林劍疊， 閻玉秀

(浙江理工大學 服裝學院，浙江 杭州 310018)

庫存管理(inventory management)是管理界永恒的話題，對庫存管理的研究一直都是生產(chǎn)管理領(lǐng)域探索的前沿[1]，特別是1905年威爾遜·哈利斯(HARRIS W)提出著名的經(jīng)濟訂購批量(economic order quantity,EOQ)模型以后，現(xiàn)代存貯理論的發(fā)展有了重大突破。簡單的EOQ模型是單品種、確定型、多周期、需求獨立的基本經(jīng)濟訂貨批量模型，主要用于解決庫存訂貨決策問題[2]。近年來，計算機科學的成熟發(fā)展也為庫存管理中的仿真模型提供了計算基礎(chǔ)，使模型大大貼合生產(chǎn)管理的實際需要。服裝庫存管理一直是EOQ模型的經(jīng)典應用領(lǐng)域，眾多學者引入需求服從隨機分布的EOQ模型、需求時序函數(shù)的EOQ模型等[3-5]。也有學者引入缺貨延遲的庫存管理模型，主要考慮生產(chǎn)過程中的延遲，提出持續(xù)生產(chǎn)情況下的庫存決策模型，如張云豐等[6-7]在二級供應鏈系統(tǒng)中進行改良品研究，分析了銷售允許缺貨與供應商愿意提供價格折扣的博弈庫存模型。這些模型中變量較多，計算難度較大，不利于實際生產(chǎn)運用。由于消費者對服裝產(chǎn)品有獨特的偏好，可以接受一定的等待期，基于此，CHANG H J等[8]研究了易變質(zhì)物品在考慮時變需求以及部分短缺量拖后時的EOQ問題；羅兵[1]將時變需求和部分短缺量拖后時的EOQ模型在汽車配件庫存問題中進行了一定程度的具體化，但無法針對具體零售環(huán)境指導商家采取相應的訂貨策略。

文中在文獻[1，3-7]的基礎(chǔ)上，針對服裝產(chǎn)品缺貨時消費者一定程度上可以接受延遲滿足的消費特點，建立需求穩(wěn)定的單個周期庫存管理平均總成本的數(shù)學模型，分析缺貨情況下服裝庫存的最低庫存管理成本和庫存訂貨策略，對缺貨影響因子及各個成本變量進行靈敏度測試。依照測試結(jié)果，商家可根據(jù)具體的環(huán)境采取相應訂貨策略。該模型簡單且易于理解，也貼合服裝銷售的實際特點，具有實用性，對研究缺貨狀態(tài)下的補貨策略具有現(xiàn)實意義。

1 模型描述及假設(shè)

服裝產(chǎn)品具有時尚性和季節(jié)性，零售商準備過多的庫存，會使其庫存成本和積壓資金大幅增加，但如果庫存不足就會導致缺貨，所以研究服裝銷售過程中的缺貨現(xiàn)象具有現(xiàn)實意義。另外消費者對自己喜歡的服裝產(chǎn)品可以接受一定的等待期，等待期內(nèi)零售商對銷售策略及訂貨策略的適當調(diào)整，有助于避免零售商損失潛在的消費者，從而降低庫存管理成本。

基于服裝銷售過程的缺貨問題，提出缺貨延遲條件下的EOQ庫存模型，其基本特點為：訂貨提前期為零，當服裝持有量降低到零時，不一定立即補充庫存持有量，允許發(fā)生一定量的缺貨；在產(chǎn)品缺貨期間，部分消費者愿意等待這種缺貨量的拖后，所以缺貨期間的需求率比擁有現(xiàn)貨期間的需求率小。文中假定缺貨量拖后率與擁有現(xiàn)貨期間需求率的比值固定[1]，其庫存量變化如圖1 所示。

