向紅軍，王金華

（湘南學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，湖南 郴州 423000）

引言

抽象代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門必修課程。全國高校代數(shù)學(xué)教師關(guān)于這門課程的教學(xué)改革研究與探索就一直沒有停止過。2014年，江蘇師范大學(xué)俞小祥老師[1]通過舉例抽取共性給出定義、重視與其他數(shù)學(xué)分支學(xué)科的聯(lián)系并例舉其應(yīng)用等方法，進行課程教學(xué)的探索與嘗試。中國礦業(yè)大學(xué)的王羨[2]等老師從自編教材、習(xí)題、課件及增加研討課環(huán)節(jié)等方面討論了抽象代數(shù)的教學(xué)方式改革。2015年，李瀏蘭[3]等人從熟知的知識入手，探討了如何上好抽象代數(shù)課程。2019年，華中師大的王璐陽[4]等人沿著李瀏蘭等老師的研究思路，探討了高等代數(shù)視域下對抽象代數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。

李少勇[5]老師提到要挑選適合學(xué)生的抽象代數(shù)教材，要針對教材制定教學(xué)大綱，并且教師應(yīng)根據(jù)選用的教材，編寫相應(yīng)的習(xí)題，必要時可成立討論小組，幫助學(xué)生理解知識，掌握知識。陶司興老師[6]主要從多媒體教學(xué)及滿足考研學(xué)生的需求等方面探討抽象代數(shù)課程的教學(xué)方法。

沈金榮[7]在借鑒文獻陶司興研究成果的基礎(chǔ)上,推薦學(xué)生講課的方式進行部分抽象代數(shù)知識的學(xué)習(xí)，并提倡加強網(wǎng)絡(luò)信息在教學(xué)中的利用。凡美金[8]等老師則從構(gòu)建和諧課堂氛圍、注重概念教學(xué)、適當(dāng)提問、換位教學(xué)等方面，總結(jié)了抽象代數(shù)的教學(xué)方法。霍承剛[9]等人強調(diào)要增強課程的應(yīng)用性，要利用Email、QQ等網(wǎng)絡(luò)手段加強師生溝通交流?；葜娟籟10]主要探討了地方院校抽象代數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和考核方式等方面的改革，強調(diào)了過程化、階段化和多樣化的考核方式。

上述文獻均提到了抽象代數(shù)這門課程的共性問題：概念多、理論性強、內(nèi)容抽象、學(xué)生難學(xué)。事實上，抽象代數(shù)課程的教學(xué)研究是一項長期的課題。不同類型、不同地域的學(xué)校要求也不盡相同。

2018年“全國教育大會”和“新時代全國高等學(xué)校本科教育工作會議”的召開，新的教育理念得到宣傳推廣，課堂教學(xué)模式不斷推陳出新。在新時代成果導(dǎo)向教育理念驅(qū)動下，如何與時俱進，博采眾長，進一步提高這門課程的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果，仍然是廣大數(shù)學(xué)教育工作者，特別是高校抽象代數(shù)課任教師去努力做的功課。

一、OBE理念

1981年，美國學(xué)者Spady提出成果導(dǎo)向教育（Outcome Based Education，OBE）[11]，引起多個國家和地區(qū)的學(xué)者廣泛關(guān)注，被認(rèn)為是追求卓越教育的有效理念，并將其融入到工程專業(yè)認(rèn)證中。OBE主要關(guān)注五個問題：想讓學(xué)生取得的學(xué)習(xí)成果是什么？為什么要取得這樣的學(xué)習(xí)成果？如何有效地幫助學(xué)生取得這些學(xué)習(xí)成果？如何知道學(xué)生取得了這些學(xué)習(xí)成果？如何保障讓學(xué)生能夠取得這些學(xué)習(xí)成果?

由此不難看出，OBE教學(xué)理念強調(diào)以學(xué)生的學(xué)習(xí)效果為導(dǎo)向，教學(xué)活動緊緊圍繞學(xué)生的學(xué)習(xí)效果與成果來組織，最后關(guān)注的是學(xué)生通過教育過程后取得的成績。2019年6月，在上海召開了“全國高校內(nèi)部質(zhì)量保障機構(gòu)聯(lián)盟”（CIQA）成立大會暨經(jīng)驗交流會上，唐春鋒等專家對OBE理念進行了解讀，并向大家展示了他們在OBE理念下所做的系列教學(xué)改革與實踐成果。

