錢德春

摘要數(shù)學(xué)素養(yǎng)既包含數(shù)學(xué)知識、方法、思想等顯性素養(yǎng)，還包括數(shù)學(xué)情感、態(tài)度和理性精神等隱性素養(yǎng)，它們之間是相互聯(lián)系的有機整體。教師要以課堂教學(xué)為主陣地，以知識教學(xué)為載體，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，力求顯性與隱性目標雙關(guān)注;通過課堂、活動和考試等有效評價手段，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感。

關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)素養(yǎng) 理解 教學(xué)思考 有效評價

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》（2017年版）（以下簡稱《高中課標2017年版》）將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具體化為“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析”六個方面。核心素養(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)課程標準實施，必將對初中數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生深遠的影響。那么，如何理解數(shù)學(xué)素養(yǎng)？初中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)如何培養(yǎng)和提升？本文談?wù)劵跀?shù)學(xué)素養(yǎng)理解的初中教學(xué)的思考。

一、對初中數(shù)學(xué)素養(yǎng)的理解

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的六大板塊不是獨立存在的，而是相互聯(lián)系的有機整體;數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)以知識教學(xué)為基礎(chǔ)與載體;數(shù)學(xué)顯性的素養(yǎng)是六個方面，隱性的素養(yǎng)是數(shù)學(xué)情感、態(tài)度和精神。

1.數(shù)學(xué)素養(yǎng)是相互聯(lián)系的有機整體。

《高中課標2017年版》指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對獨立，又相互交融，是一個有機的整體”，它們之間的關(guān)系可用圖1表示。

（1）“直觀想象”的前提是認知與經(jīng)驗，指向“數(shù)學(xué)建?！迸c“邏輯推理”。

史寧中先生說，“數(shù)學(xué)根本上是看出來的”?！翱闯鰜怼笔腔跀?shù)學(xué)知識、方法的經(jīng)驗積累。如，“某游戲規(guī)定：贏一次得4分，輸一次扣2分。小明連續(xù)玩了30次這種游戲，能否得到100分？”有人一看就知道“不能”，這是為什么呢？因為無論輸贏次數(shù)如何，玩30次的得分是3的倍數(shù)，但100不能被3整除。我們還可以建立方程模型通過計算推理進行判斷。設(shè)贏x次，則輸（30-x）次，有4x-2（30-x）=100，解得 x=[803]不是整數(shù)，故連續(xù)玩30次這種游戲不可能得到100分。顯然，能“看出來”是掌握簡單數(shù)論知識前提下邏輯推理的結(jié)果。“看”的過程是在大腦中迅速進行“經(jīng)驗調(diào)取”“經(jīng)驗選擇”“經(jīng)驗（或問題）化歸”和“邏輯推理（包括運算）”的過程。

（2）“數(shù)學(xué)運算”與“邏輯推理”“數(shù)學(xué)建模”唇齒相依。

“演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。”《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》（2011年版）指出“數(shù)學(xué)運算”是根據(jù)數(shù)學(xué)公式、運算法則、運算律進行的數(shù)與式的變形，所以“數(shù)學(xué)運算”就是一種邏輯推理;數(shù)學(xué)運算所依賴的公式、法則具有獨特性、簡約性和普遍性，本質(zhì)上就屬于數(shù)學(xué)模型;許多問題的解決要經(jīng)歷“建立、選擇模型→驗證、調(diào)整模型→運算、推理解決”的過程。以炮彈射程最遠問題為例。

（3）“數(shù)學(xué)建?！痹从凇皵?shù)學(xué)抽象”，指向問題解決或結(jié)論判斷。

“數(shù)學(xué)模型是把某種事物的主要特征、主要關(guān)系系統(tǒng)地抽象出來，用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是對客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的一個近似的反映?！薄读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》（2011年版）把建立和求解模型的過程歸納為：“從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果，并討論結(jié)果的意義?！笨梢姡皵?shù)學(xué)建?！钡哪康氖墙鉀Q問題、作出判斷，建立模型的過程就是“數(shù)學(xué)抽象”。

