李潤澤，張宇飛，陳海昕

清華大學(xué) 航天航空學(xué)院，北京 100084

現(xiàn)代民用客機為了追求極致效率，飛機設(shè)計尤其是氣動外形設(shè)計也變得愈發(fā)復(fù)雜。飛機設(shè)計從依賴于風(fēng)洞試驗的試湊法逐漸演化為更加依賴于計算流體力學(xué)(CFD)計算和優(yōu)化設(shè)計[1]。雖然最優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)定義理論上可以涵蓋所有的目標(biāo)和約束，但不同的優(yōu)化方法面對不同復(fù)雜程度的問題有不同的表現(xiàn)。尤其是在面向工程實踐的優(yōu)化設(shè)計中，優(yōu)化目標(biāo)、設(shè)計變量以及約束往往數(shù)量較多且形式復(fù)雜，而且很多設(shè)計意圖和工程約束更是難以給出數(shù)學(xué)表達。因此，面向工程實踐的優(yōu)化方法研究，除了需要發(fā)展更高效魯棒的優(yōu)化算法外，還需要對優(yōu)化目標(biāo)、約束的定義和選擇進行研究，從而盡可能真實完整地體現(xiàn)工程師的設(shè)計意圖和工程要求[2]。

實際上，優(yōu)化設(shè)計和數(shù)學(xué)意義上的優(yōu)化并不是相同的概念。優(yōu)化設(shè)計是利用優(yōu)化變量、目標(biāo)、約束的設(shè)定和優(yōu)化方法的選擇，以幫助工程師獲得提升設(shè)計點效率、非設(shè)計點性能的，滿足工程制造、機構(gòu)安裝、多學(xué)科設(shè)計等方面要求的過程，并不僅僅是利用優(yōu)化算法獲得“最優(yōu)”結(jié)果。優(yōu)化設(shè)計更多是一個尋找滿足工程要求的設(shè)計過程，優(yōu)化是其必要的手段。

本文首先介紹氣動優(yōu)化設(shè)計中常見的優(yōu)化算法以及各自的優(yōu)勢不足，并展示單目標(biāo)梯度算法和多目標(biāo)差分進化算法在超臨界機翼氣動減阻優(yōu)化中的表現(xiàn)。之后總結(jié)了工程設(shè)計對機翼氣動優(yōu)化設(shè)計提出的多學(xué)科目標(biāo)和要求，定義了壓力分布形態(tài)特征，并指出各個特征對氣動特性的影響和優(yōu)化設(shè)計中的要求。最后基于壓力分布形態(tài)的重要作用給出多目標(biāo)多約束優(yōu)化中目標(biāo)及約束的定義形式以及應(yīng)用策略，并基于“徑向基函數(shù)響應(yīng)面輔助的差分進化算法”(Radial basis function Assisted Differential Evolution, RADE)[3]開展優(yōu)化，在合理控制計算代價的前提下，更多地引入工程約束和設(shè)計準(zhǔn)則，以提高優(yōu)化設(shè)計結(jié)果的工程實用性。

1 氣動優(yōu)化算法

數(shù)學(xué)上的最優(yōu)化方法是指在可行域中搜索最優(yōu)解的過程，隨著計算能力的提高和優(yōu)化方法的發(fā)展，很多算法已經(jīng)在飛行器氣動優(yōu)化設(shè)計中進行了研究和應(yīng)用。優(yōu)化算法一般可以分為無梯度方法和梯度方法,它們各自擁有相應(yīng)的優(yōu)勢和不足。無梯度方法也稱隨機優(yōu)化方法，以遺傳算法、差分進化算法、蟻群算法等為典型代表，主要受到自然界中的物競天擇或信息素傳遞等現(xiàn)象的啟發(fā)而提出。這類算法不依賴于梯度信息，而是基于大量個體的嘗試和比較來獲得新個體，因而可以實現(xiàn)“黑箱”優(yōu)化，并可以進行基于帕累托(Pareto)占優(yōu)準(zhǔn)則的多目標(biāo)多約束優(yōu)化。

