周金友

摘 ?要：綜合與實踐旨在溝通聯(lián)系、突出綜合、強化實踐等作用。本文結(jié)合“正方體染色問題”，從學(xué)生學(xué)的角度出發(fā)，抓住本質(zhì)對學(xué)習內(nèi)容進行深度加工，通過自主活動實現(xiàn)經(jīng)驗與新知的有效對接，建構(gòu)知識，在運用中自覺地進行遷移應(yīng)用，促進想象，從而達成深度學(xué)習和提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。

關(guān)鍵詞：綜合實踐;拓展;染色問題

“綜合與實踐”是課程改革后新增的一個領(lǐng)域，承載著溝通聯(lián)系、突出綜合、強化實踐等數(shù)學(xué)教學(xué)理念。作為“綜合型”課程，“綜合與實踐”注重知識的整體關(guān)聯(lián)和綜合運用，側(cè)重于讓學(xué)生在寬泛的視野中感受到知識的價值，有利于學(xué)生創(chuàng)造品質(zhì)和實踐能力的培養(yǎng)。筆者借助人教版五年級下冊的“探究圖形”中的正方體涂色問題，抓住內(nèi)容本質(zhì)進行深度加工，通過學(xué)生自主活動巧妙地實現(xiàn)經(jīng)驗與新知相互轉(zhuǎn)化，運用中學(xué)生自覺地進行遷移與聯(lián)想，落實綜合實踐內(nèi)容的目標?，F(xiàn)介紹如下：

一、課堂情境再現(xiàn)

片段一：動態(tài)演示，導(dǎo)入新知

1. 師：這是一個點，現(xiàn)在讓它變一變，再變，繼續(xù)變！變成了什么？你們已經(jīng)知道了正方體的哪些知識？（圖1）

2. 你們知道了正方體的特征與三種量，真多！現(xiàn)在老師給它的表面涂滿紅色，如圖切開，你們又想到了什么？（圖2）

3. 你們想到的這些就是數(shù)學(xué)中的正方體的染色問題（出示課題），今天我們就一起來研究正方體的染色問題。

【設(shè)計意圖：課一開始，以點、線、面、體的動態(tài)演示，溝通幾何體各要素之間的聯(lián)系，并能引發(fā)學(xué)生從運動變化的角度去觀察現(xiàn)象和思考問題，為學(xué)生理解和解決“正方體涂色規(guī)律”的問題做好孕伏。通過“你們已經(jīng)知道了哪些知識？”與“又想到了什么？”兩個問題，了解、診斷學(xué)生的現(xiàn)實起點，又為新知的學(xué)習做好知識經(jīng)驗與學(xué)習心向等多方面的準備?！?/p>

片段二：動手操作，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)

1. 學(xué)生活動（活動單見圖3）。

2. 反饋交流。

師：我們先來匯報各種涂色小正方體的個數(shù)，你們是怎么找到的？（出示作品的學(xué)生介紹）

生1：3面涂色的小正方體在頂點，2面涂色的小正方體在棱上，1面涂色的小正方體在面上。

生2：2面涂色的小正方體在棱中間。

生3：1面涂色的小正方體在面中間。

師：3面涂色的小正方體在頂點大家意見一致，但2面涂色的有兩種觀點——棱上和棱中間，你們認為哪種觀點正確并說理由。

師：是呀！棱上包括頂點的兩個小正方體，因此準確地說，應(yīng)該是棱中間。那1面涂色的呢？0面呢？怎么想到的？（結(jié)合學(xué)生想象，課件直觀演示呈現(xiàn)）

師：大家善于觀察，通過操作發(fā)現(xiàn)了小正方體涂色面數(shù)不同是因為它們所在的什么不同？（板書：位置）面中間的小正方體是1面涂色，這點老師也同意，但在頂點的小正方體為什么3面涂色？（頂點是3面的交點，有3面露在外面）同意！那棱中間呢？原來它們幾面涂色是源于頂點、棱的意義?，F(xiàn)在請大家閉眼想一想，什么位置的小正方體分別是幾面涂色（教師說涂色面數(shù)，學(xué)生口答位置）。

【設(shè)計意圖：皮亞杰曾說過，“兒童智慧的鮮花是開放在手指尖上的”。根據(jù)學(xué)生的年齡特征與思維水平，在自然生成學(xué)習內(nèi)容背景下設(shè)計了“涂一涂、填一填、想一想”的挑戰(zhàn)性活動任務(wù)（一），通過動手操作讓學(xué)生自覺地喚醒、運用已有正方體的知識經(jīng)驗，感知各類涂色正方體與位置間的關(guān)系，建立良好的認知表象。交流過程中，通過教師追問，引領(lǐng)學(xué)生從構(gòu)成要素頂點、棱意義的知識源頭進行自然鏈接，從本質(zhì)上理解正方體的涂色面數(shù)問題，做到“知其然，更知其所以然”，實現(xiàn)有意義的學(xué)習。】