地方高校要打造省及國家“一流”本科專業(yè)，實施“卓越人才培養(yǎng)計劃”，結(jié)合OBE理念實施大學(xué)專業(yè)建設(shè)改革是一個很好的方向。而課程建設(shè)是專業(yè)建設(shè)的一個重要組成部分，在OBE新的教育理念驅(qū)動下，結(jié)合多年來的教學(xué)實際，我們在抽象代數(shù)課程進行教學(xué)改革與探索，與大家分享，以期拋磚引玉。

二、教學(xué)改革與實踐

抽象代數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）專業(yè)的主要專業(yè)課程。要以O(shè)BE理念對抽象代數(shù)課程進行教學(xué)探索，就要根據(jù)專業(yè)要求和課程特點，以培養(yǎng)學(xué)生能力為導(dǎo)向，對教學(xué)活動進行設(shè)計。

（一）重新修訂教學(xué)大綱

OBE理念要突出有效地幫助學(xué)生取得學(xué)習(xí)效果，首先需要修訂教學(xué)大綱。2018年，對我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）專業(yè)人才培養(yǎng)方案進行了重新修訂，向?qū)W生明確提出了知識要求和能力要求。其中知識要求是：理解抽象代數(shù)的基本思想；掌握抽象代數(shù)中的基本概念、性質(zhì)、定理及重要命題；學(xué)會運用抽象代數(shù)知識解決實際問題等。能力要求是：具有較強的抽象思維、邏輯思維能力，具備一定分析問題的能力，具有運用代數(shù)學(xué)知識進行初步綜合研究的能力或解決實際問題的能力。同時，培養(yǎng)學(xué)生具有認(rèn)真、細(xì)致嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽?yīng)用數(shù)學(xué)知識進行中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)教研與組織管理能力。

這些也是學(xué)生畢業(yè)需滿足的要求。根據(jù)修訂的人才培養(yǎng)方案，抽象代數(shù)課程的教學(xué)大綱也做了相應(yīng)修改，其中變化較大是課時。原來只有理論課時，無實踐課時?，F(xiàn)總課時數(shù)不變，減少理論講解，增加了實踐課時，調(diào)整為60+12模式，即60個理論課+12個課外實踐課。2019年，又做了微調(diào)，改為64個理論課+8個課內(nèi)實踐課。

（二）構(gòu)建抽象代數(shù)核心知識點體系

數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)是我校傳統(tǒng)的師范教育專業(yè)，主要為地方中小學(xué)培養(yǎng)數(shù)學(xué)教師。我們根據(jù)畢業(yè)要求，按知識目標(biāo)、能力目標(biāo)和素質(zhì)目標(biāo)等構(gòu)建核心知識點，因此教材的選擇尤顯重要。我們選用張禾瑞[12]編著的《近世代數(shù)基礎(chǔ)》（修訂版）為主講教材。

結(jié)合專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)、抽象代數(shù)知識體系的邏輯關(guān)系及教學(xué)大綱，我們選擇了牛鳳文、劉紹學(xué)等老師編著的教材為教學(xué)參考書，重組教學(xué)內(nèi)容，建立抽象代數(shù)核心知識點（見表1），充分體現(xiàn)該課程的重點、難點知識。學(xué)習(xí)第一章時，強調(diào)學(xué)生要認(rèn)真學(xué)好映射、單射、滿射、一一映射等與中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密的知識，為今后從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)打好基礎(chǔ)。第二至四章為抽象代數(shù)的重點教學(xué)內(nèi)容，許多知識點對學(xué)生的思維訓(xùn)練很有幫助，因此在講授這部分知識時，特別注重學(xué)生的思維訓(xùn)練，其中的核心知識點要求學(xué)生必須牢固掌握。因為課時限制，第五章我們根據(jù)教學(xué)進度作為選學(xué)內(nèi)容，通常只能夠講完代數(shù)擴域。

表1 抽象代數(shù)核心知識點

（三）教學(xué)組織與實施

1.教學(xué)條件與保障

我校目前抽象代數(shù)教學(xué)團隊2人，其中主要任課教師具有教授職稱，另一人為講師，博士學(xué)歷。任課教師均為學(xué)校“雙師型”教師，自制了PPT課件、電子教案、教學(xué)大綱、考核大綱、講義、補充習(xí)題等，另外參考并下載了優(yōu)秀網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源。教學(xué)資源建設(shè)比較完備，并能經(jīng)常保持更新。多媒體教室設(shè)備運行良好。這些為教學(xué)實施提供了有效條件保障。

2.教學(xué)設(shè)計

（1）利用QQ、微信群等網(wǎng)絡(luò)平臺進行課前預(yù)習(xí)