一般而言，無梯度方法需要較大的種群和較多的迭代次數(shù)，因此計算代價可能較大。相比之下，梯度方法由于已知個體的改進方向，因而在單目標(biāo)凸優(yōu)化中擁有明顯高于無梯度方法的優(yōu)化效率[4]。尤其是伴隨方法的提出和發(fā)展[5-6]使得氣動力的梯度求解計算代價大幅減少，從而使得梯度方法在氣動力優(yōu)化中獲得了很大優(yōu)勢。Zingg等[7]研究表明，至少在翼型氣動優(yōu)化中，無論是單設(shè)計點、多設(shè)計點還是多目標(biāo)優(yōu)化，遺傳算法和梯度算法都能達到足夠相似的優(yōu)化結(jié)果和帕累托前緣(Pareto front)，而且一般而言梯度算法能夠比遺傳算法提高效率5倍以上。上述研究表明似乎在翼型優(yōu)化中并不用擔(dān)心極小值的存在會使得梯度算法無法收斂到全局最優(yōu)。這其中可能有多種原因使得梯度算法能夠收斂到和遺傳算法相同的結(jié)果，如梯度算法的步長設(shè)置，初始個體的選擇、約束條件的定義等，但經(jīng)驗上的確使用梯度算法優(yōu)化翼型能夠得到一個足夠好的結(jié)果而不用擔(dān)心其陷入局部最優(yōu)。但是對于較復(fù)雜的問題，則需要使用多起點的梯度優(yōu)化方法來有效避免局部最優(yōu)，相應(yīng)的計算代價也隨之增大。

另一方面，梯度算法不適應(yīng)于多目標(biāo)、多約束問題。梯度算法需要提供全部目標(biāo)、約束的梯度才能表現(xiàn)出最優(yōu)的效果，而目標(biāo)、約束數(shù)量的增加又會使梯度的計算量顯著提高。即使使用能夠高效計算梯度的伴隨方法，也會導(dǎo)致單個個體的計算量成倍增加。此外，若試圖利用梯度算法獲取多目標(biāo)優(yōu)化的帕累托前緣，需要通過一系列的目標(biāo)權(quán)重組合分別進行梯度優(yōu)化實現(xiàn)[8]，而權(quán)重組合的數(shù)量與目標(biāo)數(shù)成指數(shù)關(guān)系。雙目標(biāo)優(yōu)化一般意味著10個左右的權(quán)重組合即可較好地刻畫出帕累托前緣，10倍于單目標(biāo)優(yōu)化的計算量多數(shù)情形下仍可接受[7]，但是對于復(fù)雜問題(需要額外的約束梯度計算或多工況梯度計算)和更多目標(biāo)的優(yōu)化，單純的梯度方法不具有可行性。

為彌補無梯度方法和梯度方法的不足，結(jié)合2種方法的混合方法和利用代理模型以提高優(yōu)化效率的優(yōu)化方法得到了發(fā)展和應(yīng)用?；旌戏椒ɡ锰荻确椒▉硖岣邇?yōu)化效率，利用無梯度方法來避免局部最優(yōu)，因而可以獲得更好的優(yōu)化效果?；旌戏椒ㄔ诤芏鄦栴}中體現(xiàn)出了優(yōu)秀的效果，本文中不做重點討論[9-10]。另一方面，這些方法仍然無法避免對所有目標(biāo)、約束梯度信息的依賴。相比之下代理模型輔助的方法可以利用已有數(shù)據(jù)而無需求解梯度信息，實現(xiàn)目標(biāo)、約束響應(yīng)函數(shù)的構(gòu)建，進而預(yù)測個體的改進方向(類似于梯度的作用)和最優(yōu)個體可能的參數(shù)，從而提高優(yōu)化效率[11]。

2 不同優(yōu)化算法在減阻優(yōu)化中的應(yīng)用

氣動優(yōu)化方法研究大多以阻力為目標(biāo)進行優(yōu)化，一般包含幾何約束如固定的最大相對厚度或某些弦長位置的相對厚度不得小于預(yù)設(shè)值等。本文以某型遠程寬體客機機翼作為優(yōu)化對象，討論了不同優(yōu)化算法在氣動減阻優(yōu)化中的表現(xiàn)。機翼幾何使用8個控制截面插值生成，控制截面的展向位置如圖1所示?？刂平孛娴囊硇褪褂没诤瘮?shù)變換的(Class Shape function Transformation,CST)參數(shù)化方法[2]，上下表面各采用7個控制參數(shù)，從而在較小的設(shè)計變量總數(shù)的條件下，實現(xiàn)復(fù)雜曲線的參數(shù)化，且可以保證翼型表面曲率不出現(xiàn)局部的波動，如圖2所示。該客機設(shè)計點、高馬赫數(shù)工況和高升力工況(針對高速飛行)的具體參數(shù)見表1，3個工況的相應(yīng)參數(shù)分別通過角標(biāo)0、1、2來標(biāo)記。

文獻[12]討論了基于RADE算法的多目標(biāo)優(yōu)化和基于伴隨方法的單目標(biāo)梯度優(yōu)化在氣動減阻優(yōu)化中的表現(xiàn)，其目標(biāo)和約束設(shè)置相對簡單(見表2)，更適合于算法效率和效果的對比，但沒有充分涵蓋工程設(shè)計需要。本節(jié)展示了文獻[12]中的部分優(yōu)化結(jié)果，并對優(yōu)化進行了分析。相關(guān)結(jié)果為本文第5節(jié)的討論提供了初始構(gòu)型，并用于后續(xù)優(yōu)化效果對比。

