羅佳奇，楊婧

1. 浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院，杭州 310027 2. 德州農(nóng)工大學(xué) 機(jī)械工程系, College Station TX 77843

隨著高性能計(jì)算的快速發(fā)展，基于計(jì)算流體力學(xué)(CFD)的優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)在葉輪機(jī)械葉片氣動(dòng)設(shè)計(jì)中已經(jīng)得到了應(yīng)用?；贑FD的氣動(dòng)設(shè)計(jì)優(yōu)化(ADO)不僅能夠縮短研制周期、降低成本，相對(duì)于依靠設(shè)計(jì)者經(jīng)驗(yàn)的設(shè)計(jì)方法還能提高設(shè)計(jì)結(jié)果精度。對(duì)于壓氣機(jī)而言，通過優(yōu)化葉片氣動(dòng)外形增加壓比、降低流動(dòng)損失對(duì)于提高壓氣機(jī)氣動(dòng)性能具有重要意義。

目前得到應(yīng)用的優(yōu)化方法分為兩類：梯度方法和非梯度方法。進(jìn)化算法[1-3]和代理模型[4]是典型的非梯度方法。Benini[2]采用進(jìn)化算法對(duì)跨聲速壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子葉片NASA Rotor 37的中弧線和厚度分布進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，Lian和Liou[3]采用進(jìn)化算法和代理模型對(duì)跨聲速壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子葉片NASA Rotor 67進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，Samad等[4]采用多層次代理模型對(duì)轉(zhuǎn)子葉片的葉片掠、葉片傾斜及葉片彎進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。上述非梯度方法雖然在葉輪機(jī)械A(chǔ)DO中已經(jīng)得到應(yīng)用，但是對(duì)于多設(shè)計(jì)參數(shù)的復(fù)雜ADO問題，尤其是需要通過求解Navier-Stokes方程計(jì)算流場(chǎng)時(shí)，將需要大量的計(jì)算資源，制約了這類方法的工程應(yīng)用。

基于靈敏度分析的優(yōu)化方法在葉輪機(jī)械A(chǔ)DO中得到了應(yīng)用，直接差分法(FDM)和伴隨方法是兩種常用的靈敏度計(jì)算方法。采用FDM計(jì)算靈敏度時(shí)，所需的流場(chǎng)計(jì)算次數(shù)和設(shè)計(jì)參數(shù)線性相關(guān)。在20世紀(jì)80年代，Jameson[5]成功地將伴隨方法應(yīng)用于飛行器氣動(dòng)外形優(yōu)化設(shè)計(jì)。采用伴隨方法，每個(gè)氣動(dòng)函數(shù)的靈敏度計(jì)算只需要大約兩次流場(chǎng)計(jì)算，計(jì)算時(shí)間和設(shè)計(jì)參數(shù)個(gè)數(shù)基本無關(guān)。之后，基于伴隨方法的翼型、機(jī)翼以及翼身組合體ADO研究得到了迅速發(fā)展[5-9]。由于靈敏度計(jì)算的高效性和精確性，伴隨方法在葉輪機(jī)械A(chǔ)DO中的應(yīng)用也越來越廣泛[10-19]。Luo等[17-18]開展了基于伴隨方法的跨聲速壓氣機(jī)葉片的多工況、多目標(biāo)ADO研究。近年來，摻混面模型方法也應(yīng)用于伴隨方程的數(shù)值求解，推動(dòng)了基于伴隨方法的葉輪機(jī)械多排ADO研究的發(fā)展[13,14,16,20]。

本文將發(fā)展一種基于摻混面模型的葉輪機(jī)械多排伴隨方法，并應(yīng)用于某型低速、低壓比壓氣機(jī)ADO。首先采用自主開發(fā)的初步設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)4.5級(jí)壓氣機(jī)葉片的氣動(dòng)外形，通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)：最后級(jí)靜子葉片的端壁和吸力面角區(qū)內(nèi)存在較大分離，嚴(yán)重影響了壓氣機(jī)效率。之后介紹適用于多排ADO的伴隨方法，并在近失速工況下對(duì)最后級(jí)靜子葉片的中弧線及安裝角進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化目標(biāo)是降低出口熵增，同時(shí)約束出口流量。最后開展多工況ADO，在兩個(gè)不同轉(zhuǎn)速下進(jìn)行最后級(jí)靜子葉片的外形優(yōu)化設(shè)計(jì)，分析外形優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)設(shè)計(jì)工況、非設(shè)計(jì)工況氣動(dòng)性能的影響。

