何英

【摘? ?要】教材的縱向比較研究主要是從歷史的視角，對不同時期的教材進(jìn)行分析、對比研究。一方面可以對所研究的內(nèi)容有更為全面和深入的理解和掌握;另一方面可以通過分析、對比“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”這一內(nèi)容的編寫異同，了解小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的歷史，感悟歷史前進(jìn)的足跡。

【關(guān)鍵詞】質(zhì)數(shù);合數(shù);不同時期;教材比較

教材縱向比較研究主要是比較不同歷史時期教材的異同。本文主要對人教版1989年和2014年教材中“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”的教材引入、概念呈現(xiàn)、概念鞏固、分解質(zhì)因數(shù)與習(xí)題類型等內(nèi)容進(jìn)行分析對比研究。

一、教材的引入部分是怎樣編寫的？

教材的引入直接體現(xiàn)了編者對數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的認(rèn)識。以下是對兩個不同時期教材關(guān)于質(zhì)數(shù)與合數(shù)的引入的研究過程。

1989年版教材直接給出5個數(shù)，寫出每個數(shù)的約數(shù)，并按約數(shù)的個數(shù)分類（如圖1）。

2014年版教材要求找出1～20各數(shù)的因數(shù)，根據(jù)因數(shù)個數(shù)找規(guī)律并分類（如圖2）。

從以上的教材引入過程，可以得出它們的共同特點：教材都是從寫數(shù)的因數(shù)引入，按照因數(shù)的個數(shù)去分類，注重對學(xué)生分類思想的培養(yǎng)。而它們的不同點主要有以下這些。

（一）數(shù)的個數(shù)：由少到多

1989年版教材中先給出了問題：寫出下面每一個數(shù)的約數(shù)。按照每一個數(shù)約數(shù)的多少，可以分哪幾種情況？并給出了1，5，9，11和12這5個數(shù)，根據(jù)這5個數(shù)的因數(shù)個數(shù)進(jìn)行分類。而2014年版教材引入部分的研究對象是從1～20這些數(shù)中找出因數(shù)，再根據(jù)它們的因數(shù)個數(shù)不同進(jìn)行分類。

從5個數(shù)到20個數(shù)，量有了很大的變化，說明學(xué)生要寫數(shù)的個數(shù)，客觀思考的量上大了很多。在考察個別數(shù)的特殊例子中的因數(shù)個數(shù)的多少后，逐步地歸納出這樣一類：只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)，我們叫質(zhì)數(shù)。這是一個歸納的過程，它是一個從特殊到一般的過程。特殊的例子多一點，當(dāng)然就有利于歸納出一般的結(jié)論。比較兩版教材數(shù)的個數(shù)增多，更有利于學(xué)生尋找規(guī)律，進(jìn)行歸納和分類。

（二）問題提出：從封閉到開放

1989年版教材中的問題是：可以分哪幾種情況？明顯暗示了學(xué)生要進(jìn)行分類。而2014年版教材中的問題是：看看它們的因數(shù)的個數(shù)有什么規(guī)律？相比較1989年版教材開放度更高了，更適合不同層次的學(xué)生。規(guī)律的尋找可以通過分類，也可以是按照某一個規(guī)律。筆者把20個數(shù)的因數(shù)及因數(shù)的個數(shù)羅列成下表（如表1）。

學(xué)生可能會提出：每一個數(shù)的最小的因數(shù)都是1;每一個數(shù)的最大的因數(shù)都是它本身;有些數(shù)的因數(shù)個數(shù)是奇數(shù)（平方數(shù)的因數(shù)個數(shù)是奇數(shù)）;有些數(shù)的因數(shù)個數(shù)是偶數(shù)（非平方數(shù)的因數(shù)個數(shù)是偶數(shù)）……這些都可以是學(xué)生所找到的規(guī)律。在這個表格中學(xué)生還可以有很多自己的猜測：1只有1個因數(shù)，最為特殊，單獨分為一類;有2個因數(shù)的數(shù)最多，所以也單獨分為一類;其他的分為一類……由此可見，兩個不同時期的教材在問題的提出上，從封閉到開放的過渡，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