圖1 機翼參數(shù)化造型控制截面Fig.1 Control sections of wing modeling

圖2 控制截面CST參數(shù)化方法Fig.2 Control sections by CST modeling method

表1 機翼優(yōu)化中的3個典型工況Table 1 3 typical flight conditions of certain aircraft wing optimization

RADE算法[2]基于差分進化算法，能夠在非占優(yōu)排序原則下實現(xiàn)多目標(biāo)多約束優(yōu)化，優(yōu)化效率高，且有較強的能力避免陷入局部最優(yōu)解。RADE 算法利用差分進化算法優(yōu)化過程中計算得到的結(jié)果訓(xùn)練RBF響應(yīng)面，利用響應(yīng)面構(gòu)建設(shè)計變量(幾何)到輸出變量(性能以及壓力分布形態(tài)特征等參數(shù))的映射，從而通過在響應(yīng)面上尋優(yōu)預(yù)測優(yōu)秀個體的設(shè)計變量，并將之放入下一代種群中進行CFD計算評估。即在每一代差分進化算法迭代中，都進行一輪基于響應(yīng)面的優(yōu)化，也就是響應(yīng)面輔助的優(yōu)化方法。

表2 多目標(biāo)優(yōu)化和梯度優(yōu)化的目標(biāo)和約束Table 2 Objectives and constraints of three point optimization and gradient optimization

梯度優(yōu)化中使用斯坦福大學(xué)開發(fā)的SNOPT[13]工具包的梯度算法，阻力系數(shù)的梯度通過連續(xù)伴隨方法[14]求解，該方法基于有限體積方法的可壓縮雷諾平均Navier-Stokes(RANS)方程求解器NSAWET進行編寫，該求解器求解精度和魯棒性在大量應(yīng)用中得到了檢驗[12-20]。該連續(xù)伴隨方法針對RANS方程，基于凍結(jié)黏性假設(shè)，使用二階迎風(fēng)格式和Roe通量格式，LU-SGS隱式時間推進進行求解，獲得表面敏感度。通過造型方法對機翼幾何進行擾動，獲得阻力系數(shù)對CST參數(shù)的梯度。

圖3和圖4為2種優(yōu)化方法的收斂歷史和優(yōu)化結(jié)果。可以看出梯度優(yōu)化方法優(yōu)化效率遠超過多目標(biāo)優(yōu)化方法，但是優(yōu)化結(jié)果的非設(shè)計點阻力很大，并不能作為可行的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果。相比之下，以3個典型工況阻力系數(shù)分別為目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化可以獲得相應(yīng)的帕累托前緣，從而在其中選擇設(shè)計點和非設(shè)計點性能更為均衡的個體。圖4 中紅圈標(biāo)出了帕累托前緣上的3個典型個體，從左至右依次為001,002,003，相應(yīng)的機翼截面設(shè)計點壓力分布如圖5所示。

需要指出的是，此處的伴隨方法使用了單起點的單目標(biāo)優(yōu)化，存在陷入局部最優(yōu)的可能，若使用多起點優(yōu)化和線性加權(quán)的多目標(biāo)優(yōu)化，應(yīng)當(dāng)可以獲得和多目標(biāo)優(yōu)化相近的結(jié)果[7]。但是無論是多目標(biāo)的梯度算法還是無梯度算法，即使多目標(biāo)優(yōu)化能夠獲得帕累托前緣，但多目標(biāo)優(yōu)化所需的種群大小和優(yōu)化代數(shù)均過大，很難在可接受的計算能力內(nèi)獲得充分發(fā)展的帕累托前緣。圖3和圖4 的結(jié)果也表明，在較為合理的計算代價之內(nèi)，多目標(biāo)優(yōu)化算法易于早熟(或陷入局部最優(yōu))，帕累托前緣的探索并不十分充分。

更重要是，以上的優(yōu)化目標(biāo)和約束涵蓋的設(shè)計意圖和工程約束較少，也沒有包含相應(yīng)的壓力分布形態(tài)約束來提升非設(shè)計點性能和飛行魯棒性[1]。因此，最終的結(jié)果或者包含較強的雙激波導(dǎo)致較大的設(shè)計點阻力，或者低頭力矩較大導(dǎo)致配平阻力增加，或者激波位置過于靠后導(dǎo)致阻力發(fā)散特性無法滿足，因而其結(jié)果仍需進一步的優(yōu)化設(shè)計。

圖3 2種方法優(yōu)化收斂歷史Fig.3 Convergence history of two optimization methods

圖4 優(yōu)化過程和帕累托前緣Fig.4 Optimization history and Pareto front

圖5 典型優(yōu)化結(jié)果機翼截面壓力系數(shù)分布Fig.5 Wing section pressure distributions of typical optimization results