1 壓氣機(jī)初步設(shè)計(jì)

該低速4.5級(jí)壓氣機(jī)由第1排進(jìn)口導(dǎo)葉和后4級(jí)葉排構(gòu)成，給定設(shè)計(jì)壓比和等熵效率。在初步設(shè)計(jì)之前需要確定一些前提條件：?jiǎn)渭?jí)多變效率和壓氣機(jī)相等，給定單級(jí)溫比，壓氣機(jī)進(jìn)口到導(dǎo)葉出口的面積收縮率等。采用基于經(jīng)驗(yàn)修正[21]的4.5級(jí)壓氣機(jī)初步設(shè)計(jì)的基本流程為：

第1步 給定效率初值，確定壓氣機(jī)進(jìn)、出口流道幾何參數(shù)、速度三角形和氣動(dòng)參數(shù)。

第2步 根據(jù)給定的溫升分布、靜子出口氣流角和流道參數(shù)等，進(jìn)行逐級(jí)設(shè)計(jì)，迭代計(jì)算各級(jí)轉(zhuǎn)子、靜子出口截面的相關(guān)參數(shù)。

第3步 計(jì)算整機(jī)壓比和效率，判斷是否滿足設(shè)計(jì)條件，如果不滿足則用計(jì)算效率替代初始效率，重復(fù)設(shè)計(jì)。

第4步 采用簡(jiǎn)單徑向平衡方程確定輪轂和機(jī)匣的相關(guān)參數(shù)。

第5步 確定壓氣機(jī)軸向尺寸，進(jìn)行二維葉片造型和徑向堆積。

圖1為該4.5級(jí)壓氣機(jī)輪轂、葉中和機(jī)匣處的葉型，圖中：x表示 軸向，Rθ表示周向。值得注意的是：初步設(shè)計(jì)時(shí)，導(dǎo)葉和靜子葉片均采用直葉片設(shè)計(jì)。流場(chǎng)分析發(fā)現(xiàn)：直葉片設(shè)計(jì)使得在前三級(jí)的影響下，最后級(jí)靜子葉片的端壁和吸力面角區(qū)流動(dòng)分離嚴(yán)重；因而，該初步設(shè)計(jì)的4.5級(jí)壓氣機(jī)存在較大優(yōu)化空間，可以通過葉片外形優(yōu)化設(shè)計(jì)抑制流動(dòng)分離，提高壓氣機(jī)氣動(dòng)性能。

圖1 3個(gè)不同徑向位置4.5級(jí)壓氣機(jī)葉片葉型Fig.1 Blade profiles of the 4.5-stage axial compressor at three different spans

2 氣動(dòng)設(shè)計(jì)優(yōu)化

ADO的流場(chǎng)計(jì)算采用流場(chǎng)求解器Turbo90[22-24]，給定目標(biāo)函數(shù)及優(yōu)化約束的數(shù)學(xué)建模以確定伴隨方程的邊界條件并實(shí)現(xiàn)數(shù)值求解。確定伴隨靈敏度后，采用簡(jiǎn)單、易實(shí)現(xiàn)的最速下降法來進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，氣動(dòng)外形擾動(dòng)步長(zhǎng)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)給定。

2.1 流場(chǎng)數(shù)值模擬

壓氣機(jī)最后級(jí)的流場(chǎng)通過求解雷諾平均Navier-Stokes (RANS)方程及Spalart-Allmaras (SA) 湍流模型[25]確定。采用多重網(wǎng)格、隱式殘值光順、當(dāng)?shù)貢r(shí)間步長(zhǎng)等技術(shù)加速計(jì)算收斂。最后級(jí)進(jìn)口流動(dòng)參數(shù)如總壓、總溫、流動(dòng)角由4.5級(jí)壓氣機(jī)流場(chǎng)數(shù)值模擬結(jié)果給定，出口處給定輪轂壓力并由徑向平衡方程及其他流動(dòng)參數(shù)確定壓力徑向分布，轉(zhuǎn)-靜交接面上采用摻混面模型[26]實(shí)現(xiàn)流場(chǎng)連續(xù)求解，并采用無反射邊界條件[27]。本文所采用的Mixed-out摻混面模型能夠保證交接面上流量、動(dòng)量和能量的通量守恒，其詳細(xì)數(shù)學(xué)形式參考附錄A。