地方院校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍較差,且該課程確實有一定難度，因此很難在90分鐘的課堂上對每次要講的知識點做到融會貫通。充分利用信息化資源，精心設(shè)計課前預(yù)習(xí)內(nèi)容可彌補上述不足。我們把每節(jié)課的重點、難點、疑點及以往考點等相關(guān)內(nèi)容，做成電子文檔于課前1-2天在班級QQ群或微信群發(fā)送，讓學(xué)生預(yù)習(xí)。對于章節(jié)重點內(nèi)容，則精心準(zhǔn)備PPT課件或微課，讓學(xué)生課前自學(xué)。據(jù)我們調(diào)查，大部分學(xué)生會課前預(yù)習(xí)教師布置的內(nèi)容。經(jīng)過這樣操作之后的課堂教學(xué)效果，比傳統(tǒng)教學(xué)效果要好很多。

（2）理論與實踐相結(jié)合的課堂教學(xué)

OBE教學(xué)理念強調(diào)研究型教學(xué)模式，有意識引導(dǎo)學(xué)生思考與主動探索問題。抽象代數(shù)課堂教學(xué)內(nèi)容包括主要定義的釋疑、重要定理的證明與應(yīng)用、典型方法的講解與運用等，因此我們主要采用探究式、啟發(fā)式和互動式教學(xué)方法，同時注重理論教學(xué)與實踐教學(xué)的有效運用。根據(jù)內(nèi)容，有時我們會作適當(dāng)調(diào)整。

例如張禾瑞《近世代數(shù)基礎(chǔ)》的第二章第9節(jié)有這樣一個習(xí)題：設(shè)a和b是一個群G的兩個元，并且ab=ba。假定a的階是m，b的階是n，并且(m，n)=1，證明ab的階是mn。我們在講授置換群內(nèi)容時，強調(diào)學(xué)生掌握Sn中每個元的逆元及階的求法，此時n具體化，如取6、8等。因此，將這個習(xí)題提前作為補充的定理向?qū)W生講解。然后提出問題：在6次對稱群S6中，置換(24)(136)的階是多少？置換(15234)(236)的階又是多少？前者學(xué)生可直接利用補充定理得到正確答案，而后者需要引導(dǎo)學(xué)生進行探究活動。通過啟發(fā)與互動，引導(dǎo)學(xué)生在定理的條件下，當(dāng)(m，n)=d時，得到ab的階是mn/d。這作為定理的推論，學(xué)生們能認(rèn)真思考，積極回答，課堂氣氛比較活躍。最后學(xué)生們的知識獲得感溢于言表，課堂效果十分明顯。

（3）注重已有知識到新知識的過渡教學(xué)

“抽象代數(shù)”課程概念多，而且抽象難懂，比如等價關(guān)系與集合的分類、零因子、整環(huán)、除環(huán)（域）等概念。作為數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程“高等代數(shù)”為“抽象代數(shù)”的學(xué)習(xí)提供了很好的支撐，教學(xué)相關(guān)內(nèi)容時可以從已有知識入手，多舉實例，讓學(xué)生充分理解新知識。

又如講等價關(guān)系與集合的分類時，先以同余關(guān)系（模n的剩余類）為例進行了講解，但仍有部分學(xué)生對分成多少個等價類弄不明白，我們可以選擇高等代數(shù)中n的階矩陣的“等價關(guān)系”與n的階復(fù)對稱矩陣的“合同關(guān)系”為例作為補充，加深學(xué)生對這一知識的理解與掌握。

（4）“以學(xué)生為中心”的開放式教學(xué)

這些問題用于課內(nèi)教學(xué)實踐探索，先布置給學(xué)生去思考，分組讓學(xué)生討論。然后選擇學(xué)生上臺講解，教師點評。這種把教學(xué)活動組織成師生共同的開放式討論的教學(xué)模式，對師范生的能力培養(yǎng)很有幫助。

（5）知識拓展，補充練習(xí)

張禾瑞《近世代數(shù)基礎(chǔ)》的特點是內(nèi)容精簡，比較“單薄”，且例題習(xí)題量不大，不利于地方本科學(xué)生對知識的理解掌握。為更好地幫助學(xué)生厘清思路、掌握方法，在講完基本理論知識后，作為拓展，每章都精選了幾十道例題或習(xí)題。它們有利于學(xué)生深入理解概念、定理、性質(zhì)等內(nèi)容，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

如設(shè)是模8的剩余類加群，H={[1],[3],[5],[7]}是G的子集，則H關(guān)于下列哪個運算作成群？A.加法 +：[a]+[b]=[a+b]；B.減法 -:[a]-[b]=[a-b]；C.乘法 *:[a]*[b]=[ab]；D.除法 /:[a]/[b]=[a/b]。此題是對群的知識的拓展，也為后來講環(huán)的知識埋下伏筆。