3 現(xiàn)代客機設(shè)計的目標(biāo)與約束

現(xiàn)實中，民用飛機需要將商載以最小成本完成一定距離的運輸，并滿足“安全性、經(jīng)濟性、舒適性、環(huán)保性”的四性要求[15]。除安全性外，最重要的設(shè)計目標(biāo)之一就是降低油耗，或者說提高巡航效率(A定義為巡航馬赫數(shù)Ma與升阻比L/D的乘積，即A=Ma·L/D)。一般飛機運營的最佳巡航馬赫數(shù)大致等于最佳巡航效率(Amax)下的馬赫數(shù)，但會由于直接運營代價(Direct Operating Cost, DOC)的復(fù)雜組成而造成與Amax的差異。比如，飛機飛行在較低的巡航馬赫數(shù)下發(fā)動機可以獲得更好的燃油效率，但更高的巡航速度可以在飛機維護、機組開銷等與飛行時間相關(guān)的方面減小開銷。因此，最佳的運營狀態(tài)往往在0.99Amax附近，而設(shè)計得到更大的0.99Amax范圍也可以使運營更加靈活，從而進一步提高飛機的經(jīng)濟性[16]。

在總體設(shè)計確定巡航工況(設(shè)計點)之后，飛機氣動設(shè)計需要對設(shè)計點和非設(shè)計點飛機性能進行分析和改進，其中包括設(shè)計點的經(jīng)濟性、非設(shè)計點的飛行邊界、魯棒性等方面。圖6[16]為現(xiàn)代典型高亞聲速飛機巡航工況的阻力構(gòu)成，飛機總阻力中2/3都由機翼提供，因此機翼設(shè)計是飛機設(shè)計中最重要的環(huán)節(jié)。需要注意的是，雖然激波阻力只占設(shè)計點總阻力的1%～5%，但激波阻力以及激波的發(fā)展限制了飛行邊界，且同非設(shè)計點(機動、加速、陣風(fēng)狀態(tài))特性有直接關(guān)聯(lián)，因此十分重要。比如，抖振邊界基本上完全由機翼決定，過低的抖振邊界會導(dǎo)致過小的巡航升力系數(shù)和更低的飛行高度，從而導(dǎo)致發(fā)動機燃油消耗率的提升，不利于飛機的經(jīng)濟性[16]。

圖6 巡航工況下民用客機的典型阻力構(gòu)成[16]Fig.6 Typical drag compositions of civil aircraft at cruise condition[16]

飛機實際運行過程中不會始終處在巡航工況，因此非設(shè)計點特性也十分重要。飛機設(shè)計點通常選定在較多使用的飛行馬赫數(shù)下能獲得的Amax附近，一般對應(yīng)于遠程巡航工況。但由于實際運營過程的多樣性，飛機還經(jīng)常運行在另一種高速巡航工況，對應(yīng)于更高的飛行馬赫數(shù)和更小的升力系數(shù)[17]。以波音B737-100飛機的2種使用情況為例[15]，其高速巡航馬赫數(shù)為0.78，升力系數(shù)為0.3；而遠程巡航馬赫數(shù)為0.74，升力系數(shù)為0.5。在設(shè)計點附近的低阻力區(qū)域(0.99Amax)是運營過程中可靈活使用的范圍。高于設(shè)計點馬赫數(shù)時是加速機動的情況，從設(shè)計點到俯沖馬赫數(shù)MaD的整個區(qū)間內(nèi)，需要避免升力發(fā)散，并盡量減小阻力劇增。過載高于1時是抬頭或轉(zhuǎn)彎機動情況，適航要求在過載為1.3時不能發(fā)生抖振，以保證飛行員能夠以35°傾角進行轉(zhuǎn)彎，或確保在大陣風(fēng)條件下有足夠的安全裕度不至于發(fā)生流動分離。有時在實際設(shè)計中會要求過載為1.6時或在來流方向速度為12.5 m/s、波長33 m的陣風(fēng)條件下抖振強度不得過大，這種工況也被稱作民用最大可接受抖振范圍[17]。