計(jì)算采用H-型結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，不考慮葉尖間隙影響，S1及S2流面網(wǎng)格如圖2所示。首先在3套不同的網(wǎng)格上進(jìn)行流向和周向網(wǎng)格無關(guān)性研究，徑向網(wǎng)格數(shù)固定為73，由此確定收斂的流向網(wǎng)格數(shù)；之后在3套不同網(wǎng)格上進(jìn)行周向和徑向網(wǎng)格無關(guān)性研究，葉面流向網(wǎng)格數(shù)固定，周向和徑向網(wǎng)格增長(zhǎng)比為2。網(wǎng)格無關(guān)性研究的具體實(shí)現(xiàn)流程可參考本文作者前期工作[19]。表1為近失速工況下周向和徑向網(wǎng)格無關(guān)性研究結(jié)果，包括：歸一化流量、靜子效率、級(jí)效率、壓比。由表可知：相對(duì)于網(wǎng)格2與網(wǎng)格1的流場(chǎng)偏差，網(wǎng)格3與網(wǎng)格2的流場(chǎng)偏差明顯減小，流量、級(jí)效率的相對(duì)偏差分別為0.31%和0.46%，壓比偏差接近于零。后續(xù)研究將采用網(wǎng)格2，轉(zhuǎn)子和靜子的網(wǎng)格規(guī)模均為：葉面流向97、周向49、徑向57個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)。

實(shí)際上，為了進(jìn)一步證實(shí)網(wǎng)格無關(guān)性解的有效性，研究中對(duì)優(yōu)化后的最后級(jí)也采用了相同規(guī)模的密網(wǎng)格(網(wǎng)格3)進(jìn)行流場(chǎng)數(shù)值模擬，其氣動(dòng)性能也得到了提升。

圖2 最后級(jí)網(wǎng)格Fig.2 Grids for the last stage

表1 網(wǎng)格無關(guān)性解Table 1 Independent grid solutions

2.2 參數(shù)化建模

中弧線、厚度分布、安裝角是葉片的3個(gè)重要設(shè)計(jì)參數(shù)。本文的ADO研究中，只改變最后級(jí)靜子葉片的中弧線和安裝角徑向分布，其厚度分布不變。中弧線的變化通過疊加Hicks-Henne型函數(shù)[28]實(shí)現(xiàn)，安裝角變化在前期工作中已經(jīng)介紹[15]。選取10%、15%、20%、30%、70%、80%、85%、90%這8個(gè)徑向位置，每個(gè)徑向位置的安裝角都作為設(shè)計(jì)參數(shù)，葉型中弧線變化由8個(gè)型函數(shù)疊加確定；共有72個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)。

圖3為葉型中弧線變化和安裝角變化的幾何示意圖，其中：δ表示變化量，下標(biāo) camber 和 stagger 分別表示中弧線和安裝角。

葉型變化后，在原始網(wǎng)格基礎(chǔ)上采用插值網(wǎng)格擾動(dòng)技術(shù)[7]重新生成計(jì)算網(wǎng)格：

xnew=xold+r(xW,new-xW,old)

(1)

式中：x表示網(wǎng)格坐標(biāo)；下標(biāo) old和 new 分別表示原始和更新后的網(wǎng)格,W表示葉面網(wǎng)格點(diǎn)；r為歸一化的空間距離，在葉面網(wǎng)格點(diǎn)r=1。

圖3 設(shè)計(jì)參數(shù)變化Fig.3 Design parameter variations

2.3 目標(biāo)函數(shù)

本文ADO的主要目標(biāo)是降低流動(dòng)損失，同時(shí)約束出口流量。葉輪機(jī)械的流動(dòng)損失可以用熵增來衡量，因而目標(biāo)函數(shù)定義為

I=Sgen+Λ|σ-1|

(2)

式中：σ表示設(shè)計(jì)流量與原始流量的比值；Λ為約束系數(shù)；Sgen表示平均熵增，定義為

(3)

其中：Δs表示每個(gè)單元上的熵增，其定義見文獻(xiàn)[15]。

基于伴隨方法的多工況ADO方法在前期工作中已經(jīng)介紹[17]，定義加權(quán)目標(biāo)函數(shù)為

(4)

