閆 政

(晉中學(xué)院機械學(xué)院， 山西晉中 030600)

引言

閥控液壓馬達作為一種典型的液壓控制系統(tǒng)，廣泛被應(yīng)用于礦山、建筑及工程機械等領(lǐng)域[1]。根據(jù)被控物理量的不同，閥控液壓馬達可以分為閥控馬達角位移控制系統(tǒng)和角速度控制系統(tǒng)。然而， 現(xiàn)有針對閥控液壓馬達系統(tǒng)的控制方法多是基于PID控制器實現(xiàn)對馬達輸出軸轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)速的控制，雖然這種方法具有簡單易實現(xiàn)的優(yōu)點，但就設(shè)計而言，不具有任意性，且PID參數(shù)整定過程需要很強的經(jīng)驗性[2]。為此，對閥控液壓馬達控制器設(shè)計方法進行改進，對改善系統(tǒng)控制特性具有重要意義。

針對閥控液壓馬達系統(tǒng)的控制特性，李軍等[3]建立了閥控液壓馬達角位移控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并通過仿真驗證了所建立模型的正確性；DASGUPTA K等[4]基于鍵合圖仿真技術(shù)構(gòu)建了伺服閥控液壓馬達系統(tǒng)的仿真模型，并對伺服閥PI控制器參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響進行仿真分析；JIANG等[5]提出一種基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制的閥控馬達角速度智能控制方法，并利用MATLAB軟件進行仿真分析，研究結(jié)果表明，所提出的智能控制方法能夠提高閥控馬達系統(tǒng)的自適應(yīng)能力與魯棒性；王存堂等[6]以提高葉片馬達速度控制精度為目的，結(jié)合理論模型建立了高速開關(guān)閥控葉片馬達的數(shù)學(xué)模型，并基于 PID 控制算法對該系統(tǒng)進行仿真分析，證明了PID控制器對該系統(tǒng)具有良好的轉(zhuǎn)速控制效果；楊前明等[7]以某閥控雙馬達角速度控制系統(tǒng)為對象，將PID控制器應(yīng)用到基于PLC的速度同步控制方案中，通過仿真研究證明了PID控制器能夠提高系統(tǒng)的同步控制性能；楊國來等[8]建立了閥控液壓馬達速度控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并基于MATLAB/Simulink軟件對系統(tǒng)進行仿真分析，研究結(jié)果表明：PID控制器能夠改善系統(tǒng)的抗負載性；雷曉順等[9]針對閥控馬達速度系統(tǒng)采用PID控制器時易受負載干擾的缺陷，提出采用模糊PID控制算法，通過計算機仿真和試驗研究表明，采用模糊PID控制器，可以改善閥控液壓馬達恒轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的抗負載性能。畢世書等[10]針對閥控液壓馬達速度控制系統(tǒng)中采用PID控制器存在的參數(shù)整定復(fù)雜且魯棒性較低的問題，提出采用遺傳算法對系統(tǒng)PID控制參數(shù)進行優(yōu)化，通過仿真實驗證明了該方法能夠提高系統(tǒng)的魯棒性及動態(tài)特性。晉民杰等[11]以某型液壓起重機為研究對象，建立了基于PID控制器的閥控液壓馬達系統(tǒng)的閉環(huán)控制系統(tǒng)， 并對PID參數(shù)進行非線性優(yōu)化，改善了系統(tǒng)的控制特性；KUMAR S等[12]針對比例閥控液壓馬達特性進行了仿真與試驗研究，結(jié)果表明：采用閉環(huán)控制可以降低系統(tǒng)對負載變化的敏感度，且閉環(huán)反饋增益系數(shù)會對系統(tǒng)穩(wěn)定性與能效產(chǎn)生影響。

綜合分析上述研究可知，現(xiàn)有針對閥控液壓馬達控制特性的研究多是基于PID控制算法，其在控制器設(shè)計時需要在參數(shù)整定方面具有很強的經(jīng)驗性。另一方面，PID控制方法屬于經(jīng)典控制范疇，其設(shè)計過程不具有任意性。此外，現(xiàn)有研究多是針對閥控液壓馬達速度控制系統(tǒng)的控制特性進行研究，而對閥控液壓馬達位置控制系統(tǒng)的研究較少。