（4）“數(shù)據(jù)分析”的載體是“數(shù)學(xué)建?！保椒ㄊ恰斑壿嬐评怼?。

“數(shù)據(jù)分析”就是收集與整理數(shù)據(jù)，建立模型分析數(shù)據(jù)，從而對問題作出判斷。如運用數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)了解數(shù)據(jù)的集中情況，通過數(shù)據(jù)的極差、方差、標準差等了解數(shù)據(jù)的離散情況，通過數(shù)據(jù)的頻數(shù)、頻率分布表及頻率分布直方圖了解數(shù)據(jù)的分布情況，等等。這些量的設(shè)計、圖表的形式都是人為設(shè)計的相對合理的數(shù)學(xué)模型。處理與分析數(shù)據(jù)，根據(jù)分析結(jié)果作出推斷就是邏輯推理。

2.數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)以知識教學(xué)為載體。

筆者認為：數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)不是空中樓閣，而是以數(shù)學(xué)知識和技能、方法與經(jīng)驗為基礎(chǔ)與載體，在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)思想方法的掌握過程中逐步形成的。什么是數(shù)學(xué)知識？狹義地說，數(shù)學(xué)知識包括數(shù)學(xué)的概念、公式、法則、定理及相互間的關(guān)系;廣義地說，數(shù)學(xué)知識還包括數(shù)學(xué)的方法、策略和思想，數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)、邏輯和模式。數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)的方法與經(jīng)驗、數(shù)學(xué)的素養(yǎng)之間層次的關(guān)系如圖2所示。比如，一元二次方程概念是由一元一次方程概念類比得到的，必須了解一元一次方程的定義;研究“三角形中位線”模型，必須用到“三角形全等”“平行四邊形”等相關(guān)性質(zhì)和判定。

3.數(shù)學(xué)素養(yǎng)包括情感、態(tài)度和精神。

如果說《高中課標2017年版》所明確的六個方面內(nèi)容是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的顯性目標，那么，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、方法積累和能力發(fā)展過程中形成的數(shù)學(xué)情感、態(tài)度和精神則是隱性目標。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注顯性目標，更要關(guān)注隱性目標。

美國著名心理學(xué)家斯金納說：“當(dāng)所學(xué)的東西都忘掉之后，剩下的就是教育?！蹦敲矗瑢W(xué)生忘掉數(shù)學(xué)所學(xué)的東西之后剩下什么呢？是對數(shù)學(xué)熾熱的情感與濃厚的興趣，是研究問題的堅韌意志與求真品質(zhì)，是思考問題的方式與習(xí)慣，是精確、嚴謹、簡潔、概括、統(tǒng)一的理性精神。這些應(yīng)該成為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分。數(shù)學(xué)中的想象、抽象、建模、推理、運算和數(shù)據(jù)分析需要數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗、情感、興趣、品質(zhì)做支撐，經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動過程又會反過來掌握知識，積累經(jīng)驗，激發(fā)情感，錘煉品質(zhì)。

《高中課標2017年版》明確指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標的集中體現(xiàn)。”可以說，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標、數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想與方法、數(shù)學(xué)的情感、態(tài)度與品質(zhì)的總和。

二、基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教學(xué)與評價的思考

章建躍博士說，“教好數(shù)學(xué)就是落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，而落實數(shù)學(xué)素養(yǎng)的主要途徑是課堂教學(xué)，促進數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的重要手段是教學(xué)評價。

1.利用課堂教學(xué)主陣地提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)需要教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中作為有機整體漸進式培養(yǎng)，學(xué)生在探究學(xué)習(xí)活動中慢慢感悟。教師教學(xué)中要注意數(shù)學(xué)素養(yǎng)的顯性目標與隱性目標雙關(guān)注。

（1）數(shù)學(xué)素養(yǎng)要作為有機整體漸進式發(fā)展。

如前所述，數(shù)學(xué)素養(yǎng)既是教學(xué)目標，也是教學(xué)內(nèi)容，它們是相互聯(lián)系的有機整體;數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展是循序漸進的。有時“一個內(nèi)容往往同時隱含多個素養(yǎng)。因此，教師應(yīng)充分領(lǐng)悟教材各個知識中隱含的素養(yǎng)、能力，并基于數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律與學(xué)生認知規(guī)律，在教學(xué)設(shè)計過程中深入思考各個知識點中蘊含的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的本質(zhì)”，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中落實。