又如講最大理想，除了教材上的習(xí)題，我們補充了“設(shè)Z[x]為環(huán)上的多項式環(huán)，則Z當(dāng)為整數(shù)環(huán)時，(x)不是最大理想，而當(dāng)Z為有理數(shù)域時，Z[x]的主理想(x)是最大理想”“整數(shù)環(huán)Z上的多項式環(huán)Z[x]中，(2，x)是 Z[x]的最大理想”等問題。另外每一章講完后，對本章的主要知識點，經(jīng)過精心設(shè)計，以客觀題型形式設(shè)計成試卷發(fā)給學(xué)生，作為補充練習(xí)，加深學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握。

3.課程考核

根據(jù)學(xué)習(xí)成果對學(xué)生進行評價，既要體現(xiàn)教學(xué)設(shè)計，又要有教學(xué)評價，這些都是在抽象代數(shù)課程改革中實施OBE理念的關(guān)鍵。為此我們改變單一考試模式，注重過程學(xué)習(xí)與考核。除了通常的上課考勤、作業(yè)檢查、聽課筆記考核外，增加了課內(nèi)課外實踐考核，對上課積極正確回答問題、課后討論并提交問題答卷或小論文，都有明確的要求，并給出學(xué)生成績，按比例記入最后的課程綜合得分。

從近三屆學(xué)生抽象代數(shù)課程考試成績對比分析，實施OBE課改后的卷面成績分布合理，符合正態(tài)分布，比課改前的平均分?jǐn)?shù)要高15分以上。為后續(xù)課程打下良好基礎(chǔ)，后續(xù)課程反映較好。

4.教學(xué)效果評價

教師每次都提前幾分鐘至十幾分鐘進教室，充分利用這個時間段接觸學(xué)生，了解他們的學(xué)習(xí)情況。平時也與學(xué)生加強溝通交流，與他們交朋友。正式上課前，要求學(xué)生將手機關(guān)機并上交放在統(tǒng)一制作的手機袋中。

通過以上種種教學(xué)設(shè)計及對課堂教學(xué)的關(guān)注、對學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)心與指導(dǎo)，學(xué)生們的聽課狀態(tài)好，課堂氣氛相對活躍。同時課后通過網(wǎng)絡(luò)與學(xué)生進行經(jīng)常性互動交流，要求他們溫故知新、舉一反三，觸類旁通，積極組織學(xué)生開展課外研究性學(xué)習(xí)或?qū)嵺`創(chuàng)新活動。學(xué)生參與踴躍，學(xué)生的學(xué)習(xí)更加自覺。通過調(diào)查，課程安排、內(nèi)容選擇與知識講授等能滿足學(xué)生的實際需要，且在教學(xué)中確實發(fā)揮了良好作用，學(xué)生滿意度高，教學(xué)質(zhì)量不斷提升。

據(jù)調(diào)查，大二第一個學(xué)期數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生從事數(shù)學(xué)家教的不多，主要原因是因為中學(xué)階段的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不太好，還不太敢接受家教任務(wù)。教師經(jīng)常鼓勵學(xué)生勇敢地去做家教，特別是今后致力于中小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作的同學(xué)，這是很好的鍛煉，可以培養(yǎng)實踐教學(xué)能力。一個學(xué)期后，不少同學(xué)反映：通過這門課程的學(xué)習(xí)，他們的思路開闊了，數(shù)學(xué)思維得到科學(xué)系統(tǒng)地訓(xùn)練。他們能利用近世代數(shù)思維方法，在實際工作或其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中，進行靈活自如地應(yīng)用。有不少的同學(xué)在剛進入大三，就報名參加全國數(shù)學(xué)建模競賽與數(shù)學(xué)競賽，并能獲得較好成績。

結(jié)語

OBE理念是對過去教育理念的改革創(chuàng)新。在抽象代數(shù)課程中運用OBE理念，就是要以學(xué)生為中心，遵循學(xué)生的主體地位，對課程教學(xué)環(huán)節(jié)進行認(rèn)真設(shè)計，對純理論的課堂教學(xué)增加課內(nèi)課外實踐教學(xué)環(huán)節(jié)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)與探究代數(shù)知識的興趣，提升學(xué)生掌握知識的牢固程度，培養(yǎng)學(xué)生的知識運用能力。最終目標(biāo)是使教學(xué)質(zhì)量得到大幅度提高，學(xué)生得到很好的發(fā)展。