王強(qiáng)，馬志賽，張欣，劉艷，丁千,*

1. 天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300350 2. 天津市非線性動(dòng)力學(xué)與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300350 3. 北京電子工程總體研究所，北京 100854

為了滿足存儲(chǔ)、運(yùn)輸過(guò)程中節(jié)省空間的要求，很多飛行器會(huì)采用折疊舵面結(jié)構(gòu)，如艦載飛機(jī)機(jī)翼、導(dǎo)彈彈翼等。但由于加工生產(chǎn)中的超差、裝配誤差以及使用磨損等因素，折疊舵面中不可避免地存在著間隙。間隙非線性是折疊舵面結(jié)構(gòu)最為常見的一種集中式結(jié)構(gòu)非線性，它的存在會(huì)改變折疊舵面的剛度特性，進(jìn)而對(duì)飛行器的氣動(dòng)彈性特性(包括顫振特性和動(dòng)力學(xué)響應(yīng))產(chǎn)生重要影響[1-3]。趙永輝和胡海巖[4]研究了操縱面自由度具有間隙的二元翼段顫振特性，發(fā)現(xiàn)鉸鏈間隙的存在會(huì)使機(jī)翼發(fā)生極限環(huán)振蕩和跳躍。Gold和Karpel[5]研究了具有鉸鏈間隙非線性的控制面對(duì)飛機(jī)飛行的影響，發(fā)現(xiàn)鉸鏈剛度的間隙非線性會(huì)引起飛機(jī)結(jié)構(gòu)的極限環(huán)振蕩。Behal和Rao[6]基于有限元建立含間隙非線性的三元機(jī)翼模型，研究了副翼結(jié)構(gòu)特性的變化對(duì)機(jī)翼顫振特性的影響。遲圣威[7]建立了可折疊機(jī)翼的有限元模型，研究鉸鏈折疊角和剛度變化對(duì)顫振特性的影響，結(jié)果表明在鉸鏈剛度和折疊角的改變過(guò)程中顫振的不穩(wěn)定分支會(huì)發(fā)生改變。Abdelkefi等[8]采用三次多項(xiàng)式表征間隙的非線性連接剛度，并基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)二元翼段的非線性連接剛度進(jìn)行了分析。

近年來(lái)，一些學(xué)者基于模態(tài)綜合法[9]對(duì)折疊舵面動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了分析。Kim[10]和Bae[11]等運(yùn)用模態(tài)綜合法和恢復(fù)力曲面法對(duì)典型折疊舵面結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)間隙非線性可以由分段雙線性連接剛度表示。全祎倬和方明霞[12]利用自由界面模態(tài)綜合法得到機(jī)翼顫振特性，結(jié)果表明隨著馬赫數(shù)的提高，飛行器的顫振速度呈下降趨勢(shì)，而顫振頻率的變化不明顯。倪迎鴿等[13]采用模態(tài)綜合法，分析了具有間隙非線性的折疊機(jī)翼的氣動(dòng)彈性，結(jié)果表明在間隙量很小的情況下，極限環(huán)也不可避免。楊寧[14-15]和Wu[16-17]等采用雙協(xié)調(diào)自由界面模態(tài)綜合法，建立并分析了多自由度結(jié)構(gòu)非線性折疊翼面的動(dòng)力學(xué)特性。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞含間隙折疊舵面的動(dòng)態(tài)特性分析進(jìn)行了大量研究，但仍存在諸多問題有待解決。在運(yùn)用模態(tài)綜合法分析含間隙折疊舵面動(dòng)態(tài)特性時(shí)，現(xiàn)有研究大多建立在已知連接界面處間隙非線性連接剛度的假設(shè)下，而真實(shí)結(jié)構(gòu)的間隙非線性連接剛度往往是未知或難以測(cè)量的。本文在對(duì)含間隙折疊舵面的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，采用模態(tài)綜合法對(duì)折疊舵面的有限元模型進(jìn)行降階，進(jìn)而通過(guò)模型修正得到連接界面處的間隙非線性連接剛度，完成含間隙折疊舵面的非線性動(dòng)力學(xué)模型建立，為開展含間隙折疊舵面的非線性動(dòng)態(tài)特性分析提供技術(shù)基礎(chǔ)。