針對上述問題，本研究采用極點配置法對閥控液壓馬達角位移控制系統(tǒng)進行設(shè)計，并對基于PID閉環(huán)控制、極點配置法及含有狀態(tài)觀測器的極點配置法的閥控液壓馬達角位移控制系統(tǒng)特性進行對比研究。簡要介紹閥控液壓馬達系統(tǒng)工作原理；分別建立閥控液壓馬達角位移控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、方框圖以及狀態(tài)空間表達式，并對該系統(tǒng)的時-頻域特性與能控-能觀測性進行分析；在此基礎(chǔ)上，分別基于3種控制方法對閥控液壓馬達角位移控制系統(tǒng)進行設(shè)計，并利用MATLAB/Simulink軟件對系統(tǒng)階躍響應(yīng)進行了仿真分析，以對比各控制方法在閥控液壓馬達系統(tǒng)中的應(yīng)用效果以及狀態(tài)觀測器極點位置對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，為改善閥控液壓馬達系統(tǒng)的動態(tài)特性提供理論依據(jù)。

1 閥控液壓馬達工作原理

閥控液壓馬達是一種典型的開式液壓系統(tǒng)，主要包括動力元件(液壓泵)、控制元件(三位四通閥)、執(zhí)行元件(液壓馬達)以及外部負載，其原理圖如圖1所示。通過控制三位四通閥的位置以及開度實現(xiàn)對液壓馬達輸出軸角速度和角位移的控制。

圖1 閥控液壓馬達系統(tǒng)原理圖

2 閥控液壓馬達數(shù)學(xué)模型

2.1 傳遞函數(shù)及方框圖

為了建立閥控馬達角位移控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和方框圖。首先，在假定三位四通閥為零開口四邊滑閥，液壓泵出口壓力恒定不變，油箱壓力為0的基礎(chǔ)上，設(shè)系統(tǒng)的負載流量為QL，流量增益系數(shù)為Kq，滑閥閥芯位移為Xv，流量-壓力增益系數(shù)為Kc，負載壓力pL，則滑閥的線性化流量基本方程為：

QL=KqXv-KcpL

(1)

其次，在忽略三位四通閥與馬達之間管路的壓力損失及動態(tài)特性的前提下，設(shè)馬達排量和輸出軸旋轉(zhuǎn)角度分別為Dm和θm,馬達兩邊腔室及管路的等效總體積和泄漏系數(shù)分別為Vt和Ctm，馬達的輸出軸及外部負載的等效轉(zhuǎn)動慣量為Jt, 黏性阻尼系數(shù)為Bm，外部負載扭矩及彈簧剛度分別為TL和G，建立液壓馬達的流量連續(xù)性方程與外負載平衡方程如式(2)和式(3)所示：

(2)

pLDm=Jts2θm-Bmsθm+Gθm+TL

(3)

根據(jù)上述式(1)～式(3)所示的閥控馬達基本方程，繪制閥控馬達角位移控制系統(tǒng)方框圖如圖2所示，圖中，輸入信號為液壓閥芯位移，輸出量為液壓馬達輸出軸的旋轉(zhuǎn)角度。同時，聯(lián)立上述基本方程，消去相應(yīng)的中間變量，便可以得到馬達輸出軸轉(zhuǎn)角公式如式(4)所示：

(4)

圖2 液壓閥控馬達系統(tǒng)方框圖

閥控液壓馬達系統(tǒng)的外部負載多為慣性負載[13]，即外負載扭轉(zhuǎn)彈簧剛度G一般為0，且馬達與負載之間的黏性阻尼系統(tǒng)極小(忽略不計)。 因此，將式(4)進行化簡，可以得到閥控液壓馬達角位移控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

(5)

2.2 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式

(6)