（三）結(jié)果呈現(xiàn)：從直接到間接

1989年版教材在提出問題后，緊接著對問題進(jìn)行了直接回答。教材中呈現(xiàn)了每一個數(shù)的約數(shù)。這是對問題中的第一問“寫出每一個數(shù)的約數(shù)”作出的回答;之后將五個數(shù)進(jìn)行了分類。這是對問題中的第二問“按照每一個數(shù)約數(shù)的多少，可以分哪幾情況”作出了直接回答。教材中每個數(shù)的因數(shù)和分類結(jié)果都是直接呈現(xiàn)的。

2014年版教材中是通過同伴之間對話的形式呈現(xiàn)結(jié)果的，而不是教材直接給出的。這是一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動。這表明：教學(xué)過程中，教師不應(yīng)直接將結(jié)果告訴學(xué)生，而應(yīng)該讓學(xué)生自己去學(xué)習(xí)，并且通過小組相互交流填寫表格的方式間接得出結(jié)果。

從1989年版教材直接給出結(jié)果，到2014年版教材讓學(xué)生通過交流、填寫表格間接得到結(jié)果，顯然后者更有利于學(xué)生活動的開展。

（四）學(xué)習(xí)方式：強調(diào)交流

比較兩個不同時期教材中學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，1989年版教材中都是以提問和解答的形式呈現(xiàn)，不強調(diào)學(xué)生的交流。而2014年版教材注重對學(xué)生合作交流能力的培養(yǎng)，明顯強調(diào)學(xué)生的交流。

對比不同時期的教材，無論是從數(shù)的個數(shù)、問題提出、結(jié)果呈現(xiàn)還是學(xué)習(xí)方式上看，都表明現(xiàn)在的教材對學(xué)生學(xué)習(xí)的整體要求在不斷提高，更有利于培養(yǎng)新世紀(jì)人才。

二、概念的呈現(xiàn)是怎樣編寫的？

1989年版教材和2014年版教材都是直接呈現(xiàn)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念（如圖3、圖4）。

不同時期的教材沒有太大變化，呈現(xiàn)的方式基本一致，都明確呈現(xiàn)了質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念，并對質(zhì)數(shù)與合數(shù)分別進(jìn)行了舉例。

1989年版教材中對質(zhì)數(shù)與合數(shù)的舉例，選用了前面分類過的數(shù)。質(zhì)數(shù)與合數(shù)各有兩個，還有一個是特殊的1。2014年版教材中不僅選用了教材分類的20個數(shù)，還用了這20個以外的數(shù)進(jìn)行舉例，合數(shù)中舉例了49，說明教材要求學(xué)生具有一定的遷移能力。這不僅是對定義的理解，更是對定義的應(yīng)用與強化。同時兩個不同時期的教材都強調(diào)了“1”的特殊性，進(jìn)一步加深了學(xué)生對某些特殊數(shù)的認(rèn)識。

三、概念的鞏固環(huán)節(jié)是怎樣編寫的？

1989年版教材中通過例2判斷6個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，并給出100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)（25個），提供學(xué)生查閱（如圖5）。

2014年版教材中學(xué)生根據(jù)合作探究和解決方法的提示語，通過篩選探究尋找出百以內(nèi)的質(zhì)數(shù)（如圖6）。

1989年版教材中編排了一題根據(jù)概念判斷數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)的練習(xí)。2014年版教材中沒有編排任何判斷的練習(xí)。