1 折疊舵面的有限元模型

1.1 折疊舵面結(jié)構(gòu)

折疊舵面結(jié)構(gòu)分為內(nèi)舵和外舵2部分，內(nèi)舵和外舵通過(guò)銷軸連接，內(nèi)舵根部固定，用以模擬與彈體的連接，如圖1所示。

銷軸間隙產(chǎn)生的非線性恢復(fù)力-位移關(guān)系由圖2所示，其中間隙非線性特性由間隙尺寸δ和接觸剛度Kθ這2個(gè)參數(shù)來(lái)描述[18]。其表達(dá)式為

(1)

圖1 折疊舵面結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of a folding fin

式中：θ為轉(zhuǎn)角；f(θ)為力矩。當(dāng)間隙量δ=0 rad 時(shí)，力矩變?yōu)殛P(guān)于θ的線性函數(shù)。

折疊舵面的材料選擇鋁合金材料，材料屬性如表1所示。

圖2 間隙非線性剛度特性Fig.2 Freeplay nonlinear stiffness characteristics

表1 折疊舵面的材料屬性Table 1 Material properties of folding fin

1.2 有限元建模

采用不同厚度的殼單元對(duì)折疊舵面的內(nèi)舵和外舵進(jìn)行建模，如圖3所示。由于實(shí)際結(jié)構(gòu)的內(nèi)舵和外舵之間通過(guò)銷軸連接，因此在建模這個(gè)環(huán)節(jié)，銷軸的建模最為重要。分析結(jié)構(gòu)的物理特性，可將實(shí)際結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為3組鉸鏈連接。利用MPC多點(diǎn)約束單元將鉸鏈連接處除了繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度以外，其他的自由度全部約束，實(shí)現(xiàn)對(duì)內(nèi)外舵面銷軸連接的模擬。圖3給出了3組鉸鏈的編號(hào)及位置，由于鉸鏈①不提供繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛度，結(jié)構(gòu)繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛度僅由鉸鏈②和鉸鏈③提供，因此令鉸鏈②和鉸鏈③繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為Kθ，鉸鏈①繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛度恒為零。

圖3 折疊舵面的有限元模型Fig.3 Finite element model of folding fin

2 折疊舵面的子結(jié)構(gòu)模型

動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)法可以從量級(jí)上大幅度減縮系統(tǒng)的自由度而不改變問題的本質(zhì)，其基本思想是：把大型復(fù)雜系統(tǒng)人為地抽象成若干個(gè)子結(jié)構(gòu)，先對(duì)自由度較少的子結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，保留其低階主要模態(tài)信息，再根據(jù)各個(gè)子結(jié)構(gòu)的界面協(xié)調(diào)條件，組裝成整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性[19]。

對(duì)于含間隙折疊舵面，間隙的變化會(huì)改變結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)特性，需要相應(yīng)的非線性動(dòng)力學(xué)處理手段來(lái)建模與分析。本節(jié)采用雙協(xié)調(diào)自由界面模態(tài)綜合法[16]建立非線性折疊舵面的子結(jié)構(gòu)模型，該模型可以將鉸鏈連接處非線性自由度保留在最終的廣義坐標(biāo)中，便于求解分析。

2.1 子結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程

折疊舵面由內(nèi)舵和外舵通過(guò)鉸鏈連接而成，因此可以將模型分為2個(gè)子結(jié)構(gòu)，其中內(nèi)舵為子結(jié)構(gòu)a，外舵為子結(jié)構(gòu)b。假設(shè)子結(jié)構(gòu)離散后的有限元模型是n自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程為

(2)

式中：M和K分別質(zhì)量和剛度矩陣；f為節(jié)點(diǎn)力列陣(只有對(duì)應(yīng)界面自由度的位置才有非零元素)；fJ為界面力列陣；BT為投影矩陣[20]。

