李杰民 廖運(yùn)章

(1.廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 510006；2.嶺南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 524048)

1 問題提出

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2017年第5期刊登了文章《一個概率問題的解決及其啟示》，該文介紹了一個“不起眼”的概率題以及如何尋找問題解答的過程和思考[1]. 問題是：拋擲一枚硬幣，若出現(xiàn)正面記1分，出現(xiàn)反面記2分，連續(xù)拋擲多次，問恰好得到3分的概率為多少？

為了解決該“困擾”，文[1]由賽制啟發(fā)得到了一種“虛擬解法”. 形式上，它是一個類似賽制的表格；本質(zhì)上，是將“2維”的樣本點(diǎn)升級到“3維”，統(tǒng)一到一個樣本空間，回到“古典概型”框架下解決問題.

2 高觀點(diǎn)下問題的探究與解決

以“高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)”為主題的研究日漸增多，不少高師院校還專門開設(shè)了此類課程，但要找出中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系并非易事，學(xué)習(xí)了高等數(shù)學(xué)而不能很好的指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的情況也普遍存在，以致很多學(xué)生錯誤的認(rèn)為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)并不能為初等數(shù)學(xué)教學(xué)帶來多少幫助. 文[1]關(guān)于一個概率問題的探究為我們提供了一個難得的案例，我們在大學(xué)教學(xué)中引入該案例，讓學(xué)生清晰地看出了問題的本質(zhì)與內(nèi)涵，深刻領(lǐng)悟到大學(xué)知識與方法對中學(xué)問題及其解決的指導(dǎo)意義，以及大學(xué)概率課程與中學(xué)概率知識一脈相承的關(guān)系，引發(fā)了學(xué)生的強(qiáng)烈共鳴.

馬爾可夫過程是隨機(jī)過程的重要組成部分，也是隨機(jī)過程研究中最為成熟一個分支，離散時間離散狀態(tài)的馬爾可夫鏈更是因其通俗易懂、應(yīng)用廣泛而廣為人知. 學(xué)完馬爾可夫鏈的定義后，書本介紹了幾個“隨機(jī)游動”的例子，但“隨機(jī)游動”也是概率統(tǒng)計(jì)學(xué)家從實(shí)際問題中抽象出來的模型，尚未與學(xué)生的認(rèn)知建立深刻的聯(lián)系. 此時我們開始向?qū)W生介紹文[1]中的問題，首先讓學(xué)生思考，由于文[1]的問題比較簡單，又來自高中，學(xué)生非常興奮，很快解答出來，解法大多與文[1]中“教師B的方法”相同. 然后，告知學(xué)生該問題的本質(zhì)是一個馬爾可夫鏈，學(xué)生難以置信，怎么突然和馬爾可夫鏈聯(lián)系起來了？

事實(shí)上，引進(jìn)隨機(jī)變量Yn,n=1,2,…. 若第n次拋擲時出現(xiàn)反面，令Yn=2；若第n次拋擲時出現(xiàn)正面，令Yn=1；再引進(jìn)隨機(jī)變量Xn,n=0,1,2,…，令Xn=Y1+Y2+…+Yn,n=1,2,…，規(guī)定X0=0. 顯然，這里的Xn表示拋擲n次后的得分情況.

要計(jì)算得到3分的概率，即研究n取何時Xn=3，并計(jì)算該事件發(fā)生的概率. 由前面教師B的解法可知，所求概率為P(X2=3)+P(X3=3)，但如此繼續(xù)下去，與教師B的解法并無實(shí)質(zhì)不同. 其實(shí)，n取何時Xn=3并不是問題的重點(diǎn)，n取何時Xn=0也無關(guān)緊要，問題的核心是：計(jì)算“Xn從0分變到3分的概率”，抓到了這個本質(zhì)，問題轉(zhuǎn)化為一個條件概率的計(jì)算問題.

我們將隨機(jī)變量序列Xn,n=0,1,2,…的取值情況作圖如下(圖1).

圖1 隨機(jī)變量序列取值狀態(tài)變化圖(等可能情形)

這是一個有向圖，賦權(quán)圖，這不正是馬爾可夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖嗎？圖中數(shù)字0,1,2,…原本表示“得分”，經(jīng)過抽象，稱其為隨機(jī)變量序列所處的“狀態(tài)”，圖中的其他數(shù)字即“權(quán)”，正是馬爾可夫鏈的“一步轉(zhuǎn)移概率”，表示隨機(jī)變量序列從一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另外一個狀態(tài)的概率.