1989年版教材中100以內(nèi)的25個質(zhì)數(shù)是直接呈現(xiàn)的，并注明：要知道一個數(shù)是不是質(zhì)數(shù)，也可以查質(zhì)數(shù)表。直接把百以內(nèi)質(zhì)數(shù)表作為一種工具呈現(xiàn)給學(xué)生。2014年版教材中出示了1～100所有的數(shù)，要求學(xué)生找出100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，做一個質(zhì)數(shù)表。在制作質(zhì)數(shù)表的過程中方法可以是多樣的，學(xué)生可以根據(jù)概念一個一個數(shù)去找，也可以利用教材下面給出的方法：思考、討論2的倍數(shù)，3的倍數(shù)（除2和3外），畫去這些合數(shù)，并拋出問題：畫到幾的倍數(shù)就可以了？讓學(xué)生運用多樣的方法，這是對學(xué)生學(xué)習(xí)個性的尊重和差異的尊重，因為每個學(xué)生都能從中感受到成功的喜悅。又因為差異較大，所以更能促進(jìn)學(xué)生之間的相互交流。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。五年級的學(xué)生已具備一定的觀察、分析和理解能力，也掌握了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。同時他們對學(xué)習(xí)充滿了熱情和好奇心，迫切地希望通過自主探究，了解掌握學(xué)習(xí)的內(nèi)容。因此，選擇探究性的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生動手操作、思考、探究的能力。

四、分解質(zhì)因數(shù)是怎樣編寫的？

1989年版教材中根據(jù)課題“質(zhì)數(shù)和合數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)”，在例1和例2的質(zhì)數(shù)與合數(shù)的內(nèi)容后，安排了例3和例4的分解質(zhì)因數(shù)。

例3：判斷合數(shù)，并寫出合數(shù)是由哪幾個質(zhì)數(shù)相乘得到的。把合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)的乘積，同時出示了質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)的概念（如圖7）。

例4：用短除法的形式把3個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，并用文字描述的形式介紹用短除法分解質(zhì)因數(shù)的方法（如圖8）。

2014年版教材中在質(zhì)數(shù)與合數(shù)知識后，編排的第二部分內(nèi)容是奇數(shù)與偶數(shù)的運算性質(zhì)。

兩個不同時期的教材對于質(zhì)數(shù)與合數(shù)后續(xù)知識的編排各不相同。1989年版教材編排了“分解質(zhì)因數(shù)”的內(nèi)容，分解質(zhì)因數(shù)是一種重要的方法技能。1989年版教材以例3和例4兩個例題呈現(xiàn)。而2014年版教材編排了“奇數(shù)與偶數(shù)的運算性質(zhì)”。分解質(zhì)因數(shù)是建立在質(zhì)數(shù)與合數(shù)的基礎(chǔ)之上的，質(zhì)數(shù)與合數(shù)概念本身不同于奇數(shù)與偶數(shù)的特征那么明顯，相對隱性不易于學(xué)生理解與感受，學(xué)生容易把這四者之間的關(guān)系混淆起來。兩種不同的編排都有各自的益處。

筆者翻閱了2014年版全冊教材，發(fā)現(xiàn)“分解質(zhì)因數(shù)”這一內(nèi)容在教材第69頁上也有呈現(xiàn)，但它是以“你知道嗎”這一形式補充呈現(xiàn)的（如圖9）。書本上的“你知道嗎”這一欄目中的內(nèi)容一般分為兩類：一類是教材內(nèi)容的延伸，一類是與教材內(nèi)容相關(guān)的小知識介紹。學(xué)生只需要了解即可。

由此可以看出，“分解質(zhì)因數(shù)”的地位在慢慢地下降。教學(xué)內(nèi)容的編排取決于課程標(biāo)準(zhǔn)。于是筆者查閱了不同時期的課程標(biāo)準(zhǔn)，對于“分解質(zhì)因數(shù)”的要求也是不同的。

1988年版課標(biāo)（大綱）的教學(xué)要求是：掌握整除、約數(shù)和倍數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)等概念，了解它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，掌握能被2，5，3整除的數(shù)的特征。會分解質(zhì)因數(shù)（不超過兩位數(shù)）。會求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。