對民用客機機翼設(shè)計而言，設(shè)計要求可總結(jié)為以下幾點：

1) 不同形態(tài)(襟翼角度、動力大小)和高速低速條件下，飛行性能必須均良好可靠。

2) 在滿足安全要求的前提下，盡可能提升經(jīng)濟性和運營靈活性。

3) 機翼幾何盡可能簡單，并滿足結(jié)構(gòu)、制造、維護等方面的要求。

用性能指標(biāo)來進行定量化描述，可以總結(jié)為：

1) 追求更高的Amax和更大范圍的0.99Amax。

2) 追求更高的臨界馬赫數(shù)，盡量推遲阻力發(fā)散，并減小阻力蠕增。

3) 追求更高的抖振邊界以獲得更大的可用升力系數(shù)范圍。

4) 追求盡量魯棒的高速氣動特性。

5) 追求更大的最大升力系數(shù)和失速攻角，以提供良好的低速特性。

6) 近失速和近抖振狀態(tài)不得出現(xiàn)突然抬頭(力矩拐點)。

7) 機翼幾何必須有足夠的翼根、Kink、副翼截面厚度，以減小結(jié)構(gòu)重量和提升顫振速度(截面或翼型中部盡可能厚，尤其是后梁高度)。

8) 機翼內(nèi)部必須留有足夠的空間以儲存燃油，收放起落架和設(shè)計作動機構(gòu)(前緣附近形狀應(yīng)考慮縫翼設(shè)計與安裝，后緣附近必須有足夠厚度設(shè)計襟翼、副翼)。

4 壓力分布形態(tài)的關(guān)鍵作用

現(xiàn)代客機機翼氣動外形設(shè)計十分復(fù)雜，需要考慮的目標(biāo)和約束數(shù)量龐大且相互耦合，因此需要仔細分析氣動優(yōu)化設(shè)計的關(guān)鍵并重點控制。從飛機設(shè)計和運營角度來說，機翼氣動設(shè)計就是為了獲得更好的經(jīng)濟性、安全性、靈活性和環(huán)保性，同時需要滿足諸多結(jié)構(gòu)、機構(gòu)設(shè)計等其他學(xué)科提出的幾何、性能及流動結(jié)構(gòu)約束。從機翼氣動設(shè)計角度來說，就是在總體設(shè)計給定后掠角、上反角、弦長分布的平面形狀后，在滿足一系列約束的前提下，提高巡航效率、魯棒性和抖振邊界，改善阻力發(fā)散特性以及保證低速特性等。

由于機翼氣動設(shè)計的目標(biāo)和要求極多，而且還包括壓力分布形態(tài)、失速起始位置、失速形態(tài)等流動結(jié)構(gòu)形態(tài)方面的要求，如果將這些設(shè)計點、非設(shè)計點特性全部包括在優(yōu)化之中會導(dǎo)致計算量劇增，優(yōu)化迭代難于收斂。尤其是很多指標(biāo)如抖振邊界、阻力發(fā)散馬赫數(shù)、失速攻角和最大升力系數(shù)等，都是需要一系列工況來進行評估，其造成計算量的增長是無法承擔(dān)的。因此，必須通過其他的途徑來表征非設(shè)計點性能。

在優(yōu)化設(shè)計方法研究和工程實踐中可以發(fā)現(xiàn)，通過流動結(jié)構(gòu)的定量化描述以及不同工況間流動結(jié)構(gòu)的演化作為表征設(shè)計點、非設(shè)計點特性的手段，可以在機翼優(yōu)化設(shè)計中取得良好的效果，目前一些流動結(jié)構(gòu)約束或目標(biāo)也被提出并得到了應(yīng)用[1-2]。

機翼氣動設(shè)計中主要的流動結(jié)構(gòu)包括機翼截面的壓力分布形態(tài)、展向載荷分布、激波誘導(dǎo)邊界層分離，這些流動結(jié)構(gòu)直接決定了機翼的氣動特性，其中最為常用的是壁面壓力系數(shù)分布。本文對第3節(jié)指出的機翼設(shè)計指標(biāo)中涉及的壓力分布形態(tài)特征進行系統(tǒng)總結(jié)，指出其應(yīng)用方式和范圍。對壓力分布形態(tài)的期望來源于人們多年來在超臨界機翼優(yōu)化設(shè)計研究與工程實踐中的思考和體會，相關(guān)的理論分析和實踐總結(jié)可參見所引用的文獻[1,2，12]。實際上，傳統(tǒng)的反設(shè)計、反優(yōu)化方法中也提煉出了很多關(guān)于壓力分布形態(tài)的要求和約束，在下面進行總結(jié)和討論[1]。

圖7為單位化弦長機翼截面或翼型的典型超臨界壓力系數(shù)(Cp)分布的特征。傳統(tǒng)翼型(如NACA6系列)在高亞聲速狀態(tài)下翼型上表面出現(xiàn)大范圍超聲速區(qū)，并以一道強激波結(jié)束，從而導(dǎo)致了惡劣的阻力特性。之后發(fā)展的尖峰翼型則在前緣將氣流加速至超聲速，通過前緣的精細設(shè)計進行等熵壓縮，從而實現(xiàn)近似無激波或以弱激波結(jié)束超聲速區(qū)。尖峰翼型的設(shè)計較為困難，且非設(shè)計點特性不能使人滿意[16]。因此之后由Whitcomb[18]提出的超臨界翼型得到了廣泛的認可和應(yīng)用。超臨界翼型過吸力平臺實現(xiàn)比尖峰翼型更大范圍的超聲速區(qū)，并以一道弱激波結(jié)束，獲得了更高的阻力發(fā)散馬赫數(shù)和更好的抖振特性。