假設(shè)服裝產(chǎn)品供應間隔為T，現(xiàn)貨期間需求率R恒定，需求率R的銷售階段設(shè)為T1;在缺貨延遲情況下的需求率為R′，相應的銷售階段設(shè)為T2,R′的缺貨影響因子為α；周期開始時，企業(yè)進行一次性進貨，數(shù)量為Q；單件服裝在統(tǒng)計周期內(nèi)的儲存費用(即單位庫存持有成本)為C1,單件服裝在統(tǒng)計周期的缺貨成本(即單位缺貨成本)為C2,單件服裝在缺貨期間引起的銷售機會損失成本(即缺貨引起的單位銷售機會損失成本)為C3,一次訂購服裝成本(即一次訂貨成本)為C4。T=T1+T2，T1時間內(nèi)，期初庫存量為Q,期末庫存量為0，現(xiàn)貨期間需求率為R；T2時間內(nèi)，期初庫存量為0，期末庫存量為-S，銷售需求量為R′。由此，需要研究：①服裝企業(yè)在T周期內(nèi)如何實現(xiàn)單位周期庫存管理成本最低；②缺貨延遲條件下，各成本對最低庫存成本管理決策的影響。

通常情況下，缺貨量直接影響服裝銷售需求率，缺貨量增大，銷售需求率減小，但缺貨量足夠大時，缺貨量繼續(xù)增大，銷售需求率減小的幅度下降。因此可設(shè)缺貨延遲條件下銷售需求率為

R′=e-αRα≥0

(1)

將式(1)對α求導，得到

(2)

式(2)<0,表明隨著缺貨影響因子α增大，R′減小。由e-α(α≥0)的圖像可知，此假設(shè)與服裝零售商發(fā)生缺貨時的銷售情況相符合。

2 庫存模型的建立與求解

根據(jù)文中的模型假設(shè)，零售商在統(tǒng)計周期內(nèi)庫存管理的相關(guān)成本主要包括庫存持有成本、缺貨成本、在缺貨期間引起的銷售機會損失成本、一次訂貨成本4部分。其中缺貨成本指不能滿足消費者需求所引起的損失，主要由兩部分組成：①生產(chǎn)系統(tǒng)處理誤期訂單而支付的費用，如趕單時的加班費等；②誤期交貨對企業(yè)收入的影響，如罰款等[9]。

文中借鑒文獻[1]的處理方式，將庫存持有量、缺貨量、在缺貨期間引起的銷售機會損失量分別用圖1中△abc，△cde，△cef的面積表示，故統(tǒng)計周期內(nèi)持有成本為QT1C1/2，缺貨成本為ST2C2/2，在缺期間引起的銷售機會損失成本為(RT2-S)T2C3/2,則平均庫存總管理成本為

C(S,T)=

(3)

式中:

T1=Q/R；T2=S/R′。

進而根據(jù)式(1)整理求得

Q=RT-eαS

(4)

將式(1)、式(4)及T1,T2關(guān)系式代入式(3)，得到關(guān)于S和T的總函數(shù)，即

C(S,T)=

式(5)為未知變量，為S和T的多元函數(shù)，對其求最小值，可構(gòu)建關(guān)于S和T的海塞矩陣

(6)

若海塞矩陣為正定，則最低庫存管理成本minC(S,T)存在[10]。采用判定H(C(S，T))的順序主子式皆大于0的方法，證明H(C(S，T))為正定矩陣，經(jīng)計算

因此

(8)

式(7)、式(8)成立的條件是所有成本取值都為正且T>0，這些條件可以在現(xiàn)實中得到滿足，表明H(C(S,T))的順序主子式都大于0，即海塞矩陣H(C(S,T))是正定的，也即是minC(S,T)存在。設(shè)滿足minC(S,T)的未知數(shù)分別為S*,T*，則令?C/?S=0,?C/?T=0，聯(lián)合求解，得到最佳缺貨量

(9)

最佳服裝進貨周期為

(10)

將式(9)、式(10)代入式(4)，計算得最佳服裝進貨批量

(11)

此時

minC(S,T)=

3 實例數(shù)值仿真計算及分析

利用Matlab R2017a實現(xiàn)實例數(shù)值計算，對文中模型進一步討論，并根據(jù)某服裝零售商單品類數(shù)據(jù)對模型的主要參數(shù)進行靈敏度分析。