傳統(tǒng)自由界面模態(tài)綜合法減縮自由度時(shí)，僅保留了低階主模態(tài)Φk，略去了全部高階主模態(tài)影響，故綜合出來(lái)的結(jié)果誤差較大。而在雙協(xié)調(diào)自由界面模態(tài)綜合法中，引入剩余模態(tài)Ψd來(lái)表示這些高階主模態(tài)[21]。即分別使用低階保留模態(tài)Φk和剩余模態(tài)Ψd進(jìn)行自由度減縮:

u=Φkpk+Ψdpd

(3)

式中:pk和pd分別為保留和剩余模態(tài)坐標(biāo)。

第1次坐標(biāo)變換，將式(3)代入子結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程式(2)中并左乘[ΦkΨd]T，得到子結(jié)構(gòu)的主模態(tài)均關(guān)于其質(zhì)量陣正交歸一的運(yùn)動(dòng)方程。

[ΦkΨd]TBTfJ

(4)

式中:界面力fJ和保留模態(tài)坐標(biāo)pk一樣，也是一種廣義坐標(biāo)，且界面力fJ根據(jù)界面協(xié)調(diào)條件在模態(tài)綜合時(shí)被消去;Ik和Md分別為保留和剩余質(zhì)量陣；Λk和Kd分別為保留和剩余剛度陣。

2.2 子結(jié)構(gòu)的剩余模態(tài)

對(duì)于工程結(jié)構(gòu)，一般只能計(jì)算得到結(jié)構(gòu)的低階保留主模態(tài)Φk，不能獲得結(jié)構(gòu)的高階模態(tài)。下面給出在只保留低階主模態(tài)Φk的情況下，求解剩余模態(tài)Ψd的途徑[19, 22]。

當(dāng)子結(jié)構(gòu)無(wú)剛體模態(tài)時(shí)

Ψd=K-1BT-G

(5)

式中：G為子結(jié)構(gòu)柔度矩陣。

當(dāng)子結(jié)構(gòu)有剛體模態(tài)時(shí)，K-1不存在，所以不能用式(5)計(jì)算剩余模態(tài)。為此，必須首先把剛體模態(tài)分離出來(lái)。此時(shí)剩余模態(tài)Ψd表達(dá)式為

(6)

2.3 剛彈混合連接的雙協(xié)調(diào)條件

將子結(jié)構(gòu)a和b模態(tài)坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程式(4)合并

(7)

式中：pa=[pakfaJ]；pb=[pbkfbJ]。由于間隙非線性的存在，相應(yīng)的界面自由度之間存在彈性連接，界面相應(yīng)的自由度間并不相等，而是存在著一定的差值δ。但界面力是作用力與反作用力，仍然存在著相等的關(guān)系，則協(xié)調(diào)條件為[15-17]

(8)

式中：r代表剛性連接；e代表彈性連接。

由于轉(zhuǎn)角自由度差值δ與保留模態(tài)廣義坐標(biāo)無(wú)關(guān)，因此也作為廣義坐標(biāo)保留在最終方程中，為消除廣義坐標(biāo)中不獨(dú)立的坐標(biāo)，對(duì)方程進(jìn)行第2次坐標(biāo)變換，可表示為

(9)

式中：坐標(biāo)變換矩陣T為

其中：

通過(guò)此種變換方法，僅需要在對(duì)應(yīng)彈性連接的位置引入彈性連接剛度，大大縮減了計(jì)算量。

2.4 系統(tǒng)的整體動(dòng)力學(xué)方程

應(yīng)用雙協(xié)調(diào)條件式(8)及變換矩陣式(9)對(duì)運(yùn)動(dòng)方程式(7)進(jìn)行坐標(biāo)變換，消去它們之間的相關(guān)坐標(biāo)，可得到廣義坐標(biāo)均獨(dú)立的整體動(dòng)力學(xué)方程:

(10)