圖7 民用客機機翼截面壓力分布形態(tài)特征Fig.7 Pressure distribution features of civil aircraft wing sections

為滿足第3節(jié)中的設(shè)計要求，設(shè)計超臨界壓力分布時應(yīng)考慮以下特征[1-2,19]：

1) 前緣吸力峰(Cp,suc)：前緣吸力峰定義為前緣附近(15%弦長范圍內(nèi))最大的|Cp|，或?qū)τ谧匀粚恿饕硇?上表面前緣附近|Cp|為單調(diào)遞增)而言-?2|Cp|/?X2最大處。一般要求設(shè)計點前緣吸力峰不得過高，以避免過大的激波強度或不合理的前緣半徑[1]。一般而言，較高的前緣吸力峰會導(dǎo)致較強的激波，即使可以將激波強度控制得比較小(如尖峰翼型[16])，其設(shè)計難度也相應(yīng)更大，而且會導(dǎo)致較大的吸力平臺逆壓梯度。本質(zhì)上，避免過高的前緣吸力峰，是為了控制設(shè)計點激波強度和避免非設(shè)計點激波強度的迅速增長。另一方面，過高的前緣吸力峰也可能是小前緣半徑在較大攻角下的表現(xiàn)，雖然這種翼型在設(shè)計點仍然可以獲得較大的升力系數(shù)，但往往非設(shè)計點性能較差，尤其是低速失速特性較差，因此也需要避免。

2) 吸力平臺壓力梯度((?|Cp|/?X)suc)：吸力平臺是超臨界翼型的一個典型標(biāo)志，吸力平臺的斜率、長度、壓力波動都對飛行性能有直接影響。在超臨界翼型設(shè)計中壓力平臺略微逆壓，可以提高前緣吸力峰并減弱激波[16]；但實際上吸力平臺壓力梯度的影響更多體現(xiàn)在自然層流超臨界翼型的設(shè)計中[20]，而其具體數(shù)值也可由前緣吸力峰、激波位置、波前壓力系數(shù)(或波前馬赫數(shù))來確定。

3) 吸力平臺的壓力波動(Err)：吸力平臺的壓力波動[2]定義為前緣吸力峰到波前范圍內(nèi)(即吸力平臺)的壓力系數(shù)波動面積，即圖7中藍色陰影部分的面積，單位為1(相當(dāng)于升力的量綱)。壓力波動主要用于表征翼型在吸力平臺部分的幾何曲率，在三維機翼中也一定程度上反映了橫流的影響。過于波動的吸力平臺有可能會在較低馬赫數(shù)或較低升力系數(shù)條件下發(fā)生吸力平臺的塌陷，導(dǎo)致較強雙激波的出現(xiàn)從而導(dǎo)致較差的魯棒性，因此需要盡可能避免。

4) 激波位置(Xsw)：為簡單起見，激波位置定義為激波壓力突變附近斜率最大處，這種定義方法相比于其他方法更加魯棒。判定上表面壓力系數(shù)斜率最大處是否為激波也需要相應(yīng)判據(jù)，但是很有可能不存在一個對任何工況普適的判據(jù)。本文使用的判據(jù)是波前壁面馬赫數(shù)(即壁面壓力系數(shù)根據(jù)等熵關(guān)系式換算得到的馬赫數(shù))大于1，該處壓力系數(shù)斜率大于某一臨界值則判定為激波，該臨界值需要根據(jù)工況和網(wǎng)格數(shù)進行調(diào)整。有設(shè)計師認為設(shè)計點激波應(yīng)位于 50% 弦長或稍后位置[19]，但即使如此，這一范圍內(nèi)的激波位置變化對設(shè)計點、非設(shè)計點性能的影響也是顯著的。此外也需要保證設(shè)計點附近激波發(fā)展盡可能穩(wěn)定，以提高飛行器的魯棒性。

5) 波前壁面馬赫數(shù)(Maw1)：波前壁面馬赫數(shù)定義為激波位置前-?2|Cp|/?X2最大處，根據(jù)激波邊界層干擾中的波前波后關(guān)系[19]，波后壓力約等于附著斜激波的最大氣流偏轉(zhuǎn)角下的結(jié)果，因此激波強度(定義為波前波后的壓力系數(shù)之差[2]，ΔCp)可以由Maw1唯一確定。由于在激波較強時存在激波誘導(dǎo)邊界層分離現(xiàn)象，進而導(dǎo)致了波后壓力系數(shù)難以從壁面壓力系數(shù)分布中確定，所以在激波較強時激波強度的定義容易出現(xiàn)較大誤差，因此采用Maw1來表征激波強度。一般而言設(shè)計點激波應(yīng)盡可能弱，波前馬赫數(shù)Maw1控制在1.15～1.20之間，否則激波阻力會迅速增加[2,19]。