式中：I表示氣動(dòng)參數(shù)；M為工況數(shù)；λi表示權(quán)重且滿足 ∑λi=1。相應(yīng)地，靈敏度計(jì)算表達(dá)式為

(5)

式中：Gi表示不同工況下的氣動(dòng)參數(shù)靈敏度。

本文研究采用最速下降法作為優(yōu)化方法，所需要的靈敏度由伴隨方法計(jì)算。接下來將重點(diǎn)介紹伴隨方法的基本原理。

3 伴隨方法

伴隨方法基本原理較為成熟，這里只作簡(jiǎn)單介紹。定義I為氣動(dòng)參數(shù)，一般與流場(chǎng)w和氣動(dòng)外形相關(guān)，而氣動(dòng)外形與設(shè)計(jì)參數(shù)V相關(guān)，即

I=I(w,V)

(6)

氣動(dòng)參數(shù)關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度為

(7)

式中：右端第1、第2項(xiàng)分別表示流場(chǎng)變分、氣動(dòng)外形變分對(duì)靈敏度的影響，靈敏度計(jì)算的關(guān)鍵是流場(chǎng)變分的計(jì)算。如果采用FDM計(jì)算靈敏度，雖然原理簡(jiǎn)單，但是計(jì)算效率偏低。值得注意的是，流場(chǎng)和設(shè)計(jì)參數(shù)滿足流體力學(xué)方程R，即

R(w,V)=0

(8)

類似于方程(7)，方程(8)可以寫成

(9)

伴隨方法的主要目標(biāo)是通過將流體力學(xué)方程作為約束引入到靈敏度計(jì)算中，消除流場(chǎng)變分對(duì)靈敏度計(jì)算的影響。定義伴隨變量Ψ=[Ψ1,Ψ2,Ψ3,Ψ4,Ψ5]T，將伴隨變量與方程(9)相乘后再與方程(7)相減，有

(10)

若方程(10)右端第1項(xiàng)的系數(shù)為零，即

(11)

則有

(12)

方程(11)稱為方程(8)的伴隨方程，Ψ為伴隨變量，方程(12)為靈敏度計(jì)算公式且與流場(chǎng)變分無關(guān)。由此可知：只需求解一次流體力學(xué)方程和一次伴隨方程，即可由方程(12)計(jì)算氣動(dòng)參數(shù)I的靈敏度。此外，伴隨方程是線性方程組，可以采用和RANS方程相同的數(shù)值格式進(jìn)行求解[11,29]。

Giles和Pierce[29]指出了伴隨方程進(jìn)、出口邊界條件確定方法：伴隨方程的特征線方向與流體力學(xué)方程相反。對(duì)于多排壓氣機(jī)葉片，轉(zhuǎn)子出口、靜子入口的伴隨方程邊界條件需要采用摻混面方法[13,16]確定。本文采用基于Mixed-out摻混面模型的伴隨摻混面方法，首先計(jì)算伴隨通量Fa1、Fa2、Fa3、Fa4和Fa5：

(13)

式中：r、p、H分別表示密度、壓力和總焓；ds為面積單元；u=[ux,uθ,ur] 表示速度矢量；n為單位法向矢量。之后由方程(13)可以計(jì)算平均伴隨變量Ψa，即

(14)

轉(zhuǎn)-靜交接面上仍采用Giles和Pierce提出的無反射邊界條件。具體實(shí)現(xiàn)流程為[10,13]：在亞聲速交接面下游(對(duì)應(yīng)下游靜子入口)，伴隨特征變量Ψa1、Ψa2、Ψa3、Ψa4由內(nèi)場(chǎng)確定，Ψa5由交接面上游確定；在亞聲速交接面上游(對(duì)應(yīng)上游轉(zhuǎn)子出口)，Ψa1、Ψa2、Ψa3、Ψa4由交接面下游確定，Ψa5由內(nèi)場(chǎng)外插確定。確定所有伴隨特征變量后，伴隨變量Ψa1、Ψa2、Ψa3、Ψa4、Ψa5可通過求解線性方程組確定。