3 閥控液壓馬達系統(tǒng)特性分析

以某閥控液壓馬達系統(tǒng)為研究對象，對系統(tǒng)時域、頻域特性、能控及能觀性進行分析，為后文閉環(huán)控制系統(tǒng)設(shè)計奠定基礎(chǔ)。所述閥控馬達系統(tǒng)中的滑閥流量增益和流量-壓力系數(shù)分別為1.5×10-16m3·s-1·Pa-1和4 m2·s-1，馬達輸出軸所連接外部慣性負載及其輸出軸的等效轉(zhuǎn)動慣量為0.2 kg·m2，馬達主要參數(shù)如表1所示。

根據(jù)推導(dǎo)過程，代入具體參數(shù)，得到該閥控馬達角位移控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如式(7)所示：

(7)

需要注意的是，這里得出的傳遞函數(shù)是指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)。圖3為利用MATLAB軟件繪制的系統(tǒng)極點分布位置示意圖，由圖可知，該系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的3個極點分別為0和-11±39.5i，存在零極點，故該系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)。

圖3 極點分布位置示意圖

3.1 時域分析

圖4和圖5為閥控液壓馬達角位移控制系統(tǒng)的開環(huán)單位階躍響應(yīng)曲線和單位脈沖響應(yīng)曲線，由圖4可知，該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線隨時間的推移呈現(xiàn)出無限上升的趨勢，這是因為當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為單位階躍信號時，根據(jù)Laplase變換的終值定理，可得其穩(wěn)態(tài)輸出值為：

(8)

圖4 單位階躍響應(yīng)曲線

圖5 單位脈沖響應(yīng)曲線

由圖5可知，該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線隨時間的推移呈欠阻尼震蕩并最終到達恒定值，究其原因，是因為當(dāng)輸入信號為單位脈沖信號時，根據(jù)Laplase變換的終值定理，其穩(wěn)態(tài)輸出值為：

=6.67×105

(9)

3.2 頻域分析

圖6和圖7為該系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特圖和伯德圖，由圖6可知，系統(tǒng)開環(huán)奈奎斯特圖曲線按照逆時針方向包圍(-1，j0)點2圈，而系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在[s]右半平面沒有極點，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)，可以判定該閥控液壓馬達角位移控制系統(tǒng)是閉環(huán)不穩(wěn)定，開環(huán)穩(wěn)定的。另外，由圖7可知，系統(tǒng)的幅值裕度Kg和相位裕度γ均為負值，同樣印證了系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定的結(jié)論。

圖6 奈奎斯特圖

圖7 伯德圖

3.3 能控能觀性分析

系統(tǒng)的能控性與能觀性是實現(xiàn)狀態(tài)反饋控制的基礎(chǔ)，因此，需要結(jié)合閥控馬達系統(tǒng)的具體參數(shù)，對該系統(tǒng)的能控性與能觀性進行分析，該系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程為：

圖8 PID控制閉環(huán)仿真模型圖

(10)

(11)

(12)

由上述公式可知，該系統(tǒng)的能控性矩陣與能觀測性矩陣均滿秩，故該系統(tǒng)完全能控且能觀測，這為進行狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)設(shè)計奠定了基礎(chǔ)。

4 閉環(huán)控制系統(tǒng)設(shè)計及對比分析

假設(shè)該閥控液壓馬達角位移控制系統(tǒng)的控制要求為：閥芯移動0.01 m，液壓馬達的輸出軸角位移在0.5 s內(nèi)達到62.8 rad(20圈)，超調(diào)量Mp小于5%，超調(diào)時間tp小于0.3 s，系統(tǒng)頻寬ωb小于50 rad/s，穩(wěn)態(tài)誤差ep為0，分別采用PID、極點配置法和含有狀態(tài)觀測器的極點配置法設(shè)計閉環(huán)控制系統(tǒng)，并利用MATLAB/Simulink對3種方法的控制特性進行仿真分析與對比。

4.1 基于PID控制器的閉環(huán)控制系統(tǒng)設(shè)計

基于PID控制器的閥控液壓馬達角位移控制系統(tǒng)的基本原理為：輸入量與反饋量(輸出值)進行比較構(gòu)成系統(tǒng)偏差，并通過PID控制器對系統(tǒng)的偏差進行調(diào)節(jié)，以使系統(tǒng)的輸出盡量接近期望值，在系統(tǒng)設(shè)計過程中，如何設(shè)置合理的PID調(diào)節(jié)參數(shù)(即比例、積分、微分系數(shù))是影響系統(tǒng)控制性能的關(guān)鍵[14]。圖 8為基于PID控制器的閥控液壓馬達角位移閉環(huán)控制系統(tǒng)Simulink仿真模型。