6) 波后流動加速(Accsw)：波后流動加速用于表征激波后的流動加速，定義為激波后的最高壓力系數(shù)與波后壓力系數(shù)之差，但由于在激波強度較大時波后壓力系數(shù)定義存在較大誤差，因此這一參數(shù)僅在設(shè)計點優(yōu)化中起輔助作用。一般認為波后略微加速，可以增大升力，且順壓梯度可改善波后邊界層速度型，從而提高邊界層對抗壓力恢復(fù)區(qū)的逆壓梯度[16]。

7) 壓力恢復(fù)梯度(dCp)：壓力恢復(fù)梯度定義為激波后最高壓力系數(shù)到尾緣段的平均壓力系數(shù)梯度。一般而言，壓力恢復(fù)段逆壓梯度不能太大，以避免尾緣過早分離[1]。

8) 后加載(Loadaft)：后加載此處定義為弦長70%～100%范圍內(nèi)下表面壓力系數(shù)分布與等值線Cp=0所圍成的面積，以表征下表面后部對升力的貢獻。也有一種定義方式為上下表面壓力系數(shù)差的最大值，這種定義方法在一些情形包含了上表面波后加速的影響。本文采用前一種定義方式。適當(dāng)?shù)暮蠹虞d強度可以減小上表面超聲速區(qū)和流速，從而提高升阻比和非設(shè)計點特性[1]。但后加載程度受低頭力矩(配平阻力)和鉸鏈力矩的限制，且過薄過彎的翼型尾緣也不利于襟翼、副翼的安裝和設(shè)計。因此后加載強度是諸多考慮下的折中結(jié)果[18]。

9) 下表面最高壓力系數(shù)(Cp,low)：定義為下表面最高壓力系數(shù)，用以表征下表面的最高流速，以避免出現(xiàn)下表面超聲速區(qū)。

10) 前加載(LoadLE)：前加載定義為下表面前緣吸力峰之后，下表面最高壓力系數(shù)之前的最低壓力系數(shù)，與下表面前緣吸力峰的壓力系數(shù)之差。由于存在大量無前加載的設(shè)計，因此這一參數(shù)主要起輔助作用。

5 PDG優(yōu)化設(shè)計方法的工程應(yīng)用

為了更加有效地進行優(yōu)化設(shè)計，需要對機翼的壓力分布形態(tài)進行操控，本節(jié)采用基于RADE算法的“壓力分布引導(dǎo)”(Pressure Distribution Guided，PDG)的優(yōu)化設(shè)計方法[2]對設(shè)計點、非設(shè)計點特性進行改進。

相比于PDG方法，傳統(tǒng)的反設(shè)計和反優(yōu)化方法同樣能夠用來操控流動結(jié)構(gòu)，但存在一些不足。反設(shè)計方法需要完整且合理的(即物理上可行的)壓力分布目標(biāo)，通過修改幾何以實現(xiàn)給出的壓力分布形態(tài)，并不對性能等其他參數(shù)做要求。因此，其設(shè)計的成功與否取決于設(shè)計師給出的目標(biāo)壓力分布是否合理，通常只能用于設(shè)計簡單部件。之后發(fā)展的正設(shè)計與反設(shè)計相結(jié)合的反優(yōu)化方法，在給定的升力、力矩、環(huán)量分布等約束下對壓力分布的形狀進行“優(yōu)化”或“調(diào)整”，比如在確保面積不變的條件下抹去激波。在得到“最優(yōu)”壓力分布后，再用反設(shè)計方法得到相應(yīng)幾何設(shè)計[1]。這種方法顯然仍然無法保證其“優(yōu)化”壓力分布的物理存在性和合理性。因此，相比之下，PDG方法中的“壓力分布引導(dǎo)”的思想始終針對的是實際產(chǎn)生的壓力分布，均具有物理意義，也使得該方法更加靈活魯棒。

基于第2節(jié)優(yōu)化結(jié)果，引入第4節(jié)中的壓力分布形態(tài)特征作為目標(biāo)和約束，在提高設(shè)計點巡航效率的同時改善非設(shè)計點特性，并引導(dǎo)壓力分布形態(tài)向符合工程設(shè)計需要的方向演化。PDG優(yōu)化設(shè)計方法在差分進化算法的主優(yōu)化迭代中一般以性能參數(shù)為目標(biāo)，在基于RBF響應(yīng)面的優(yōu)秀個體預(yù)測中以性能和壓力分布形態(tài)要求作為目標(biāo)。從而利用RBF響應(yīng)面為差分進化算法提供具有期望壓力分布形態(tài)的優(yōu)秀個體，以引導(dǎo)優(yōu)化方法向期望的方向進行，并避免局部最優(yōu)和提高優(yōu)化效率。具體算法實現(xiàn)見文獻[2]。