以1個季度為統(tǒng)計周期，進行零售商銷售數(shù)據(jù)的相關(guān)參數(shù)取值仿真。取R=2 000件,C1=1.2元/件,C2=3元/件,C3=8元/件,C4=35元/件，對α進行0～1的數(shù)值靈敏度分析。為了更加直觀地表達各變量對最佳缺貨量的影響，文中引入最佳缺貨率，即在零售商運營現(xiàn)狀下，庫存管理成本最低時的缺貨率。設(shè)最佳缺貨率為η，且η=S*/Q*，聯(lián)合式(9)～式(12)求解，運算結(jié)果見表1。由表1可以看出，S*,T*,Q*和minC(S,T)的數(shù)值范圍相差比較大，借鑒文獻[11]的處理方式，通過選定某個值，可計算出S*,T*,Q*和minC(S,T)相對于該值的變化，使得所有數(shù)據(jù)保持在較小范圍內(nèi)，結(jié)果如圖2所示。

圖2中，橫坐標表示α的相對變化取值，α在0～1的數(shù)值范圍內(nèi)以0.125的間距逐步遞增，其中α=0.5為各數(shù)值的中位數(shù)；縱坐標表示S*,Q*,T*,minC(S,T)等庫存因變量指標相比α=0.5時的相對變化量，縱坐標為0指與α=0.5時的指標值相等。由表1、圖2數(shù)值變化可知，隨著缺貨的延遲，α值遞增，S*與T*單調(diào)遞減，S*減小幅度逐漸減小，Q*與minC(S,T)呈小幅度遞增。由此可知，為保證庫存管理成本最低，缺貨延遲影響需求率的程度越大，缺貨量越?。粚畹蛶齑婀芾沓杀镜娜必浟肯陆?，其最低庫存管理成本小幅增加。

同樣，α=0.750時，分別對C1,C2,C3,C4進行數(shù)值靈敏度分析，結(jié)果見表2～表5。C1～C4對因變量相對變化的影響如圖3～圖6所示。

表5 C4對最佳庫存管理成本變量的影響

由圖3可知，當C1遞增時，T*,Q*均遞減，S*和minC(S,T)則遞增。這表明庫存持有成本增加時，零售商為了避免庫存占用過多的資金，需小批量進貨，同時縮短進貨周期，以保持較低的庫存管理成本。圖4表明，當C2遞增時，S*，T*單調(diào)遞減，Q*和minC(S,T)略微增加，說明當生產(chǎn)過程中因為誤期等意外造成的缺貨成本增加時，為避免管理成本過高，零售商應采用小批量進貨。由圖5看出，當C3增大時，S*遞減，說明避免缺貨是商家的最佳選擇。由圖6可知，當C4遞增時，S*，Q*遞減，T*和minC(S,T)遞增，說明在訂貨成本過高時，保持缺貨狀態(tài)能維持較低的庫存管理成本。

4 結(jié)語

服裝產(chǎn)品缺貨時，消費者一定程度上可以接受延遲滿足，針對此消費特點，在傳統(tǒng)EOQ模型的基礎(chǔ)上，建立單個周期中庫存管理平均總成本的數(shù)學模型，研究缺貨因素下服裝庫存的最低庫存管理成本和庫存訂貨策略，對缺貨影響因子及各個成本變量進行靈敏度測試。研究表明：

1)為保證庫存管理成本最低，缺貨延遲影響需求率的程度越大，缺貨量越小；對應最低庫存管理成本的缺貨量下降，最低庫存管理成本小幅增加。

2)庫存持有成本增大時，應小批量進貨，同時縮短進貨周期，以保持較低庫存管理成本。

3)當生產(chǎn)過程中因誤期等意外造成缺貨成本增加時，商家應小批量進貨。

4)訂貨成本過高時，可保持缺貨狀態(tài)，以降低庫存管理成本。

商家可參照靈敏度分析的結(jié)果根據(jù)具體情況采取相應的訂貨策略，因此缺貨延遲條件下的EOQ庫存模型對商家的運營管理具有一定參考意義。