4.2 基于極點配置法的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)設(shè)計

基于PID控制器的閉環(huán)系統(tǒng)設(shè)計屬于經(jīng)典控制理論范疇，無法實現(xiàn)對閉環(huán)系統(tǒng)極點的任意配置，只有采取引入附加校正網(wǎng)絡(luò)，通過增加開環(huán)零極點的方法以變更軌跡走向，從而使系統(tǒng)極點落在指定的期望位置上，這樣增加了控制系統(tǒng)的難度。為克服這一缺點，基于現(xiàn)代控制理論的分析方法，在實現(xiàn)狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，采用極點配置法，根據(jù)所期望的控制性能指標(biāo)，直接對該系統(tǒng)極點位置進行配置。

該閥控液壓馬達角位移控制系統(tǒng)完全能控且能觀測的，其能控規(guī)范型為：

(13)

在確定了系統(tǒng)能控規(guī)范型的基礎(chǔ)上，需要根據(jù)所期望的控制性能指標(biāo)以確定所希望的3個極點位置。選定s1和s2為1對主導(dǎo)極點，另外1個極點為遠極點。該系統(tǒng)的性能主要由主導(dǎo)極點s1，s2決定，遠極點的影響甚微。

首先需要確定主導(dǎo)極點位置，根據(jù)二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)關(guān)系式，系統(tǒng)超調(diào)量一般小于5%，可得：

(14)

式中，ξ為系統(tǒng)的阻尼比。

由式(14)可知，系統(tǒng)阻尼比ξ≥0.707。在工程中，二階系統(tǒng)阻尼比一般在0.4～0.8之間[15]，故選取ξ為0.707。

由系統(tǒng)超調(diào)時間小于0.3 s，可得：

(15)

(16)

式中，ωn為系統(tǒng)的自振頻率。

此外，二階系統(tǒng)的頻寬ωb與自振頻率ωn有如下關(guān)系：

(17)

根據(jù)控制性能指標(biāo)，系統(tǒng)頻寬ωb小于50，且系統(tǒng)阻尼比ξ選定為0.707，代入式(17)可得：系統(tǒng)自振頻率ωn≤50，這里取自振頻率ωn為50。至此，根據(jù)式(17)便可以得到該系統(tǒng)的主導(dǎo)極點為：

(18)

在此基礎(chǔ)上，選取遠極點為與原點距離遠大于5倍主導(dǎo)極點與原點距離的點，因此，選擇遠極點s3為-500。

由期望極點所構(gòu)成的特征多項式為：

f*(s)=(s+500)(s2+70.72+2500)

=s3+570.72s2+37850s+1250000

(19)

結(jié)合原系統(tǒng)特征多項式，可得狀態(tài)反饋矩陣為：

(20)

至此，可以得到進行極點配置后的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

式中，L為輸入放大系數(shù)。

由系統(tǒng)控制要求可知，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為0，即：

(22)

將式(21)代入式(22)中，可得系統(tǒng)輸入放大系數(shù)L為0.07。在MATLAB/Simulink中建立基于極點配置法的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)模型如圖9所示。

4.3 含有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)設(shè)計

采用極點配置法的閥控液壓馬達角位移控制系統(tǒng)是以狀態(tài)反饋為基礎(chǔ)的，然而，當(dāng)系統(tǒng)所需反饋的狀態(tài)變量無法通過直接測量得到時，就需要構(gòu)造狀態(tài)觀測器，以觀測器輸出的狀態(tài)來代替系統(tǒng)實際狀態(tài)，進行狀態(tài)反饋。為分析加入觀測器后對系統(tǒng)的影響，以閥控馬達角位移控制系統(tǒng)為例，建立含有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)。