4 結(jié)果分析

在基于伴隨方法的ADO研究中，首先需要對(duì)伴隨靈敏度進(jìn)行精度驗(yàn)證，將基于FDM的靈敏度收斂解作為精確解。圖4給出了30%葉高的靈敏度分布，前8個(gè)為中弧線設(shè)計(jì)參數(shù)靈敏度，第9個(gè)為安裝角變化靈敏度；AD表示伴隨方法。

整體上，從葉片前緣(LE)至葉片中部，伴隨靈敏度與FDM靈敏度較為接近；從葉片中部至葉片尾緣(TE)，伴隨靈敏度與FDM存在一定偏差，主要原因是沒有考慮湍流模型方程的伴隨方程求解，而是采用“定渦”假設(shè)(Frozen Eddy Viscosity)，即忽略湍流變量變分對(duì)靈敏度的影響。實(shí)際上，當(dāng)流動(dòng)分離較大時(shí)，忽略湍流影響會(huì)降低伴隨靈敏度精度[30]。圖4中，后3個(gè)中弧線設(shè)計(jì)參數(shù)(6,7,8)正處于靜子葉片分離區(qū)。雖然精度有所下降，但是伴隨靈敏度的分布與FDM基本一致，本文將采用基于“定渦”假設(shè)的伴隨方法進(jìn)行ADO研究。

圖4 靈敏度對(duì)比Fig.4 Comparisons of gradients

4.1 近失速點(diǎn)單點(diǎn)優(yōu)化

該4.5級(jí)壓氣機(jī)最后級(jí)靜子角區(qū)存在流動(dòng)分離，且在接近失速工況時(shí)分離區(qū)愈大。單點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)在設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速近失速工況下進(jìn)行，約束函數(shù)系數(shù)Λ= 0.4。圖5給出了等熵效率和流量的收斂曲線，流量最大相對(duì)偏差不超過0.1%，約束效果明顯。表2給出了優(yōu)化前后的熵增、流量及靜子和最后級(jí)的等熵效率，優(yōu)化后靜子和級(jí)效率分別增加了約0.29%、0.15%。

研究中采用相同規(guī)模的密網(wǎng)格(表1中的網(wǎng)格3)對(duì)優(yōu)化葉片流場(chǎng)進(jìn)行數(shù)值模擬，表3給出了優(yōu)化前后密網(wǎng)格的計(jì)算結(jié)果。與原始葉片相比，優(yōu)化后靜子和級(jí)效率分別增加了0.28%、0.13%。這種較好的網(wǎng)格一致性結(jié)果進(jìn)一步證實(shí)了本文網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證的有效性及優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的可靠性。

圖6為優(yōu)化前后靜子葉片的氣動(dòng)外形。由圖6(a) 可知：優(yōu)化設(shè)計(jì)后自前緣至20%弦長(zhǎng)，葉片中弧線曲率增加；自20%弦長(zhǎng)至90%弦長(zhǎng)，葉片中弧線曲率降低；葉片氣動(dòng)外形的這種變化將使前緣附近流動(dòng)加速、來流角與葉片前緣角偏差降低，有利于抑制葉背流動(dòng)分離。

圖5 單點(diǎn)優(yōu)化熵增和流量收斂曲線Fig.5 Convergence history of entropy and mass flow rate under one point optimization

表2 不同葉片的氣動(dòng)性能參數(shù)Table 2 Aerodynamic performance parameters of different blades

表3 密網(wǎng)格氣動(dòng)性能參數(shù)Table 3 Aerodynamic performance parameters of fine grid

為了比較分析優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)最后級(jí)流場(chǎng)的影響，圖7給出了靜子吸力面附近的流線，圖8給出了最后級(jí)10%葉高S1流面的馬赫數(shù)云圖。由圖7可知：原始靜子輪轂、機(jī)匣角區(qū)均存在流動(dòng)分離，輪轂角區(qū)尤為明顯；優(yōu)化設(shè)計(jì)使輪轂流動(dòng)分離區(qū)朝尾緣和端壁移動(dòng)，流動(dòng)分離得到了較好抑制；機(jī)匣流動(dòng)分離區(qū)也得到了較好抑制。由圖8可以更好地看出優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)靜子葉片葉背流動(dòng)分離的抑制作用。整體上，對(duì)于低速壓氣機(jī)，流動(dòng)分離區(qū)的減小將是效率增加的主要原因。