圖8為PDG優(yōu)化方法的優(yōu)化過程，其中梯度優(yōu)化的起始點即為優(yōu)化的初始構(gòu)型。圖8中部的紅色圓圈為簡單多目標(biāo)優(yōu)化帕累托前緣上的個體002，PDG優(yōu)化個體用黑色倒三角形標(biāo)出，在其帕累托前緣上選取2個具有代表性的個體，從左至右分別為1和2。個體1為較好地滿足了壓力分布形態(tài)期望的結(jié)果，個體2為適當(dāng)放松壓力分布形態(tài)目標(biāo)的期望但獲得了更好的設(shè)計點性能的結(jié)果。性能曲線對比見圖9和圖10。PDG優(yōu)化相比于多目標(biāo)優(yōu)化的結(jié)果，在保持抖振特性(圖9所示)特性和高馬赫數(shù)工況的阻力(圖10所示)的前提下進一步減小了巡航阻力，改善了低頭力矩。

圖11中為3個個體以及初始構(gòu)型的壓力分布形態(tài)。圖12為相應(yīng)的展向升力系數(shù)分布，其中2個PDG優(yōu)化結(jié)果的展向升力系數(shù)分布幾乎完全重合。PDG優(yōu)化結(jié)果相比于多目標(biāo)優(yōu)化個體002展向載荷更加靠內(nèi)，外翼載荷降低，因此低頭力矩得以改善。PDG優(yōu)化結(jié)果載荷分布與初始構(gòu)型大致相同，但各個截面的后加載更大，因此低頭力矩有所增加。圖13為PDG優(yōu)化-2的表面壓力分布，可以看出壓力分布形態(tài)擁有較好的展向一致性。而且PDG方法的結(jié)果在壓力分布形態(tài)上也更符合工程設(shè)計要求，進一步體現(xiàn)了PDG優(yōu)化設(shè)計方法在工程領(lǐng)域應(yīng)用的優(yōu)勢和有效性。

表3 壓力分布引導(dǎo)的優(yōu)化目標(biāo)和約束Table 3 Objectives and constraints of PDG optimization

圖8 PDG優(yōu)化的帕累托前緣Fig.8 Pareto front of PDG optimization

圖9 優(yōu)化結(jié)果升力-力矩曲線對比Fig.9 Comparison of lift-moment curves of different optimization results

圖10 優(yōu)化結(jié)果馬赫數(shù)-阻力曲線對比Fig.10 Comparison of Mach number-drag curves of different optimization results

圖11 優(yōu)化結(jié)果機翼截面壓力分布對比Fig.11 Comparison of wing section pressure distributions of typical optimization results

圖12 優(yōu)化結(jié)果機翼展向升力系數(shù)分布對比Fig.12 Comparison of wing span lift coefficient distributions of typical optimization results

圖13 PDG優(yōu)化-2機翼表面壓力分布Fig.13 Pressure distribution on wing surface of PDG optimization result 2

6 結(jié) 論

真實飛機設(shè)計過程的復(fù)雜性給優(yōu)化設(shè)計方法帶來了額外的挑戰(zhàn)，需要對優(yōu)化設(shè)計方法的目標(biāo)、約束以及優(yōu)化方法本身進行改進以適應(yīng)于工程應(yīng)用的需要。

1) 總結(jié)了氣動優(yōu)化中常用的幾種優(yōu)化算法的優(yōu)勢和不足，并對遠程客機機翼氣動優(yōu)化中的應(yīng)用效果進行對比。分析了基于伴隨方法的以巡航阻力為目標(biāo)的單目標(biāo)梯度優(yōu)化、以3個典型工況阻力為目標(biāo)的多目標(biāo)多約束優(yōu)化以及基于RBF響應(yīng)面輔助的差分進化算法的多目標(biāo)優(yōu)化方法在機翼設(shè)計中的表現(xiàn)。

2) 針對現(xiàn)代客機機翼氣動優(yōu)化設(shè)計中的諸多工程設(shè)計目標(biāo)與要求，定量化給出了關(guān)鍵壓力分布形態(tài)特征的定義和工程要求，并提出了在機翼氣動優(yōu)化設(shè)計中的使用方法。

3) “壓力分布引導(dǎo)”的優(yōu)化設(shè)計方法將多工況性能參數(shù)和壓力分布形態(tài)綜合體現(xiàn)在優(yōu)化設(shè)計過程和準(zhǔn)則中，不強行指定壓力分布，通過種群引導(dǎo)使優(yōu)化向改善性能和期望壓力分布形態(tài)方向發(fā)展，更有利于獲得合理的結(jié)果，并協(xié)調(diào)可能出現(xiàn)的矛盾。