片段三：歸納推理，探究方法

1. 活動（二）：現(xiàn)在有一個正方體的表面涂滿紅色，如圖切開。求3面、2面、1面涂色的小正方體各有多少個？（若有困難，在圖上涂一涂）（圖4）

（1）學(xué)生活動。

（2）反饋交流：達成方法的統(tǒng)一和思路的理解。

（3）師：觀察這個正方體中2面、1面、0面涂色的小正方體個數(shù)的求法，你們發(fā)現(xiàn)有什么相同之處？

2. （1）現(xiàn)在將這個正方體的棱長變短為4×4×4（出示圖形），每類涂色小正方體又各有多少個？如果正方體的棱長變長為6×6×6呢？

（2）如果大正方體中小正方體的數(shù)量是（ ? ）×（ ? ）×（ ? ），你們能在括號里任意填一個自然數(shù)表示大正方體的棱長，并求出每一類涂色小正方體的個數(shù)嗎？

活動板書見表1。

3. 觀察這些正方體的各面涂色的小正方體的個數(shù)或求法，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

師：大家觀察得真仔細！你們發(fā)現(xiàn)了位置與方法的聯(lián)系，還有它們思路上的相同點都是要先求出棱中間的小正方體個數(shù)。3面涂色的小正方體都在頂點，所以有8個，而2面、1面、0面涂色的小正方體的求法分別與棱長總和、表面積、體積的求法相同。

【設(shè)計意圖：“有比較，才有鑒別”。比較是認識一切事物的基礎(chǔ)，在學(xué)生弄清各類涂色小正方體的位置后，將情境切換到“棱長是5厘米的正方體”中，學(xué)生面臨著數(shù)量上從“少”到“多”，策略上由“數(shù)”到“聚”的狀態(tài)。通過任務(wù)二的獨立嘗試、成果展示、交流碰撞，學(xué)生發(fā)現(xiàn)并初步理解了各類涂色小正方體個數(shù)的求法。棱長從5變成4與6，以及學(xué)生自填棱長并求各類涂色小正方體的個數(shù)，逐步強化與理解了求法，又為歸納做好了材料方面的準備。最后對材料進行觀察與交流，在比較中找到聯(lián)系，實現(xiàn)求法與已有三種量的順利對接，實現(xiàn)主動建構(gòu)?！?/p>

片段四：用中求變，由薄變厚

1. （1）一個棱長是4厘米的正方體積木表面涂滿紅色，現(xiàn)在切成棱長為1厘米的小正方體。請問2面涂色與1面涂色的小正方體各有多少個？

（2）一個棱長是7厘米的正方體積木表面涂滿紅色，現(xiàn)在切成棱長為1厘米的小正方體。請問沒有涂色的小正方體有多少個？

2. （1）把一個正方體積木表面涂滿紅色，再在每條棱長上等距離切5刀。請問1面涂色的小正方體有多少個？

（2）把一個正方體積木表面涂滿紅色，已知2面涂色的小正方體有48個。請問至少1面涂色的小正方體有多少個？

校對后教師將第一組練習的第（2）題的第一個條件依次改為：①現(xiàn)在在它的棱長上等距離切6刀;②2面涂色的小正方體有60個;③1面涂色的小正方體有150個，大家分別可以知道什么？結(jié)果發(fā)現(xiàn)都可以求出棱中間的小正方體個數(shù)。由此引出第二組練習，在對比中發(fā)現(xiàn)并理解1面涂色與至少1面涂色的區(qū)別及求法以及審題時的注意點。

【設(shè)計意圖：鞏固環(huán)節(jié)安排了兩組精簡的練習，第一組基本題運用、檢測、內(nèi)化求法;由第二題已知條件的多角度變異，幫助學(xué)生豐富由薄到厚的經(jīng)歷，同時通過“不變”的尋找，讓學(xué)生跳出具體的細節(jié)，從整體上抓住關(guān)鍵，把握思路，形成策略。第二組提高題的跟進與題組的設(shè)計，在比較中區(qū)分“1面涂色”與“至少1面涂色”的區(qū)別以及對后者兩種方法的討論交流，讓學(xué)生在元認知層面得到提高?！?/p>

片段五：合理想象，拓展提升

師：研究了正方體的染色問題，大家有哪些收獲或明白了什么？由位置“聯(lián)”到涂色面數(shù)與具體的求法，此時大家繼續(xù)“想”，根據(jù)正方體的染色問題能想到什么？

生1：長方體的染色問題。

師：多好的想法！老師這里有一個長、寬、高分別是6、5、4的長方體，你們又可以想到什么？

……

師：真了不起！將正方體的染色問題的方法與思路自覺地運用到長方體中。老師也想到一個問題，到目前為止我們討論的染色問題中最多只有3面涂色，會不會出現(xiàn)4面涂色、5面涂色與6面涂色呢？不用急著下結(jié)論，請大家在腦中想一想，也可以同桌輕聲交流。