具體的說，pij=P(Xn+1=j|Xn=i)表示隨機(jī)變量序列Xn,n=0,1,2,…從“n時刻處在狀態(tài)i”轉(zhuǎn)移到“n+1時刻處在狀態(tài)j”這樣一個條件概率，很明顯，此條件概率的值與隨機(jī)變量序列在n時刻之前的時刻所處的狀態(tài)無關(guān)，即滿足“馬爾可夫性”，也稱“無后效性”.

因此，隨機(jī)變量序列Xn,n=0,1,2,…描述的正是一個馬爾可夫鏈，而且是齊次馬爾可夫鏈，文[1]中的問題轉(zhuǎn)化為求此馬爾可夫鏈由狀態(tài)“0”轉(zhuǎn)移到狀態(tài)“3”的概率.

學(xué)生恍然大悟，原來，求馬爾可夫鏈由一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個狀態(tài)的概率并非概率統(tǒng)計(jì)學(xué)家憑空想象出來的，而是存在實(shí)際問題的需求與驅(qū)動，馬爾可夫鏈也不僅僅是教材上的概念，而是在生活中廣泛存在的，拋擲硬幣這樣簡單的試驗(yàn)竟然“拋出”一個馬爾可夫鏈. 事實(shí)上，馬爾可夫鏈正是概率統(tǒng)計(jì)學(xué)家從隨機(jī)現(xiàn)象研究中發(fā)現(xiàn)并抽象出來的一類隨機(jī)模型，通過對該類模型的研究反過來可以指導(dǎo)解決一大批實(shí)際問題.

接下來，考慮由狀態(tài)“0”轉(zhuǎn)移到狀態(tài)“3”的概率的計(jì)算.

方法1：從圖1可以看出，從狀態(tài)“0”變成狀態(tài)“3”，有三條不同的“道路”，所求的概率為

如此簡明，如此清晰.

不僅如此，即使沒有等可能性，問題解決沒有任何難度增加. 比如，若硬幣是非均勻的，假設(shè)出現(xiàn)正面的概率是1/3，出現(xiàn)反面的概率是2/3，只需將圖1中的表示概率的數(shù)字改動一下，如圖2.

圖2 隨機(jī)變量序列取值狀態(tài)變化圖(非等可能情形)

此時，所求的概率為

可見，“等可能性”并非文[1]問題的本質(zhì)特征.

方法2：正如圖的矩陣表示一樣，馬爾可夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移變化圖可以用矩陣表示，而且根據(jù)C-K方程，馬爾可夫鏈的“多步轉(zhuǎn)移概率矩陣”是“一步轉(zhuǎn)移概率矩陣”的冪，寫出“一步轉(zhuǎn)移概率矩陣”A，然后計(jì)算矩陣的冪A2，A3，…，令B=A+A2+A3，矩陣B的第一行第四列的元素就是我們要求的概率. 由于這里的矩陣都是無限矩陣，限于篇幅，我們僅僅寫出A如下，矩陣A2，A3和矩陣B省略了.

如此嚴(yán)謹(jǐn)，如此細(xì)致.至此，學(xué)生不但對問題的本質(zhì)有了清晰的了解，而且認(rèn)識到大學(xué)概率知識對中學(xué)概率問題的指導(dǎo)意義，也理解了大學(xué)為什么要引進(jìn)“可達(dá)”、“首次到達(dá)”以及后面還要學(xué)習(xí)的“常返性”，“極限定理與平穩(wěn)分布”等概念與知識，感受到大學(xué)課程的嚴(yán)謹(jǐn)與深度.

3 啟示與建議

通過對文[1]問題進(jìn)行高觀點(diǎn)視域下的解讀與分析，不但看清了問題的實(shí)質(zhì)，了解了大學(xué)方法的嚴(yán)謹(jǐn)與深刻，至少還可以得到以下三個方面的啟示.

3.1 關(guān)于虛擬解法的價值與局限

文[1]的探究過程圍繞如何構(gòu)造一個“古典概型”的樣本空間展開，加深了師生對“古典概型”的認(rèn)識，讓師生意識到構(gòu)造一個合適的“樣本空間”的重要性.