圖6 優(yōu)化前后靜子葉片氣動(dòng)外形Fig.6 Stator blade aerodynamic shape before and after optimization

圖7 靜子吸力面附近流線Fig.7 Streamlines near stator suction side

上述優(yōu)化設(shè)計(jì)能夠改善最后級(jí)在指定工況下的氣動(dòng)性能，在壓氣機(jī)全工況范圍內(nèi)對(duì)氣動(dòng)性能的影響更值得關(guān)注。圖9給出了最后級(jí)、靜子葉片的等熵效率η特征工作線。雖然在其他工況條件下氣動(dòng)性能改善并不明顯，但是靜子、級(jí)效率在全工況范圍內(nèi)都得到一定的提升。若對(duì)最后級(jí)的轉(zhuǎn)子葉片也進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，甚至對(duì)整個(gè)4.5級(jí)壓氣機(jī)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過調(diào)整上游葉排對(duì)下游流動(dòng)的影響，將能進(jìn)一步提升壓氣機(jī)氣動(dòng)性能。

值得注意的是：?jiǎn)吸c(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)的工況點(diǎn)遠(yuǎn)離失速邊界，葉背流動(dòng)分離區(qū)較小，通過控制流動(dòng)分離獲得效率提升有限。實(shí)際上，在前期工作中采用基于本征正交分解的混合模型方法對(duì)該型號(hào)壓氣機(jī)最后級(jí)也進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)[31]：工況點(diǎn)距離失速邊界較近，流動(dòng)分離較劇烈，通過最后級(jí)靜子安裝角優(yōu)化使等熵效率提高了1.47%。因此，雖然通過本文的優(yōu)化設(shè)計(jì)獲得的效率提升較為有限，但是由上述分析可知：優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果是可靠的，在工程中仍具有應(yīng)用價(jià)值。

圖8 10%葉高S1流面馬赫數(shù)云圖Fig.8 Mach number contours at 10% span S1 stream surface

圖9 優(yōu)化前后效率工作線Fig.9 Adiabatic efficiency for both original and optimized blades

4.2 多工況優(yōu)化

多工況優(yōu)化設(shè)計(jì)研究中，將對(duì)最后級(jí)靜子葉片在100%設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速的近失速工況(P1)、140%設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速的近失速工況(P2)進(jìn)行中弧線和安裝角的優(yōu)化設(shè)計(jì)。在每個(gè)轉(zhuǎn)速下分別計(jì)算其靈敏度，最后由方程(5)計(jì)算加權(quán)靈敏度，并由最速下降法實(shí)現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì),權(quán)重λ1=λ2=0.5。

圖10給出了兩個(gè)不同轉(zhuǎn)速下(P1和P2)熵增和出口流量的收斂曲線。表4給出了優(yōu)化前后葉片氣動(dòng)性能。值得注意的是：表4中 P2 轉(zhuǎn)速下原始和優(yōu)化葉片的熵增和流量都統(tǒng)一采用 P1 轉(zhuǎn)速下原始葉片的熵增和流量進(jìn)行歸一化處理。多工況優(yōu)化設(shè)計(jì)使靜子效率、級(jí)效率在 P1 轉(zhuǎn)速下分別提升了0.29%和0.15%，在 P2 轉(zhuǎn)速下分別提升了0.24%和0.13%，而兩個(gè)轉(zhuǎn)速下流量偏差都低于0.15%，表明兩個(gè)轉(zhuǎn)速條件下流量都得了較好約束。此外，由表4可知高轉(zhuǎn)速條件下熵增增加，其主要原因是：高轉(zhuǎn)速條件下壓氣機(jī)負(fù)荷增大，角區(qū)分離加劇，流動(dòng)損失增大。

圖10 多工況優(yōu)化熵增和流量收斂曲線Fig.10 Convergence history of entropy and mass flow rate under multi-points optimization

圖11給出了P2轉(zhuǎn)速下最后級(jí)10%葉高S1流面的馬赫數(shù)云圖。值得注意的是：圖11的最大相對(duì)馬赫數(shù)為0.45，遠(yuǎn)高于圖8的0.375。對(duì)比圖11和圖8發(fā)現(xiàn)：隨著轉(zhuǎn)速的提高，原始葉片葉背分離更嚴(yán)重，如圖8(a)和圖11(a)所示；高轉(zhuǎn)速下，通過優(yōu)化設(shè)計(jì)靜子吸力面的分離區(qū)也得到了較好抑制；此外，相對(duì)于圖8，高轉(zhuǎn)速下分離區(qū)的控制效果更加明顯。