該系統(tǒng)完全能控且能觀測，故該系統(tǒng)及狀態(tài)觀測器的極點可以任意配置。含有狀態(tài)觀測器的極點配置法狀態(tài)反饋系統(tǒng)的控制性能與前文未加入時相同，故此時閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點和狀態(tài)反饋矩陣不變，只需要對相應(yīng)的狀態(tài)觀測器進行設(shè)計，設(shè)狀態(tài)觀測器的極點位置為s1,2,3=-500。

圖9 極點配置法狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)仿真模型

在設(shè)計狀態(tài)觀測器時，需要將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為能觀測規(guī)范型，所需變換矩陣T的計算方法為：

T=[T1,AT1,A2T1]

(23)

得到變換矩陣后，可得到系統(tǒng)能觀測規(guī)范型為：

(24)

(25)

狀態(tài)觀測器的特征多項式為：

(26)

(27)

給定系統(tǒng)的反饋矩陣G為：

(28)

狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為：

(29)

基于上述過程，在MATLAB/Simulink中搭建含有狀態(tài)觀測器的極點配置狀態(tài)反饋模型如圖10所示。

4.4 仿真對比

利用MATLAB/Simulink軟件對采用上述3種控制方法的閥控液壓馬達角位移控制系統(tǒng)特性進行仿真分析。其中，當(dāng)采用PID閉環(huán)控制系統(tǒng)時，通過設(shè)置不同PID控制參數(shù)進行仿真對比，選擇較為合適的PID參數(shù)(Kp=0.4,Ki=0.001,Kd=0.0001)；當(dāng)采用基于極點配置法的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)時，各項參數(shù)均按照前文所得的計算結(jié)果進行設(shè)置，最終得到如圖11所示的階躍響應(yīng)曲線。由圖可知，采用3種控制方法均能達到系統(tǒng)的控制要求，然而，當(dāng)采用PID閉環(huán)控制系統(tǒng)時，系統(tǒng)響應(yīng)較慢，約0.4 s左右才能達到期望輸出角位移，且存在明顯的震蕩；而采用極點配置法和含有狀態(tài)觀測器的極點配置狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)響應(yīng)速度較快，在0.2 s左右即可達到穩(wěn)定的期望輸出角位移，且階躍響應(yīng)曲線幾乎不存在震蕩。

圖10 含有狀態(tài)觀測器的極點配置狀態(tài)反饋系統(tǒng)仿真模型

圖11 閥控馬達角位移控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

為探究狀態(tài)觀測器的極點位置對閥控液壓馬達角位移控制系統(tǒng)性能的影響，分別將狀態(tài)觀測器的極點s1,2,3配置到不同位置，建立相應(yīng)的狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)模型，通過仿真進行對比分析。

圖12為將狀態(tài)觀測器極點分別配置到不同位置時，閥控液壓馬達角位移控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，由圖可知，狀態(tài)觀測器極點位置會對系統(tǒng)輸出角位移控制特性產(chǎn)生影響，在一定范圍內(nèi)，極點位置距離原點位置越遠，階躍響應(yīng)曲線超調(diào)量越小(甚至無超調(diào))，但極點位置對階躍響應(yīng)曲線的調(diào)整時間影響不大，輸出角位移均可在0.2 s左右達到穩(wěn)定的期望輸出值。

圖12 狀態(tài)觀測器不同極點對應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線

5 結(jié)論

本研究以某型閥控液壓馬達角位移控制系統(tǒng)為研究對象，分別基于PID閉環(huán)控制、極點配置法以及含有狀態(tài)觀測器的極點配置法對系統(tǒng)動態(tài)特性進行了對比研究，得出如下結(jié)論：

(1) 相對于PID閉環(huán)控制法，極點配置法在閥控液壓馬達角位移控制系統(tǒng)設(shè)計過程中更加靈活，可以根據(jù)期望的控制性能指標(biāo)，實現(xiàn)系統(tǒng)極點的任意配置；

(2) 當(dāng)采用含有狀態(tài)觀測器的極點配置法對狀態(tài)反饋閉環(huán)進行設(shè)計時，雖然狀態(tài)觀測器的極點可以任意配置，但其位置會對系統(tǒng)控制特性產(chǎn)生影響，隨著極點位置與原點之間距離的逐漸增大，系統(tǒng)超調(diào)量逐漸減小。