但該方法使用起來并不方便，文[1]談到了樹形圖，樹形圖實(shí)際上是該方法的另一種表現(xiàn)形式，“樹”是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，“虛擬解法”可以編程實(shí)現(xiàn)，但編寫程序是另外一個專業(yè)問題，不編寫程序，“虛擬解法”無論在高中階段還是大學(xué)階段，使用起來都不方便. 特別是，隨著樣本空間“維數(shù)”的上升，對計(jì)算機(jī)影響不大，人類卻難以忍受這種枯燥乏味、費(fèi)時且容易出錯的方法，另外，“虛擬解法”適用范圍有限，如果沒有等可能性，該方法失效.

但教師B的方法仍然可行！教師B的方法簡單而實(shí)用，易于被學(xué)生掌握，建議高中階段采用教師B的解法，當(dāng)然，需要將問題的探究時機(jī)調(diào)整到“獨(dú)立事件的概率乘法公式”知識點(diǎn)之后，這要求教師對概率知識的全貌有較好的把握，并了解其在高中數(shù)學(xué)教材中的分布情況，特別是前后有緊密關(guān)聯(lián)的知識點(diǎn). 比如，人教版將“古典概型”安排在必修3的§3.2[2]，“獨(dú)立事件的概率乘法公式”安排在選修2-3的§2.2“二項(xiàng)分布及其應(yīng)用”[3]，這兩個知識點(diǎn)一般都出現(xiàn)在大學(xué)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程的第一章“概率論的基本概念”[4]，高中階段卻分開出現(xiàn)在兩本書，教師應(yīng)該意識到這些差異.

文[1]的探究過程為我們提供了一個難得的案例，如果意識到“虛擬解法”的不足，將其作為階段性成果，繼續(xù)展開探究，尋找更合適的解法，結(jié)果將更加深刻.

比如，可以采用隨機(jī)變量這個研究隨機(jī)現(xiàn)象的核心工具，使用隨機(jī)變量表示事件(隨機(jī)事件簡稱)比使用集合表示事件更深刻、更入微、更動態(tài)，更能找出不同事件之間的聯(lián)系，更能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì). 正如數(shù)理邏輯中“謂詞邏輯”與“命題邏輯”的關(guān)系一樣[5].

bi-square權(quán)函數(shù)相對于全局線性回歸(oLS）模型來說，基于函數(shù)之下的局部空間回歸(GWR)模型擬合優(yōu)度最高，其對于城市旅游效率的影響因素分析更為明確。

如果將問題的探究時機(jī)安排在人教版選修2-3的§2.2之后，此時不但學(xué)完了“獨(dú)立事件的概率乘法公式”，也學(xué)完了“隨機(jī)變量”以及“二項(xiàng)分布”，為深入探究提供了知識保障. 事實(shí)上，前面介紹的隨機(jī)變量Yn,n=1,2,…獨(dú)立同分布，但Xn,n=1,2,…并非獨(dú)立，而是存在相依關(guān)系：Xn=Xn-1+Yn,n=1,2,…. 可見，此問題在高中階段其實(shí)存在一定的難度，不要被其簡單的外表所蒙蔽.

3.2 關(guān)于“古典概型”的把握

前面的高觀點(diǎn)解讀已經(jīng)發(fā)現(xiàn)文[1]中的問題與“等可能性”關(guān)系不大，其實(shí)，認(rèn)真考察教師B的方法也能看出這一點(diǎn). 教師B的方法實(shí)際上用到了分類討論思想或者加法原理：要得3分，應(yīng)該是連續(xù)拋擲2次或者3次，這是兩種不同的得分途徑，因此采用加法原理. 此外，教師B的方法還用到了獨(dú)立事件的概率乘法公式. 如果將該方法完整的表達(dá)出來，應(yīng)該是：設(shè)A表示事件“恰好得3分”，B表示事件“連續(xù)拋擲兩次后得3分”，C表示事件“連續(xù)拋擲三次后得3分”，問題為求事件A發(fā)生的概率P(A).

因?yàn)镻(A)=P(B)+P(C)，轉(zhuǎn)而計(jì)算P(B)和P(C). 設(shè)Bi表示事件“第i次拋擲出現(xiàn)正面”，Ci表示事件“第i次拋擲出現(xiàn)反面”，i=1,2,…，由題意得P(Bi)=1/2,P(Ci)=1/2,i=1,2,…，因?yàn)锽=B1C2∪C1B2，所以P(B)=P(B1)·P(C2)+P(C1)P(B2)=1/2，因?yàn)镃=B1B2B3，所以P(C)=P(B1)P(B2)P(B3)=1/8，因此，所求的概率為P(A)=P(B)+P(C)=5/8.