①問題情境：甲、乙兩射擊運動員射擊成績?nèi)缦隆?/p>

②直觀想象：從表中數(shù)據(jù)感覺乙的數(shù)據(jù)離散程度較小。

③問題提出：這種“感覺”可靠嗎？如何用確定的量表示？

④模型建構(gòu)：

⑤模型內(nèi)化：歸納整理、語言表達、符號表示。

⑥模型運用：如果從中挑選一名選手參加比賽，你認為挑選誰合適？

乙的方差比甲的方差小，說明乙的穩(wěn)定性好。如果比賽選拔成績穩(wěn)定的選手參加決賽，則選乙。但乙環(huán)數(shù)最多只有9環(huán)，如果選乙參賽，得冠軍的可能性小，而甲中10環(huán)的有3次，如果比賽是以獲得滿環(huán)（10環(huán)）的次數(shù)來確定冠軍，則選甲參賽更合理。

【構(gòu)思說明】“方差”是人為設(shè)計的、用來反映數(shù)據(jù)離散情況（或穩(wěn)定性）的數(shù)學(xué)模型。衡量數(shù)據(jù)離散情況不一定用方差，還可以是其他的量，顯然方差比較合理，于是方差就成了人們?yōu)榭疾鞌?shù)據(jù)離散情況而合理約定的量。

那么教學(xué)過程中如何發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)呢？一是直觀猜想。讓學(xué)生根據(jù)甲、乙兩位選手的射擊數(shù)據(jù)，對他們射擊成績的穩(wěn)定性作出直觀判斷。二是數(shù)學(xué)建模。直觀判斷的結(jié)論正確嗎？用什么方法判斷？需要建立一種數(shù)學(xué)模型。哪種模型最合理？這需要選擇、調(diào)整和優(yōu)化。三是數(shù)學(xué)抽象。將情境中具體數(shù)據(jù)的運算過程一般化為公式，這個過程是數(shù)學(xué)抽象。四是邏輯推理。對數(shù)據(jù)的處理過程是一種推理，對具體數(shù)據(jù)用方差公式運算并進行判斷，這是“從一般到特殊”的演繹推理。五是數(shù)學(xué)運算。無論是建立和選擇模型，還是利用方差公式進行判斷，都離不開數(shù)學(xué)運算。這個過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)相互聯(lián)系、相互交融的特點。模型的建立、選擇與優(yōu)化能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的理性精神，也能培養(yǎng)學(xué)生良好的意志品質(zhì)。同時，對結(jié)果的判斷離不開生活現(xiàn)實。如挑選誰參賽，事實上不能將穩(wěn)定性作為唯一標準，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的聯(lián)系。

（2）數(shù)學(xué)素養(yǎng)力求顯性與隱性目標雙關(guān)注。

教學(xué)中，我們不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)素養(yǎng)六個方面的顯性目標，更要關(guān)注數(shù)學(xué)情感、態(tài)度、品質(zhì)和精神等隱性目標。

案例2 “勾股定理”教學(xué)構(gòu)思

勾股定理源于生活現(xiàn)實，應(yīng)用廣泛，文化內(nèi)涵豐富。學(xué)生的認知具有多樣性，有的學(xué)生早已熟悉，能證明并運用結(jié)論;有的學(xué)生閱讀了相關(guān)課外書籍，了解了定理背后的文化;也有的學(xué)生可能一無所知。教學(xué)中要因材施教、順勢而為。為此，筆者設(shè)計了基于學(xué)生差異性的“問題鏈導(dǎo)學(xué)式”教學(xué)構(gòu)思。

①提出問題，直觀猜想。

對于基礎(chǔ)中等的學(xué)生——

問題1（基于小學(xué)認知）：看到直角三角形（如圖3），你想到了什么？（生1：勾三股四弦五;生2：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。）

問題2：你怎么知道的？（聽說的、書上看到的、自學(xué)過……）

問題3（對生1）：勾、股、弦是什么意思？

問題4：對于直角三角形，一定是勾3股4嗎？在紙上用刻度尺畫圖，△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，量一量，c=？你得到了什么？