式中:ke為彈性連接剛度。

由彈性自由度協(xié)調(diào)關(guān)系得，fbJ=keδ。在式(10)中恢復(fù)力與廣義位移均顯示表達(dá)，當(dāng)恢復(fù)力為非線性恢復(fù)力時(shí)，恢復(fù)力可以表示為fbJ=knon(δ)δ(knon為間隙非線性剛度)，即非線性連接剛度與元件兩端轉(zhuǎn)角自由度差值的乘積。

由于方程式(10)計(jì)算得到的響應(yīng)是廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)，因此還需要對(duì)得到的響應(yīng)進(jìn)行2次坐標(biāo)變換，得到物理坐標(biāo)下結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng):

(11)

3 折疊舵面的動(dòng)態(tài)特性分析

3.1 子結(jié)構(gòu)模型驗(yàn)證

在僅保留子結(jié)構(gòu)a和b前5階彈性模態(tài)的情況下，檢驗(yàn)折疊舵面子結(jié)構(gòu)模型的精度。有限元模型和子結(jié)構(gòu)模型的鉸鏈連接處采用相同的線性連接剛度(間隙為零)Kθ，在不同的連接剛度情況下，對(duì)比了整體結(jié)構(gòu)前5階固有頻率，如表2所示?？梢钥闯鼋?jīng)過(guò)子結(jié)構(gòu)法減縮的系統(tǒng)能夠?qū)τ邢拊Ｐ偷哪B(tài)進(jìn)行較好地逼近。

在線性連接剛度為103N·m/rad和相同正弦激勵(lì)下，對(duì)比有限元模型與子結(jié)構(gòu)模型的響應(yīng)。激勵(lì)點(diǎn)與響應(yīng)點(diǎn)位置如圖3所示，計(jì)算得到的響應(yīng)信號(hào)如圖4所示?？梢钥闯?，子結(jié)構(gòu)模型和有限元模型的響應(yīng)信號(hào)吻合較好，即降階后的子結(jié)構(gòu)模型可用于表征有限元模型的動(dòng)力學(xué)特性。

表2 不同連接剛度下固有頻率對(duì)比
Table 2 Comparison of natural frequencies under different stiffnesses

連接剛度/(N·m·rad-1)有限元模型/Hz子結(jié)構(gòu)模型/Hz誤差/%16.7215.815.4458.8160.282.441094.0295.311.37132.40132.420.02416.20415.340.2144.2644.731.0662.9064.502.48103132.40132.420.02176.76178.010.71459.98456.270.81

圖4 響應(yīng)信號(hào)對(duì)比Fig.4 Comparison of response signals

3.2 有限元模型驗(yàn)證

分別使用振動(dòng)臺(tái)和力錘對(duì)不含間隙的折疊舵面進(jìn)行掃頻和模態(tài)實(shí)驗(yàn)。進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn)時(shí)，采用力錘激勵(lì)，在折疊舵面上布置9個(gè)測(cè)點(diǎn)，如圖5所示。為了消除傳感器附加質(zhì)量對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響，使用振動(dòng)臺(tái)進(jìn)行掃頻實(shí)驗(yàn)，僅在圖5所示激勵(lì)點(diǎn)處布置1個(gè)傳感器。

首先使用振動(dòng)臺(tái)對(duì)不含間隙折疊舵面進(jìn)行掃頻實(shí)驗(yàn)，得到結(jié)構(gòu)前2階固有頻率分別為44.08 Hz和63.28 Hz，如圖6所示。

圖5 折疊舵面的實(shí)驗(yàn)裝置Fig.5 Experimental setup of folding fin

圖6 線性實(shí)驗(yàn)掃頻曲線(δ=0)Fig.6 Experimental linear sweep curves (δ=0)

由于在有限元模型中把實(shí)際結(jié)構(gòu)的銷軸簡(jiǎn)化為MPC多點(diǎn)約束單元，因此連接剛度Kθ為實(shí)際結(jié)構(gòu)的等效連接剛度。通過(guò)模態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果直接修正有限元模型的等效剛度，計(jì)算量大，不易操作[23]。因此選用子結(jié)構(gòu)模型的動(dòng)力學(xué)方程(10)對(duì)連接剛度進(jìn)行修正。通過(guò)模型修正得到等效線性連接剛度為590 N·m/rad，在該連接剛度下對(duì)比了不同模型的前2階固有頻率，如表3所示。在等效線性連接剛度下，通過(guò)有限元模型和子結(jié)構(gòu)模型得到的固有頻率計(jì)算值與不含間隙折疊舵面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果十分接近。

