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Morita環(huán)上的強Gorenstein投射模

2020-06-01 02:03DadiASEFA
關(guān)鍵詞:同態(tài)范疇代數(shù)

Dadi ASEFA

(上海交通大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,上海 200240)

Auslander等[1]將有限生成模推廣為雙邊Noether環(huán)上Gorenstein維數(shù)為零的模.Enochs等[2]將其推廣到任意的環(huán)上,并稱之為Gorenstein投射模.Bennis等[3]又引入了強Gorenstein投射模的概念,證明了一個模是Gorenstein投射模當(dāng)且僅當(dāng)它是強Gorenstein投射模的一個直和項,注意到一個Gorenstein投射模并不一定是強Gorenstein投射模.

投射模均是強Gorenstein投射模(反過來一般不正確),整體維數(shù)有限的代數(shù)上的Gorenstein投射模均是投射模[4].Gao等[5]確定了上三角矩陣Artin代數(shù)上所有的有限生成強Gorenstein投射模,然而對于具體的非投射的(強)Gorenstein投射模,目前已知的構(gòu)造并不多見.

Bass[6]在他的著名講義中引入了Morita環(huán)的概念,這類環(huán)包含了許多性質(zhì)較好的代數(shù).受文獻(xiàn)[5]的啟發(fā),作者希望確定可作為Artin代數(shù)的Morita環(huán)上所有的有限生成強Gorenstein 投射模,推廣了上三角矩陣Artin代數(shù)上的強Gorenstein投射模,并且作者的證明與文獻(xiàn)[5]中的考慮有所不同.

1 預(yù)備知識

設(shè)A是有單位元的環(huán).論文用A-Mod表示左A-模范疇,用A-mod表示有限生成左A-模范疇.由文獻(xiàn)[4],稱A-模M是A-Mod(A-mod)中的Gorenstein投射模,如果存在A-Mod(A-mod)中投射模的正合列

并且對于任意A-Mod(A-mod)中的投射模Q,HomA(P·,Q)也是正合列, 使得M?Kerd0.上述P·稱為A-Mod(A-mod)中的完全投射分解.稱Gorenstein投射A-模M是A-Mod(A-mod)中的強Gorenstein投射模(簡稱SG-投射模),如果相應(yīng)的復(fù)形P·形如

用SGProjA(SGProjA)表示A-Mod(A-mod)中由SG-投射模作成的滿子范疇.

引理1[5]對任意環(huán)A,都成立SGProjA∩A-mod=SGProjA.

為確保Δ(φ,ψ)作成一個結(jié)合環(huán),規(guī)定

φ(m?n)m′=mψ(n?m′),nφ(m?n′)=ψ(n?m)n′,?m,m′∈M,?n,n′∈N.

Morita環(huán)Δ(φ,ψ)上模的刻畫是已知的結(jié)果[6-7].為了敘述的完整起見,引入下面的范疇,范疇M(Δ)中的對象是4元組(X,Y,f,g),其中X∈A-mod,Y∈B-mod,f∈HomB(M?AX,Y),g∈HomA(N?BY,X),并且有如下交換圖

用ψX和φY表示如下態(tài)射的合成,有

設(shè)(X,Y,f,g)和(X′,Y′,f′,g′)為M(Δ)中對象,則M(Δ)中態(tài)射(X,Y,f,g)→(X′,Y′,f′,g′)是一對同態(tài)(a,b),其中a:X→X′是A-同態(tài),b:Y→Y′是B-同態(tài),有如下交換圖

范疇Δ(φ,ψ)-mod和M(Δ)之間的關(guān)系可通過函子F:M(Δ)→Δ(φ,ψ)-mod給出: 對任意的(X,Y,f,g)∈M(Δ),定義F(X,Y,f,g)=X⊕Y是Abel群,?a∈A,b∈B,n∈N,m∈M,x∈X,y∈Y,其中的Δ(φ,ψ)-模結(jié)構(gòu)規(guī)定為

設(shè)(a,b):(X,Y,f,g)→(X′,Y′,f′,g′)是M(Δ)中任意態(tài)射,定義

于是函子F是等價函子[7].今后將Δ(φ,ψ)上的模視為范疇M(Δ)中的對象.

論文主要考慮雙模同態(tài)為零的且可作為Artin代數(shù)的Morita環(huán),記作Δ(0,0).由文獻(xiàn)[8]可知,Morita環(huán)Δ(φ,ψ)可作為Artin代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)存在一個交換Artin環(huán)R,使得A和B均為ArtinR-代數(shù),M和N在R上有限生成且中心地作用在M和N上.

(1) 4元組態(tài)射序列0→(X1,Y1,f1,g1)→(X2,Y2,f2,g2)→(X3,Y3,f3,g3)→0是Δ(φ,ψ)-mod中的正合列當(dāng)且僅當(dāng)0→X1→X2→X3→0是A-mod中的正合列,且 0→Y1→Y2→Y3→0是B-mod中的正合列.