問題5：a、b換成其他值，上述結(jié)論還成立嗎？ （回應(yīng)生2）能不能用語言再敘述一遍？

問題6：用數(shù)學(xué)符號如何表示？

對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生——

問題1（從一般化角度提出數(shù)學(xué)問題）：已知△ABC中，AC=3，BC=4，能求出AB嗎？

問題2：能確定第三邊的范圍嗎？

問題3：為何只能確定范圍而不能確定第三邊長度？（因為兩邊的夾角不確定。）

問題4：如果這個角確定了，第三邊長確定嗎？

問題5：你想研究什么角？為何要研究夾角90°？（如一正一負兩個有理數(shù)相加，這么多結(jié)果，為何要研究正好等于零？兩直線相交，這么多情況，為什么研究兩直線垂直呢？從特殊情況入手。）

問題6：最特殊的角有0°、90°、180°，哪個有研究的價值？

②操作推理，驗證猜想。

問題7：如圖4①，在網(wǎng)格中用面積法驗證當(dāng)∠C=90°，a=3，b=4的情形。如何表示a2、b2？同樣，c2為多少？你有何想法？

問題8：將a、b換成其他數(shù)，在網(wǎng)格中畫圖并用面積法驗證試試。

問題9：對于任意直角三角形，結(jié)論是否存在？去掉網(wǎng)格（如圖4②），結(jié)論是否存在？

③定理表征，深化理解。

指導(dǎo)學(xué)生用圖形語言、文字語言和符號語言來表達定理內(nèi)容，有時還需要對變式的圖形進行表征，以強化定理的理解。

④簡單應(yīng)用，內(nèi)化定理。（略）

⑤知識拓展，滲透文化。

問題10：你知道勾股定理的來源嗎？

問題11（出示“趙爽弦圖”）：你見過圖5嗎？這個圖表示了什么？你還了解與“勾股定理”有關(guān)的名人和故事嗎？與大家分享。（分享故事和證明方法）

問題12：課后閱讀課本、相關(guān)書籍，上網(wǎng)查閱，并繼續(xù)與大家分享。

【構(gòu)思說明】“勾股定理”是反映直角三角形三邊關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生需要去探索、發(fā)現(xiàn)和運用。教材安排了兩個課時，這里用一個課時解決探索發(fā)現(xiàn)和一種證明，并進行簡單應(yīng)用。這個教學(xué)構(gòu)思中，有通過問題串呈現(xiàn)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程，有從一般到特殊、再從特殊到一般的探索方法引導(dǎo)，有數(shù)形結(jié)合、變中不變等數(shù)學(xué)思想的滲透，有數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)顯性目標的達成。

更為重要的是“再創(chuàng)造”式教學(xué)構(gòu)思關(guān)注了數(shù)學(xué)精神、品質(zhì)和情感等隱性目標。一是數(shù)學(xué)精神的熏陶（如勾股定理的探索發(fā)現(xiàn)、圖形構(gòu)造過程培養(yǎng)創(chuàng)造精神;對猜想的結(jié)論質(zhì)疑和一般化證明，數(shù)學(xué)語言的精確、嚴謹、簡潔、概括性表征體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的理性精神）;二是從一般三角形問題再特殊化（直角三角形）研究，并進行多樣化證明，錘煉了學(xué)生思維的發(fā)散性、有序性、深刻性、嚴謹性和批判性等品質(zhì);三是通過對勾股定理相關(guān)文化的滲透，學(xué)生在增長知識的同時也激發(fā)了數(shù)學(xué)情感和興趣;四是與“方差”學(xué)習(xí)過程比較知道，“方差”是人為設(shè)計的量，是一種數(shù)學(xué)發(fā)明，“勾股定理”是人們對客觀規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，由此說明，數(shù)學(xué)發(fā)展過程中既有發(fā)明創(chuàng)造，也有探索發(fā)現(xiàn)，滲透了數(shù)學(xué)的哲學(xué)思想。