2011年版課標(biāo)的具體目標(biāo)是：在1～100的自然數(shù)中，能找出10以內(nèi)某個自然數(shù)的所有倍數(shù)，并知道2，5，3的倍數(shù)的特征，能找出10以內(nèi)兩個自然數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。在1～100的自然數(shù)中，能找到某個自然數(shù)的所有因數(shù)，能找出兩個自然數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)。知道整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)。

可見，不同時期課程標(biāo)準(zhǔn)的要求不一樣。1988年版課標(biāo)（大綱）要求學(xué)生會分解質(zhì)因數(shù)（不超過兩位數(shù)），而2011年版課標(biāo)中已經(jīng)不提及“分解質(zhì)因數(shù)”這個知識的任何目標(biāo)要求了。

“分解質(zhì)因數(shù)”的作用之一是運用異分母分?jǐn)?shù)加減法：要通分，找最小公倍數(shù)。找最小公倍數(shù)用“分解質(zhì)因數(shù)”是比較方便的。但前提是數(shù)據(jù)要相對較大，如果規(guī)定分母原則上不超過兩位數(shù)（不大于10），那么“分解質(zhì)因數(shù)”的作用自然就下降了。所以2014年版教材將“分解質(zhì)因數(shù)”這個內(nèi)容作為“你知道嗎”來編排也就可以理解了。

五、練習(xí)類型是怎樣編寫的？

練習(xí)題的安排體現(xiàn)了教材編者對于知識訓(xùn)練的要求，練習(xí)題的難易程度反映了教材編者對教學(xué)的要求。筆者把不同時期的教材練習(xí)題分成兩類：第一類是兩種教材都有的練習(xí)題類型，第二類是一種教材獨有的練習(xí)題類型。

（一）兩種教材都有的練習(xí)題類型

1.根據(jù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念，判斷數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。

2.聯(lián)系奇數(shù)、偶數(shù)，判斷它們和質(zhì)數(shù)與合數(shù)是否相同。

3.把給定的數(shù)填入到相應(yīng)的質(zhì)數(shù)與合數(shù)的圈中。

以上幾種類型的練習(xí)題，無論呈現(xiàn)形式是填空還是判斷，基本一致?？梢钥闯雠袛嘁粋€數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)這是最基本的知識內(nèi)容;奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)的練習(xí)編排，說明在學(xué)生新學(xué)兩個概念后，需要和已有概念進(jìn)行對比區(qū)分。

（二）一種教材獨有的練習(xí)題類型

1989年版教材中編排了用篩選法找質(zhì)數(shù)的練習(xí)題（如圖10）。

1989年版教材把用篩選法找質(zhì)數(shù)的內(nèi)容編排在練習(xí)題中，而2014年版教材是編排在新授課中的?？梢婋m然不同時期的教學(xué)要求與教學(xué)觀念有著較大的差異，但對于學(xué)生動手操作能力、思考探究能力的培養(yǎng)同樣重視。

2014年版教材中編排了兩道通過對話交流的形式來鞏固所學(xué)的練習(xí)（如圖11、圖12）。

教材在編排練習(xí)時，通過同伴間的對話交流形式，借助學(xué)生的已有知識和新學(xué)知識進(jìn)行溝通探索，同時鞏固所學(xué)。這樣的編排引導(dǎo)學(xué)生綜合應(yīng)用知識來解決數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。

通過以上對兩個不同時期教材的比較研究可見，教材的編寫有著它自身的時代氣息。1989年版教材內(nèi)容全面，知識性強，層次清晰，教學(xué)脈絡(luò)一目了然。2014年版教材內(nèi)容用圖片、文字、表格等多種形式呈現(xiàn)，重視題型的開放性和探究性，注重對學(xué)生探究性和思想方法的引導(dǎo)。教材內(nèi)容的編排對學(xué)生的綜合素養(yǎng)要求越來越高。

（本文在研究過程中，得到了朱樂平老師的多次悉心指導(dǎo)，在此，表示衷心感謝?。?/p>

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（浙江省杭州市崇文實驗學(xué)校? ?310014）