(2) 設(shè)(a,b):(X,Y,f,g)→(X′,Y′,f′,g′)是Δ(φ,ψ)-mod中的態(tài)射,考慮同態(tài)c:Kera→X,d:Kerb→Y,則(a,b)的核為(Kera,Kerb,h,j),其中態(tài)射h和j由如下交換圖誘導(dǎo)而得

類似地,可以刻畫態(tài)射(a,b)的余核.類似文獻(xiàn)[8]中的處理,考慮下述函子:對任意的X∈A-mod和A-同態(tài)a:X→X′,函子TA:A-mod→Δ(φ,ψ)-mod定義為

TA(X):=(X,M?AX,IdM?AX,ψX),TA(a)=(a,IdM?a).

對任意的Y∈B-mod和B-同態(tài)b:Y→Y′,函子TB:B-mod→Δ(φ,ψ)-mod定義為

TB(Y):=(N?BY,Y,φY,IdN?BY),TB(b):=(IdN?b,b).

對任意的(X,Y,f,g)∈Δ(φ,ψ)-mod 和Δ(φ,ψ)-態(tài)射,有

(a,b):(X,Y,f,g)→(X′,Y′,f′,g′).

函子UA:Δ(φ,ψ)-mod→A-mod 定義為UA(X,Y,f,g):=X,UA(a,b)=:a.

對任意的 (X,Y,f,g)∈Δ(φ,ψ)-mod和Δ(φ,ψ)-態(tài)射,有

(a,b):(X,Y,f,g)→(X′,Y′,f′,g′).

函子UB:Δ(φ,ψ)-mod→B-mod定義為UB(X,Y,f,g):=Y,UB(a,b):=b.

對每個Y∈B-mod,記εY:M?AHomB(M,Y)→Y為由involution給出的B-同態(tài),構(gòu)造A-同態(tài)δN?Y:N?BY→HomB(M,M?AN?BY),它將n?By送到HomB(M,M?AN?BY)中.對任意的Y∈B-mod和B-同態(tài)b:Y→Y′,函子HB:B-mod→Δ(φ,ψ)-mod定義為

HB(Y):=(HomB(M,Y),Y,εY,HomA(M,φY)δN?BY),HB(b):=(HomB(M,b),b).

下述結(jié)論給出了上述函子的深入刻畫.

(1) 函子TA,TB,HA和HB都是滿且忠實的;

(2) (TA,UA),(TB,UB),(UA,HA)和(UB,HB)均為函子的伴隨對;

(3) 函子UA和UB均為正合函子.

下述命題給出了不可分解投射(左)Δ(φ,ψ)-模和不可分解內(nèi)射(左)Δ(φ,ψ)-模的刻畫.

(1) 不可分解投射Δ(φ,ψ)-模恰是

TA(P)=(P,M?AP,IdM?AP,ψP),

TB(Q)=(N?BQ,Q,φQ,IdN?BQ),

其中:P跑遍所有不可分解投射A-模,Q跑遍所有不可分解投射B-模.

(2) 不可分解內(nèi)射Δ(φ,ψ)-模恰是

HB(J)=(HomB(M,J),J,εJ,HomB(M,φJ(rèn))δN?BJ),

其中:I跑遍所有不可分解內(nèi)射A-模,J跑遍所有不可分解內(nèi)射B-模.

2 Morita環(huán)上的SG-投射模

(1)

考慮如下條件:

(iii)βα+(Id?α′)β=0;

(iv)β′α′+(Id?α)β′=0;

(v) 若α(p)=0,β(p)+(Id?α′)(x)=0,則存在(p′,x′)∈P⊕N?BQ,使得p=α(p′),x=β(p′)+(Id?α′)(x′);

(vi) 若α′(q)=0,β′(q)+(Id?α)(y)=0,則存在(y′,q′)∈M?AP⊕Q,使得q=α′(q′),y=β′(q′)+(Id?α)(y′);

(vii) 若(s,t)∈HomA(P,N)⊕HomB(Q,B),滿足sα+(Id?t)β=0,tα′=0, 則存在(s′,t′)∈HomA(P,N)⊕HomB(Q,B),使得s=s′α+(Id?t′)β,t=t′α′;

(viii) 若(u,v)∈HomA(P,A)⊕HomB(Q,M),滿足vα′+(Id?u)β′=0,uα=0,則存在(u′,v′)∈HomA(P,A)⊕HomB(Q,M),使得v=v′α′+(Id?u′)β′,u=u′α.

定理1給定6元組(P,Q,α,β,α′,β′),若其滿足條件 (i)~(viii),則

(2)

是強完全Δ(0,0)-投射分解.反過來,任何強完全Δ(0,0)-投射分解都具有(2)式的形式,其中X和f由(1)給出,并且滿足條件(i)~(viii).

利用伴隨對(TA,UA),(TB,UB)[8],可知

HomA(P,A)⊕HomB(Q,M?AA)?

HomA(P,A)⊕HomB(Q,M).