2.教學(xué)評價是促進數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的助推劑。

教學(xué)評價導(dǎo)向決定了教師的教學(xué)行為，合理的評價能夠有效地引導(dǎo)教師從課堂教學(xué)、課外活動、數(shù)學(xué)命題等方面重視學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展，進而成為促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的助推劑?；趯W(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的評價主要有課堂評價、活動評價和考試評價。

（1）課堂評價。

著眼于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教學(xué)評價應(yīng)該體現(xiàn)在教師備課、上課、聽課、評課等各個環(huán)節(jié)?？梢栽O(shè)計基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的《課堂教學(xué)量化評分表》，除教學(xué)常規(guī)、教學(xué)技術(shù)外，著重關(guān)注以下方面：①教學(xué)目標是否多元化;②教學(xué)活動是否具有主體性、過程性、探究性、開放性、生成性;③教學(xué)是否注意揭示數(shù)學(xué)內(nèi)涵，滲透思想方法，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)和理性精神;④課堂數(shù)學(xué)問題是否具有層次性、思辨性，并引導(dǎo)學(xué)生主動質(zhì)疑;⑤是否關(guān)注學(xué)生思維的深刻性、批判性、反思性、條理性，提高學(xué)生思維品質(zhì);⑥是否關(guān)注學(xué)生個體差異，挖掘?qū)W生潛能，發(fā)揮學(xué)生特長;⑦是否鼓勵學(xué)生獨立思考，并用多種方式和語言交流、表達;⑧是否善于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感與興趣，樹立學(xué)生自信心，引導(dǎo)學(xué)生逐步形成積極的價值觀。

（2）活動評價。

這里的活動特指學(xué)生課外數(shù)學(xué)活動，如數(shù)學(xué)綜合與實踐活動、數(shù)學(xué)課外閱讀沙龍、數(shù)學(xué)寫作與交流會、數(shù)學(xué)文化節(jié)、數(shù)學(xué)興趣小組（或社團）等。要把開展豐富多彩的數(shù)學(xué)課外活動作為對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價的重要內(nèi)容。

（3）考試評價。

檢測與考試是重要的評價手段，我們要發(fā)揮考試對數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的促進作用。泰州市2019年12月就組織了一次針對七年級學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試活動，對隨機抽取的600名學(xué)生進行了數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試。測試內(nèi)容以教材和課堂教學(xué)內(nèi)容為主，適當(dāng)向課外延伸。

按照《高中課標2017年版》對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的分類，試題涉及了除“數(shù)據(jù)統(tǒng)計”外的五方面素養(yǎng)。素養(yǎng)類型、題號及分值見下表：

從統(tǒng)計表發(fā)現(xiàn)，試題重點考查了數(shù)學(xué)運算（9題，76分）、數(shù)學(xué)建模（12題，70分）和數(shù)學(xué)抽象（8題，52分），充分體現(xiàn)了測試數(shù)學(xué)素養(yǎng)的命題意圖。

試卷在數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)觀念上也重點考查（見下表），如數(shù)形結(jié)合、集合、整體、分類、變中不變、方程、建模、特殊到一般等基本數(shù)學(xué)思想，而數(shù)形結(jié)合、整體思想成為高頻考點。

這種考查體現(xiàn)了明顯的導(dǎo)向，即教學(xué)要摒棄功利意識，處理好“知識”與“素養(yǎng)”的關(guān)系。一是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)好常規(guī)內(nèi)容，要依標據(jù)本，立足基礎(chǔ)，夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識基本技能;二是注意對學(xué)生的閱讀理解能力、數(shù)學(xué)建模能力、知識遷移能力、數(shù)學(xué)推理能力、反思調(diào)控能力、數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng);三是指導(dǎo)學(xué)生認真研究教材中的數(shù)學(xué)活動、數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)學(xué)實驗等內(nèi)容，并將這些資源同課外資源鏈接，拓展他們的思維;四是引導(dǎo)學(xué)生閱讀課外書籍，了解數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)名人、數(shù)學(xué)故事、經(jīng)典問題，激發(fā)數(shù)學(xué)興趣，播下數(shù)學(xué)思維的種子。

（作者單位：江蘇省泰州市教育局教研室）