表3 固有頻率結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of natural frequency results

其次使用力錘激勵(lì)對(duì)折疊舵面進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn)，獲取其前2階模態(tài)振型，并與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖7和圖8所示。由圖可知，雖然實(shí)驗(yàn)布置的測(cè)點(diǎn)數(shù)目有限，模態(tài)振型的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相對(duì)粗糙，但模態(tài)振型的有限元計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本吻合。綜上，通過(guò)子結(jié)構(gòu)模型修正得到的等效線性連接剛度能夠較好地描述真實(shí)結(jié)構(gòu)的連接特性，所建立的動(dòng)力學(xué)模型可用于折疊舵面的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)預(yù)測(cè)。

此外，觀察結(jié)構(gòu)前2階振型可以看出，結(jié)構(gòu)第1 階振型是彎曲模態(tài)，第2階振型是扭轉(zhuǎn)模態(tài)。結(jié)合表2不同連接剛度下前2階固有頻率的對(duì)比結(jié)果，可以看出連接剛度主要影響結(jié)構(gòu)第1階彎曲模態(tài)頻率，對(duì)第2階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率影響相對(duì)較小。

圖7 第1階模態(tài)振型對(duì)比Fig.7 Comparison of the first mode shapes

圖8 第2階模態(tài)振型對(duì)比Fig.8 Comparison of the second mode shapes

3.3 非線性動(dòng)態(tài)特性分析

在不同的間隙下，將圖2所示的分段剛度取為等效線性連接剛度590 N·m/rad，即將等效線性連接剛度與間隙值組合，得到不同間隙下的非線性連接剛度?；谧咏Y(jié)構(gòu)模型對(duì)不同間隙下的折疊舵面進(jìn)行仿真掃頻，對(duì)比仿真和實(shí)驗(yàn)掃頻結(jié)果，如圖9～圖11所示。

表4定量對(duì)比了在不同間隙下仿真與實(shí)驗(yàn)的掃頻結(jié)果。隨著間隙的增大，結(jié)構(gòu)前2階頻率對(duì)應(yīng)的峰值位置逐漸降低，但第1階頻率處出現(xiàn)了明顯的非線性跳躍現(xiàn)象，正掃與反掃的峰值位置逐漸分離，而第2階頻率正掃與反掃的峰值位置基本重合。仿真與實(shí)驗(yàn)掃頻結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證了非線性動(dòng)力學(xué)模型的精度及其在含間隙折疊舵面非線性動(dòng)態(tài)特性分析中的可行性。

圖9 線性仿真掃頻曲線(δ=0 rad)Fig.9 Curves of simulated linear sweep (δ=0 rad)

圖10 非線性掃頻曲線(δ=0.013 rad)Fig.10 Curves of nonlinear sweep (δ=0.013 rad)

圖11 非線性掃頻曲線(δ=0.04 rad)Fig.11 Curves of nonlinear sweep (δ=0.04 rad)

表4 掃頻結(jié)果對(duì)比Table 4 Comparison of sweep results

4 結(jié) 論

1) 采用雙協(xié)調(diào)自由界面模態(tài)綜合法對(duì)非線性連接系統(tǒng)的線性主體部件有限元模型進(jìn)行減縮，可降低模型規(guī)模，提高計(jì)算效率。

2) 針對(duì)本文中的折疊舵面結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的線性連接剛度可通過(guò)模型修正獲得，而間隙非線性連接剛度可由得到的等效線性連接剛度和間隙值組合而成。

3) 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所建立非線性動(dòng)力學(xué)模型的精度，為開展含間隙折疊舵面的非線性動(dòng)態(tài)特性分析提供了技術(shù)基礎(chǔ)。