張吉

【摘 要】因?yàn)閱挝粓A兼有數(shù)和形雙重特性，所以可以把單元圓作為研究三角函數(shù)的工具。筆者通過利用單位圓研究三角函數(shù)的概念、性質(zhì)、三角恒等變換公式等，說明單位圓是研究三角函數(shù)的工具，能體現(xiàn)三角函數(shù)學(xué)習(xí)的知識邏輯、方法邏輯、思維邏輯。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)工具;概念本質(zhì);單位圓

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2020）34-0154-02

單位圓是一個非常好的對稱圖形，人們能從單位圓上找到對稱點(diǎn)、對稱線段、對稱角等。三角函數(shù)是以角（實(shí)數(shù)）為自變量的函數(shù)，而單位圓是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)三角函數(shù)問題的重要工具。

1? ?利用單位圓研究三角函數(shù)的概念

1.1? 定義任意角的三角函數(shù)

利用單位圓定義三角函數(shù)，有利于學(xué)生理解三角函數(shù)的本質(zhì)，即任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。學(xué)生可以從定義中看到具體的、直接的自變量和函數(shù)值的對應(yīng)過程[1]。

任意給定一個角α，其終邊與單位圓就有唯一的一個交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是角α的余弦值，縱坐標(biāo)就是角α的正弦值，這給學(xué)生理解三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系提供了極大的便利。設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么 y 叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=y;x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x;叫做α的正切，記作tanα，即。這樣，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，能為后續(xù)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)提供思路和工具。

1.2? 研究同角三角函數(shù)關(guān)系

同角三角函數(shù)關(guān)系反映的是同一個角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，它的研究基礎(chǔ)是三角函數(shù)的定義，研究工具是單位圓，是利用單位圓揭示正弦、余弦、正切之間的關(guān)系。設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），過點(diǎn)P作PM⊥Ox，交x軸于點(diǎn)M，則MP叫角α的正弦線，OM叫角α的余弦線。結(jié)合圖形可以看出，MP、OM和半徑OP三者構(gòu)成直角三角形，且，由勾股定理有，因此x2+y2=1，即cos2α+sin2α=1。當(dāng)角α的終邊與x軸重合時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），此時，y=0，所以x2+y2=1，即cos2α+sin2α=1成立，此時。當(dāng)角α的終邊與y軸重合時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），此時，x=0，所以x2+y2=1，即cos2α+sin2α=1成立，此時tanα不存在。所以當(dāng)角α的終邊與坐標(biāo)軸重合時，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式也成立。

1.3? 推導(dǎo)誘導(dǎo)公式

誘導(dǎo)公式反映的是兩個角的終邊滿足某種對稱關(guān)系時，它們的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，推導(dǎo)誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵是角的終邊的對稱性。單位圓能很好地反映角的終邊的對稱性，借助單位圓推導(dǎo)誘導(dǎo)公式既簡單，又方便。

要推導(dǎo)關(guān)于α，π+α，π-α，-α，的誘導(dǎo)公式，需要先理清π+α，π-α，-α，終邊分別與角α終邊的對稱關(guān)系，再根據(jù)三角函數(shù)定義得出它們的值之間的關(guān)系。這樣既能很好地反映誘導(dǎo)公式的本質(zhì)，又能使它們成為一個有機(jī)整體[2]。

設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y）。根據(jù)角的概念，作出π+α，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)Q（-x，-y），可以發(fā)現(xiàn)角α與角π+α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱，且sinα=y，sin（π+α）=-y，所以sin（π+α）=-sinα，同理cos（π+α）=-cosα，進(jìn)而有

同理，可以發(fā)現(xiàn)角α與角π-α的終邊關(guān)于 y 對稱，角α與角-α的終邊關(guān)于x軸對稱，根據(jù)三角函數(shù)的定義及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可以很方便地推出π-α，-α這兩組誘導(dǎo)公式;可發(fā)現(xiàn)角α與角的終邊關(guān)于直線y=x對稱，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得到角這組誘導(dǎo)公式。

2? ?利用單位圓研究三角函數(shù)的性質(zhì)

利用單位圓可以研究正弦函數(shù)f （x）=sin x與余弦函數(shù)f （x）=cos x的周期性、奇偶性、單調(diào)性、值域、最值等性質(zhì)。以正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性為例進(jìn)行說明。

利用單位圓中的三角函數(shù)線，通過數(shù)形結(jié)合的方法，可以分四個象限分別研究正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性。

設(shè)角x是（0，2π）內(nèi)的任意一個角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥Ox，交x軸于點(diǎn)M，則MP為角x的正弦線，OM為角 x 的余弦線。

當(dāng)點(diǎn)P繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)時，角x由0逐漸增大為，正弦線MP逐漸變長，余弦線OM逐漸變短，且正余弦均為正值，所以在上，正弦函數(shù)f （x）=sin x為增函數(shù)，余弦函數(shù)f （x）=cos x為減函數(shù)。

當(dāng)點(diǎn)P繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)時，角x由逐漸減小為π，正弦線MP逐漸變短，余弦線OM逐漸變長，且正弦為正值，余弦為負(fù)值，所以在上，正弦函數(shù)f （x）=sin x為減函數(shù)，余弦函數(shù)f （x）=cos x也為減函數(shù)。

當(dāng)點(diǎn)P繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)時，角x由π逐漸增大為，正弦線MP逐漸變長，余弦線OM逐漸變短，且正余弦均為負(fù)值，所以在上，正弦函數(shù)f （x）=sin x減函數(shù)，余弦函數(shù)f （x）=cos x為增函數(shù)。

當(dāng)點(diǎn)P繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)時，角x由逐漸減小為2π，正弦線MP逐漸變短，余弦線OM逐漸變長，且正弦均為負(fù)值，余弦為正值，所以在上，正弦函數(shù)f （x）=sin x與余弦函數(shù)f （x）=cos x都為增函數(shù)。

同理，借助單元圓，可以研究三角函數(shù)的周期性、奇偶性、值域、最值等性質(zhì)。

3? ?利用單位圓與平面向量推導(dǎo)三角公式

在三角恒等變換中，兩角差的余弦公式的推導(dǎo)具有重要意義，其他公式的推導(dǎo)都可以利用這個公式。在這個公式的推導(dǎo)過程中，需要尋找角的余弦值與角、的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，需要理解角的運(yùn)算。余弦函數(shù)的概念與性質(zhì)，可借助單位圓進(jìn)行推導(dǎo)。

在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角、，它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A、B，則，，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有·=·

=+。設(shè)與

的夾角為，則·=·=

+，則;所以

，也有+。有了兩角差的余弦公式做基礎(chǔ)，結(jié)合誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，可推導(dǎo)出、、、、、等的公式。

總之，三角函數(shù)定義、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)性質(zhì)、兩角差的余弦都可以借助單位圓推導(dǎo)，以讓學(xué)生更好學(xué)習(xí)與掌握，體會數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題中的作用，進(jìn)一步體悟單位圓是研究三角函數(shù)的工具，掌握三角函數(shù)學(xué)習(xí)的知識邏輯、方法邏輯、思維邏輯。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張波，苑智莉，王保東.“誘導(dǎo)公式”單元—課時教學(xué)設(shè)計與點(diǎn)評[J].中國數(shù)學(xué)教育：高中版，2020（7）.

[2]楊彬.三角函數(shù)概念教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（7）.