為切入口，首先揭示橢圓與圓的關(guān)系——橢圓可以看成是“壓扁的圓”，而圓可以看成平面截圓錐面所形成的曲線，那橢圓是否也有類似的操作？受此啟發(fā)，自然引入“丹德林雙球模型”，并由此得出橢圓的定義.

點評雖然借助“丹德林雙球模型”提煉橢圓的定義并不是首創(chuàng)之舉，但要從這個模型中引導(dǎo)學(xué)生自然發(fā)現(xiàn)“到兩定點距離之和等于常數(shù)”這個結(jié)論也并非易事.在新授課中我們一般很少采用這種方法，一方面耗時，另一方面對學(xué)生的思維要求很高.但在這節(jié)課中，通過類比圓的發(fā)現(xiàn)過程，橢圓幾何性質(zhì)的獲得水到渠成.

(2)橢圓除了教材的定義，還有沒有其它形成方式

教師乙通過下面兩個問題分別從距離之比、斜率之積呈現(xiàn)了橢圓的第二定義、第三定義，讓學(xué)生知道可以從不同的幾何視角來描述橢圓的形成方式，并且由此聯(lián)想到雙曲線、拋物線是否也有類似的定義？橢圓、雙曲線、拋物線三者是否有統(tǒng)一形式的定義？

問題1-1：人教A版《數(shù)學(xué)》(選修2-1)第47頁例6.

問題1-2：人教A版《數(shù)學(xué)》(選修2-1)第41頁例3.

2.2 對數(shù)與形的統(tǒng)一化認識

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì).教學(xué)中一方面要求“以形求式”，即通過曲線的幾何特征建立曲線方程，另一方面要求“以式論形”，即通過曲線方程研究它們的幾何性質(zhì)，形成數(shù)形統(tǒng)一的數(shù)學(xué)認知.

教師丁引導(dǎo)學(xué)生回溯教材中“橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程”的推導(dǎo)過程，通過深入剖析關(guān)鍵算式蘊含的幾何意義，建立數(shù)與形的有機聯(lián)系，進而不斷地收獲橢圓的“新定義”.

點評橢圓的本質(zhì)特征有多種表現(xiàn)形式，教師丁的教學(xué)以橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程為認知起點，對教材進行再挖掘，通過“以式論形”，引導(dǎo)學(xué)生充分認識橢圓的其他本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系，體驗到“解讀方程結(jié)構(gòu)，捕捉運動軌跡”的韻味與奧秘.

2.3 對空間角的本質(zhì)認知

空間三類角到底有什么內(nèi)在聯(lián)系？如何比較它們之間的大?。刻N含什么樣的數(shù)學(xué)思想？這些成為單元教學(xué)中應(yīng)思考的關(guān)鍵問題，教師戊對此作出了完美的闡釋.他首先拋出問題(課前發(fā)給學(xué)生的作業(yè))：2018年高考浙江卷第8題(略)，并用定義法進行求解，接著在圖形中抽象出空間三類角，在回顧空間三類角的定義后，指出三類角在定義的表述上雖然不盡相同，但都可以轉(zhuǎn)化為“線線所成的角”來度量，空間“三類角”實質(zhì)都可以歸結(jié)為“線線角”，然后借助三個探究(課前發(fā)給學(xué)生的作業(yè))：

探究1：已知AP為平面α的斜線，AP∩α=A，AB?α，設(shè)AP與平面α所成角為θ2，AP與AB所成的角為θ1，試比較θ1,θ2的大小.

通過合作交流，提煉總結(jié)，獲得了兩個有用的性質(zhì)：

性質(zhì)1: “線面角是最小的線線角”，即平面的斜線與這個平面所成的角是這條斜線與這個平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小者.

性質(zhì)2: “二面角是最大的線面角”，即對于一個銳二面角，它的平面角是其中一個半平面內(nèi)任一條直線與另一個半平面所成的線面角中的最大者.

最后，在運用這兩個性質(zhì)解決 “三類角”比大小問題中讓學(xué)生進一步感悟“空間角”的本質(zhì)，掌握空間角之間的等價轉(zhuǎn)換.

教師己的課與教師戊有異曲同工之妙，他借助“鱉臑”模型，從定性、定量兩個角度引導(dǎo)學(xué)生對空間三類角作深入探究，除了獲得上述兩條性質(zhì)外，還提出了三余弦定理：“若平面的一條斜線與這個平面所成的角為α，平面內(nèi)的一條直線與這條斜線及其射影所成的銳角分別為β,γ，則有cosβ=cosαcosγ”；三正弦定理：“設(shè)二面角α-AB-β的度數(shù)為θ3，在平面α內(nèi)有一條斜線AC，它與棱AB所成的角為θ1，AC與平面β所成的角為θ2，則sinθ2=sinθ1sinθ3”；再應(yīng)用所得結(jié)論求解2018年高考浙江卷第8題(略)；最后以“初聞不知角中意，細品已是角中人；角中聯(lián)系今猶在，挖掘內(nèi)涵助提升”這首原創(chuàng)詩來詮釋空間角研究的心路歷程.

3 “教-研-評”一體化，促使教師走向研究自覺

“教而不研則淺，研而不教則空”，高素質(zhì)的教師隊伍離不開教學(xué)研究.現(xiàn)實中，一方面，教師忙于教學(xué)事務(wù)，滿足于“重復(fù)昨天的故事”，研究意愿淡薄；另一方面，教師面對風(fēng)起云涌的課改潮流，不知道該研究什么，怎么研究.為了有效改變現(xiàn)狀，近幾年寧波市高中數(shù)學(xué)學(xué)科采取了“教-研-評”三位一體的教研工作模式：教——教學(xué)與實踐、研——研究與反思、評——評價與改進.比如，本次教壇新秀評選工作，為了充分發(fā)揮其在課堂教學(xué)中的“導(dǎo)向”功能，我們以評價為突破口與發(fā)力點，在變革評價機制的同時，作了以下的教研工作跟進：一是通過微信群，將本次課堂教學(xué)環(huán)節(jié)評比中的信息及時反饋給參賽選手，使得他們明確自身的優(yōu)勢、存在的問題、努力的方向；二是通過“寧波市高中數(shù)學(xué)特級教師跨區(qū)域帶徒”平臺，以“概念復(fù)習(xí)課教學(xué)”為主題進行深入的交流與研討；三是通過“寧波市高中數(shù)學(xué)新課程研訓(xùn)活動”，呈現(xiàn)研究成果，發(fā)揮上課教師的引領(lǐng)示范作用.通過這些舉措，讓教師感受到了研究的力量，為教師向研究者的回歸提供前進的動力.

當(dāng)然，平時的課堂教學(xué)與校本教研才是促使教師向研究者轉(zhuǎn)型的“主戰(zhàn)場”，通過主題化的研修幫助教師樹立研究的意識，鼓勵教師從課堂教學(xué)發(fā)現(xiàn)問題，并且通過科學(xué)研究的方法解決問題、優(yōu)化教學(xué)評價體系，把教學(xué)研究作為評價的重要依據(jù)，形成“教-研-評”一體化的良性循環(huán)，從而使主動研究教材、研究學(xué)生、研究

教學(xué)、研究技術(shù)成為教師的一種職業(yè)自覺.