上述結(jié)果表明：通過單點(diǎn)、多工況氣動(dòng)外形優(yōu)化設(shè)計(jì)能夠提升近失速工況最后級(jí)的等熵效率。非設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速下氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)優(yōu)化對(duì)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速下氣動(dòng)性能的影響需要進(jìn)一步深入分析。圖12給出了單點(diǎn)、多工況優(yōu)化后靜子、最后級(jí)在非設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速全工況范圍內(nèi)的效率變化。整體上，多工況優(yōu)化設(shè)計(jì)能使靜子、最后級(jí)的等熵效率在非設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速全工況范圍內(nèi)得到提升。主要原因是：靜子端壁和吸力面角區(qū)的流動(dòng)分離在不同轉(zhuǎn)速條件下都存在，通過氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)優(yōu)化抑制流動(dòng)分離的基本原理是一致的：減小來流角和葉片前緣角的偏差、流動(dòng)加速等。此外，由于ADO在近失速工況下進(jìn)行，當(dāng)工作點(diǎn)遠(yuǎn)離失速邊界時(shí)，效率提升不斷降低；當(dāng)工作點(diǎn)向阻塞邊界靠近時(shí)，效率提升不斷增加，這一點(diǎn)有待深入研究。

表4 不同轉(zhuǎn)速下的氣動(dòng)性能參數(shù)Table 4 Aerodynamic performance parameters of different rotation speeds

圖11 140%設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速下10%葉高S1流面馬赫數(shù)云圖Fig.11 Mach number contours at 10% span S1 stream surface with 140% design rotation speed

圖12 單工況、多工況優(yōu)化效率提升Fig.12 Improvements of adiabatic efficiency for single and multi-points optimization

5 結(jié) 論

1) 采用伴隨方法計(jì)算梯度優(yōu)化方法所必需的靈敏度信息，即使對(duì)于多設(shè)計(jì)參數(shù)的ADO問題，優(yōu)化效率仍非常高；對(duì)于強(qiáng)湍流問題，忽略湍流影響的伴隨靈敏度精度會(huì)稍微下降，但仍可以用于氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)優(yōu)化工作。

2) 通過單/多工況優(yōu)化設(shè)計(jì)，最后級(jí)靜子葉片中弧線曲率在前緣附近增加，降低了相對(duì)來流角并且使葉片吸力面流動(dòng)加速，對(duì)葉片端壁和吸力面角區(qū)的流動(dòng)分離具有較好的抑制效果。

3) 最后級(jí)及靜子葉片效率的提升主要來源于流動(dòng)分離的抑制，在全工況范圍內(nèi)葉片等熵效率都得到了提升；此外，多工況設(shè)計(jì)優(yōu)化能夠在不同轉(zhuǎn)速條件下實(shí)現(xiàn)葉片全工況范圍內(nèi)氣動(dòng)性能的提升。

本文的研究工作初步實(shí)現(xiàn)了基于黏性伴隨方法的葉輪機(jī)械多葉排ADO，對(duì)于后續(xù)開展考慮湍流影響的伴隨方法研究、基于伴隨方法的多級(jí)ADO研究提供了理論和技術(shù)基礎(chǔ)。

附錄A

Mixed-out是葉輪機(jī)械多排流場(chǎng)數(shù)值模擬的一種主要的摻混面方法,該方法的基本表達(dá)式為

(A1)

式中：H表示總焓；p、ρ分別表示壓力、密度；u、n、ds分別表示速度矢量、單位外法線矢量、單元面積矢量。

方程(A1)經(jīng)過整理后，可以簡(jiǎn)化成一個(gè)關(guān)于平均壓力的二次方程。確定平均壓力之后，再由方程(A1)即可計(jì)算其他平均流動(dòng)參數(shù)：

(A2)

式中：下標(biāo)x、θ、r分別表示軸向、周向和徑向；平均壓力表達(dá)式中根號(hào)前面的“+”對(duì)應(yīng)亞聲速流動(dòng)解，根號(hào)前面的“-”對(duì)應(yīng)超聲速流動(dòng)解；參數(shù)a、b、c分別表示為

(A3)