生1：我想到2×2×1的長方體中有四面涂色。（等其他學(xué)生想象后，師生一起畫圖驗證）

師：你的想象力太豐富了，幫大家指明了方向，也解答了疑惑，謝謝你！

生2：2×1×1的長方體中有五面涂色。（畫圖驗證）

師：大家順著他的思路想象一下，還有沒有5面與4面涂色的？這時學(xué)生想到了3×1×1，4×1×1，……

師（小結(jié)）：此時老師想到一句廣告語——“一切皆有可能”，同時也將偉大的科學(xué)家愛因斯坦的一句名言送給大家——“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力是無限的”。希望大家在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習中，插上想象的翅膀，遨游在數(shù)學(xué)王國中，享受數(shù)學(xué)的思維盛宴！

【設(shè)計意圖：課尾結(jié)合學(xué)生的總結(jié)概括，教師點出主題，由位置“聯(lián)”到方法，繼而由學(xué)生“想”到長方體的涂色問題，并將正方體涂色問題的視角、方法與活動經(jīng)驗遷移到長方體涂色問題中，深化、活化知識方法。同時，由“有無4面涂色、5面涂色的小正方體”問題的思考與想象，打開學(xué)生的想象空間，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。最后引用愛因斯坦的名言做總結(jié)，感悟想象的重要性并激勵學(xué)生在學(xué)習中要善于想象，將其內(nèi)化于學(xué)生的生命感悟之中，以達到“畫龍點眼”之效?！?/p>

二、課后教學(xué)感悟

1. 抓本質(zhì)，對學(xué)習內(nèi)容進行深度加工

長方體、正方體的基本構(gòu)成要素是點、線、面，它們相互依托構(gòu)成“體”并呈現(xiàn)“體”的數(shù)學(xué)特征，這些特征同時決定了棱長總和、表面積、體積等數(shù)學(xué)要素的衍生，可謂“本質(zhì)”之源。正方體的涂色問題也不例外，它的探討涉及正方體的構(gòu)成要素與相關(guān)量的計算方法。從知識特征分析，3面、2面、1面再到?jīng)]有涂色，各種立方體的所在位置與正方體的各要素密切相關(guān)，數(shù)量求法與三種量的求法緊密吻合，數(shù)量規(guī)律呈現(xiàn)出較為明顯的一維到三維的“梯次難度”，這種現(xiàn)象與整個“空間與圖形”知識的編排相對應(yīng)。基于以上分析，抓住涂色問題與“體”的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系，對學(xué)習內(nèi)容進行深度加工，設(shè)計結(jié)構(gòu)性材料，有序、遞進的活動任務(wù)讓學(xué)生去把握過程：或是“質(zhì)疑”“探究”，或是“歸納”“演繹”，或是“比較”“情境體驗”等。正因豐富了學(xué)生親歷過程的“源頭之水”，才能真正開拓他們頭腦中的“思維之渠”。

2. 巧對接，對經(jīng)驗與新知進行相互轉(zhuǎn)化

布魯納說：“掌握事物的結(jié)構(gòu)，就是以允許許多別的東西與它有意義地聯(lián)系起來的方式去理解它。簡單地說，學(xué)習結(jié)構(gòu)就是學(xué)習事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的?！苯虒W(xué)中，通過活動（一）的動手操作，實現(xiàn)不同涂色面數(shù)的小正方體位置與正方體點、線、面、體各要素的對接，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)。由活動（二）的嘗試探究，達成不同涂色面數(shù)小正方體數(shù)量的求法與正方體三種量的求法的對接，實現(xiàn)由歸納到演繹的深度理解。此外，練習運用中進行適度的變式，總結(jié)中的師生質(zhì)疑，豐富了學(xué)生的經(jīng)歷，促成了多角度、多方位的對接，不斷讓學(xué)生的已有經(jīng)驗與新經(jīng)驗（知識）之間建立聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，從而使學(xué)生與知識建立意義關(guān)聯(lián)，促成深度學(xué)習的發(fā)生。

3. 促想象，對學(xué)習方法進行遷移應(yīng)用

學(xué)貴在用，通過遷移與應(yīng)用將所學(xué)知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。教學(xué)中，研究正方體的涂色問題后，教師引發(fā)學(xué)生以此為邏輯起點展開聯(lián)想：其一，學(xué)生自覺地想到長方體的涂色問題，并且順利地運用正方體涂色問題的結(jié)構(gòu)性觀點與思維方式去思考、分析、解決長方體的涂色問題，學(xué)以致用，使知識方法呈現(xiàn)活性。其二，讓學(xué)生聯(lián)想到涂色問題的4面涂色、5面涂色等特殊情況，使學(xué)生從整體上把握結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)地理解與掌握涂色問題，同時發(fā)展學(xué)生的空間想象能力與全面分析問題的能力。

總之，涂色問題作為綜合型課程的內(nèi)容，以問題為載體，聯(lián)系學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)，設(shè)計提供有價值的、富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自主參與學(xué)習活動，引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)認知的聯(lián)化、簡化與深化，讓學(xué)生積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，進而在輕松、互助的氛圍中實現(xiàn)深度學(xué)習，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。