令Y:=HomA(P,A)⊕HomB(Q,M),由條件(i),(ii)和(iv)可知序列

是一個復(fù)形, 其中

σ(u,v)=(uα,vα′+(Id?u)β′),?(u,v)∈HomA(P,A)⊕HomB(Q,M).

由條件(viii)可知它是正合列,這就說明了HomA(X·,(A,M?AA, Id,0))正合.再次利用伴隨對(TA,UA),(TB,UB),可知

HomA(P,N?BB)⊕HomB(Q,B)?HomA(P,N)⊕HomB(Q,B).

令Z:=HomA(P,N)⊕HomB(Q,B), 由條件(i)~(iii)可知,序列

是一個復(fù)形, 其中

ω(s,t)=(sα+(Id?t)β,tα′),?(s,t)∈HomA(P,N)⊕HomB(Q,B),

進(jìn)一步由(vii)可知它是正合列,即HomA(X·,(N?B,B,0,Id))正合.由于

由此得到(γ,β′):(N?BQ,Q,0,Id)→(P,M?AP,Id,0).根據(jù)Δ(0,0)-Mod中態(tài)射的定義即知下圖交換

因此γ=0,否則上述圖表不交換.類似地,由

(β,γ′):(P,M?AP,Id,0)→(N?BQ,Q,0,Id),

(SGProjA∩⊥N,M?ASGProjA∩⊥N):={(P,M?AP,Id,0)∈

{Δ(0,0)-mod|P∈(SGProjA∩⊥N)}.

(1)S=(L,M?AL,Id,0)∈(SGProjA∩⊥N,M?A(SGProjA∩⊥N)),其中L具有強完全A-投射分解

并且Ker(Id?α)=M?AKerα.

(2)S=(N?K,K,0,Id)∈(N?B(SGProjB∩⊥M),SGProjB∩⊥M),其中K具有強完全B-投射分解

并且Ker(Id?α′)=N?BKerα′.

(3)S=Kerf=({(p,x)∈P⊕N?BQ∣α(p)=0,β(p)+(Id?α′)(x)=0},

{(y,q)∈M?AP⊕Q∣α′(q)=0,β′(q)+(Id?α′)(y)=0}),

其中:f由(1)給出,P任意投射A-模,Q是任意投射B-模,并且α,β,α′,β′均滿足條件(i)~(viii).

證明令S=(L,M?AL,Id,0)∈(SGProjA∩⊥N,M?A(SGProjA∩⊥N)),其中L=Kerα∈SGProjA具有強完全A-投射分解

因為Ker(Id?α)=M?AKerα,所以序列

是正合列,因此序列

也是正合列,其中h=(α,Id?α).注意到L∈⊥N意味著HomA(P·,N)是正合列,由P·的選取可知HomA(P·,A)正合.根據(jù)

HomΔ(0,0)(U·,(A,M?AA,Id,0))⊕(N?BB,B,0,Id)?HomA(·,A)⊕HomA(·,N),

令S=(N?BK,K,0,Id)∈(N?B(SGProjB∩⊥M),SGProjB∩⊥M),其中K=Kerα′∈SGProjA,其強完全B-投射分解為

由Ker(Id?α′)=N?BKerα′,可知序列

是正合列,從而序列

HomΔ(0,0)(W·,N?BB,B,0,Id)?HomB(Q·,B),

如果情形(3)成立,則由定理1知,序列

是強完全Δ(0,0)-投射分解,其中X由(1)給出.由此可知,S=Kerf是SG-投射Δ(0,0)-模.

接下來證明必要性.若S是SG-投射Δ(0,0)-模,則S=Kerf,其中f是在X·的強完全Δ(0,0)-投射分解中的Δ(0,0)-同態(tài).由定理1,X·具有(2)式的形式,其中X和f由(1)給出,滿足條件(i)~(viii).

若在(1)式中取Q=0,則β=0,α′=0,β′=0.由條件(i),(v)和(viii)知

是強完全A-投射分解,由條件(vi)知Ker(Id?α)=M?Kerα,由條件(vii)知HomA(X·,N)正合,從而Kerα∈⊥N.于是

S=Kerf=(Kerα,Ker(Id?α))=(Kerα,M?Kerα)∈

(SGProjA∩⊥N,M?A(SGProjA∩⊥N)),

因此S具有(1)中的形式.

若在(1)式中取P=0,則α=0,β=0,β′=0.由條件(ii),(vi)和(viii)知

是強完全B-投射分解,由條件(v)知Ker(Id?α′)=N?Kerα′,由條件(viii)知 HomB(X·,M)也正合,從而Kerα′∈⊥M.于是

S=Kerf=(Ker(Id?α′),Kerα′)=(N?Kerα′,Kerα′)∈

(N?B(SGProjB∩⊥M),SGProjB∩⊥M),

因此S具有(2)中的形式.

若在(1)式中取P≠0且Q≠0,則由定理1知S具有(3)中的形式.定理獲證.

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