注意，這里P(Bi)、P(Ci)的值是默認(rèn)的，即通常情況下，默認(rèn)拋擲硬幣試驗(yàn)滿足“等可能性”. 但是，從以上解題步驟可以看出，教師B的方法并不依賴于“等可能性”. 因?yàn)樵摐y試題被意外的安排在“古典概型”之后，學(xué)生尚未學(xué)習(xí)“獨(dú)立事件的概率乘法公式”，導(dǎo)致文[1]對教師B的解法出現(xiàn)了另外一種解讀：將P(B)、P(C)的計(jì)算改用如下的方法：考慮樣本空間Ω2={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，于是，P(B)=2/4；考慮樣本空間Ω3={(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，于是，P(C)=1/8.

注意，這里計(jì)算P(B)、P(C)并沒有用到“獨(dú)立事件的概率乘法公式”，而是用到了“古典概型”概率計(jì)算公式. 設(shè)Ω={正，反}，則Ω2=Ω×Ω=Ω2,Ω3=Ω×Ω×Ω=Ω3，即集合的笛卡爾積，這里的計(jì)算用到了三個樣本空間：Ω、Ω2、Ω3，樣本空間從“1維”上升到“2維”、“3維”，問題變得復(fù)雜，但即使采用不同的樣本空間來分別計(jì)算P(B)與P(C)，只是繁瑣，并沒有使問題變難，而本文開頭部分提到的那個錯誤解法試圖將不同“維數(shù)”的樣本點(diǎn)放在一起構(gòu)成一個樣本空間，導(dǎo)致了錯誤的出現(xiàn).

以上解法出現(xiàn)了三個不同的樣本空間，且樣本點(diǎn)的“維數(shù)”也不相同，而教科書的例題[2]與高中新課標(biāo)附錄中的“案例12”(投擲骰子問題[6])的樣本空間都是確定的，樣本點(diǎn)的“維數(shù)”是固定的. 因此，基于教材例題與新課標(biāo)案例的示范作用，教師A提出了質(zhì)疑，認(rèn)為應(yīng)該具體指出拋擲次數(shù). 但教師B的解法借助“獨(dú)立事件的概率乘法公式”與“加法原理”進(jìn)行解題，避免了出現(xiàn)不同“維數(shù)”的樣本點(diǎn)，只用到了一個最簡單的樣本空間Ω={正，反}.可見，問題是不是“難題”與解法的選擇有密切關(guān)系，僅僅借助“古典概型”去解決問題反而增加了問題的難度.

此案例表明，單純依靠“古典概型”解題不但不會使問題簡化，反而可能變得棘手，因此，解決問題應(yīng)該是多個知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，需要正確把握“古典概型”的定位.“古典概型”之所以“古典”，不僅是因?yàn)槠錃v史較為悠久(拉普拉斯于1814年最早給出了“古典概型”的定義[7])，而且是因?yàn)椤肮诺涓判汀笔歉怕收搶W(xué)科發(fā)展過程中最簡單的模型. 因此，“古典概型”是概率課程學(xué)習(xí)與研究的起點(diǎn)與基礎(chǔ)，教學(xué)中不宜過多的停留，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生往前走，去學(xué)習(xí)和掌握更便利、更現(xiàn)代的研究方法與工具.

事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)中滿足“等可能性”的隨機(jī)現(xiàn)象占比是少數(shù)，一味地嘗試回到“古典概型”去解決復(fù)雜的隨機(jī)現(xiàn)象是“概率與統(tǒng)計(jì)”教學(xué)中存在的一個誤區(qū)，并非個案，以下是筆者最近聽到的一個案例.

問題：一個酒鬼的鑰匙串上有k把看起來相同但實(shí)際上不同的鑰匙，其中只有一把可以打開他家的大門，午夜回家，他一把鑰匙、一把鑰匙的嘗試開自家的大門，如果每一次他都隨機(jī)地選擇沒有試過的一把鑰匙，那么在試到第n(1

我們知道，事件“門被打開”等價于事件“選對鑰匙”，k把鑰匙中，1把可以打開家門，k-1把不能打開家門，設(shè)Ai(i=1,…,k)表示事件“第i次取到對的鑰匙”，顯然P(A1)=1/k，然后，利用條件概率與乘法定理可以計(jì)算出P(A2)=1/k，…，P(An)=1/k，至此，問題已經(jīng)解決，但令人驚訝的是，主講人拋出第二種解法：設(shè)樣本空間Ω={A1,A2,…,Ak}，由“古典概型”可知，所求概率為P(An)=1/k. 雖然是有限個樣本點(diǎn)，但“等可能性”從何而來呢？因?yàn)榈谝环N解法已經(jīng)證明了這個問題與“無放回摸球模型”[8]實(shí)際上是同一個概率模型，旨在說明“條件概率”與“乘法定理”的重要作用，而不是歸功于“古典概型”.

高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)比之前的實(shí)驗(yàn)版增加了“有限樣本空間”的內(nèi)容，新課標(biāo)解讀指出：“古典概型”是有限樣本空間的重要特例，如果不講有限樣本空間，直接從“古典概型”說起，會對學(xué)生理解概率造成一定的影響[9]. 突出“有限樣本空間”，將“古典概型”作為其特例，新課標(biāo)給出了明確的導(dǎo)向，有利于學(xué)生對概率的理解，也有利于概率教學(xué)，特別是對“古典概型”的把握. 俄羅斯著名教科書《概率》[10]第一節(jié)“有限種結(jié)局試驗(yàn)的概率模型”，正是采用了這樣一種編寫思路.

3.3 關(guān)于高師概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)改革

在講授“馬爾可夫鏈”知識點(diǎn)時，由于文[1]案例的引入，學(xué)生產(chǎn)生了強(qiáng)烈的共鳴，是多次講授該內(nèi)容以來學(xué)生參與程度最高，理解最好的一次. 可見，大學(xué)課堂需要加強(qiáng)與高中階段的聯(lián)系，要通過各種渠道了解、研究高中數(shù)學(xué)教學(xué)情況，尋找合適的案例，合適的切入點(diǎn)，使大學(xué)教學(xué)更有活力和吸引力.

時代的發(fā)展促進(jìn)了人們對“概率統(tǒng)計(jì)”重要性的認(rèn)識，基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)課程也加強(qiáng)了“概率與統(tǒng)計(jì)”的教學(xué)，但數(shù)學(xué)師范生所學(xué)的“概率統(tǒng)計(jì)”知識有限，儲備不足，對隨機(jī)現(xiàn)象研究的復(fù)雜性認(rèn)識不夠，對“隨機(jī)變量”這個重要的研究工具領(lǐng)悟不深. 比如，我校數(shù)學(xué)專業(yè)使用的概率統(tǒng)計(jì)教材[4]含有馬爾可夫鏈的內(nèi)容，但多數(shù)同類教材并沒有介紹該內(nèi)容，需要教師適當(dāng)補(bǔ)充介紹，這也涉及到學(xué)時和任課教師本身的知識儲備問題.

高師“概率統(tǒng)計(jì)”教學(xué)應(yīng)當(dāng)做好與高中階段的銜接，為此，應(yīng)當(dāng)調(diào)整大學(xué)“概率統(tǒng)計(jì)”的教學(xué)內(nèi)容，將與高中階段重復(fù)但高中階段已經(jīng)掌握較好的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行“泛讀”，適當(dāng)減少學(xué)時避免簡單的重復(fù)；而高中階段迫切需要卻被大學(xué)階段忽略的知識點(diǎn)應(yīng)當(dāng)增加學(xué)時補(bǔ)充講授；開展大學(xué)與高中的教學(xué)交流與聯(lián)系等等.

4 結(jié)束語

一個看似“不起眼”的“小問題”，隱藏著隨機(jī)數(shù)學(xué)中的“大道理”，問題及其求解建立了高中與大學(xué)概率教學(xué)的聯(lián)系，不僅值得中學(xué)教師探究與思考，也為大學(xué)教學(xué)提供了一個難得的案例.

在高中概率教學(xué)中，教師應(yīng)在課前對概率知識的全貌及其在教材中的分布情況做好了解，精選課后測試題；正確把握“古典概型”的定位，了解“古典概型”的局限性，尋找更合適的工具與方法，既會用集合表示事件，也應(yīng)當(dāng)熟悉使用隨機(jī)變量來刻畫事件. 高師院?！案怕式y(tǒng)計(jì)”課程教學(xué)應(yīng)當(dāng)認(rèn)真研究與高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接問題，努力提升師范生“概率統(tǒng)計(jì)”知識儲備水平.