劉延，李夢薇，甄靈敏，宋亞菊

（衡陽師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，湖南 衡陽 421002）

波導(dǎo)量子電動力學(xué)旨在研究受限于波導(dǎo)系統(tǒng)的電磁場和原子之間的相互作用，在分布式量子計算和量子網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域都具有重要的理論研究意義和廣泛的應(yīng)用價值。波導(dǎo)中原子自發(fā)輻射誘導(dǎo)的量子退相干是阻礙波導(dǎo)量子電動力學(xué)在各領(lǐng)域的應(yīng)用和發(fā)展的主要因素。研究波導(dǎo)量子電動力學(xué)中光與物質(zhì)的相互作用，特別是波導(dǎo)中原子的自發(fā)輻射，已成為一個亟待解決的熱點問題。

近年來，波導(dǎo)量子電動力學(xué)引起了國內(nèi)外理論和實驗物理學(xué)者的廣泛關(guān)注和深入研究。美國哈佛大學(xué)Lukin 研究組在2007 年基于波導(dǎo)系統(tǒng)提出了單光子晶體管方案[1]。隨后， Kimble 等人在2008 年首次提出了分布式量子網(wǎng)絡(luò)的概念[2]。斯坦福大學(xué)的Shanhui Fan 研究組利用廣義Bethe-ansatz方法推導(dǎo)出波導(dǎo)系統(tǒng)中少光子的精確S 矩陣[3]。國內(nèi)孫昌璞和周蘭研究小組基于一維耦合腔波導(dǎo)[4-5]，也相繼提出了多種單光子量子相干器件的理論方案，并在弱耦合區(qū)域利用Weisskopf-Wigner 近似研究了矩形波導(dǎo)中二能級原子的自發(fā)輻射特性[6-11]。盡管波導(dǎo)量子電動力學(xué)的研究取得了一些顯著的研究成果，但我們發(fā)現(xiàn)大多研究者基于具有線性色散關(guān)系的一維理想波導(dǎo)系統(tǒng)。而實際波導(dǎo)的非線性色散特性會誘導(dǎo)波導(dǎo)與原子耦合系統(tǒng)出現(xiàn)本征束縛態(tài)，會極大影響波導(dǎo)中原子的長時動力學(xué)行為[12-14]，這在量子存儲方面具有潛在的應(yīng)用價值。因此，研究由波導(dǎo)系統(tǒng)非線性色散誘導(dǎo)的束縛態(tài)及其量子效應(yīng)成為該領(lǐng)域另一個亟不可待的科學(xué)問題。

本文將以無限長矩形波導(dǎo)與二能級原子耦合系統(tǒng)為例，利用Lippmann-Schwinger 方程和不含時薛定諤方程分別推導(dǎo)出耦合系統(tǒng)的本征散射態(tài)和本征束縛態(tài)，進而求得耦合系統(tǒng)的時間演化算符，深入探究原子的自發(fā)輻射特性，揭示在二能級原子在矩形波導(dǎo)中的穩(wěn)態(tài)相干囚禁現(xiàn)象及其物理機制。該研究不僅有助于人們深入認(rèn)識微觀世界中光與物質(zhì)相互作用的物理規(guī)律[15]，而且有望為基于波導(dǎo)量子電動力學(xué)系統(tǒng)的量子信息處理提供更優(yōu)的量子調(diào)控方案，實質(zhì)性地推動波導(dǎo)量子電動力學(xué)系統(tǒng)在量子計算、量子通信等領(lǐng)域的應(yīng)用。

1 物理模型及其哈密頓量

如圖1 所示，單個二能級原子處于橫截面高為a、寬為b 的無限長矩形波導(dǎo)正中央。考慮二能級原子的電偶極矩方向沿z 軸。由于矩形波導(dǎo)的TE傳播模式在z方向的分量Ez=0 ，在電偶極近似下，二能級原子只與矩形波導(dǎo)的TM 模式耦合。簡單起見，本文僅討論二能級原子與單個TM11模式耦合。此時，總系統(tǒng)的哈密頓量為

圖1 二能級原子與無限長矩形波導(dǎo)耦合系統(tǒng)示意圖

2 本征態(tài)求解

在旋轉(zhuǎn)波近似下，耦合系統(tǒng)的總激發(fā)數(shù)守恒。在單激發(fā)子空間，總系統(tǒng)的本征散射態(tài)可表示為

由此可知，總系統(tǒng)的本征散射態(tài)由（5）式和（8）—（12）式共同決定。

3 二能級原子的自發(fā)輻射

根據(jù)二能級原子與矩形波導(dǎo)耦合系統(tǒng)的本征散射態(tài)和束縛態(tài)，總系統(tǒng)的時間演化算符可以表示為

從上式可以看，二能級原子激發(fā)態(tài)布居數(shù)的動力學(xué)由總系統(tǒng)本征散射態(tài)和本征束縛態(tài)兩部分的共同調(diào)制，其中束縛態(tài)的出現(xiàn)導(dǎo)致二能級原子出現(xiàn)激發(fā)態(tài)布居數(shù)囚禁現(xiàn)象，而不同散射態(tài)之間的量子干涉和束縛態(tài)和散射態(tài)之間的量子干涉導(dǎo)致二能級原子激發(fā)態(tài)布居數(shù)的衰減。

接下來，我們將詳細(xì)分析原子躍遷頻率Ω 與矩形波導(dǎo)截止頻率ωc的失諧，以及原子與矩形波導(dǎo)耦合強度g對原子激發(fā)態(tài)布局?jǐn)?shù)動力學(xué)的影響。

圖2 二能級原子躍遷頻率Ω取不同值時，原子激發(fā)態(tài)布居數(shù)p(t)的動力學(xué)演化，其中原子與波導(dǎo)的耦合強度g =0.1。

圖2 給出了二能級原子激發(fā)態(tài)布居數(shù)的動力學(xué)演化p(t) 與原子躍遷頻率Ω 的關(guān)系，其中矩形波導(dǎo)TM11模的截止頻率ωc為單位頻率，原子與矩形波導(dǎo)的耦合強度取為g=0.1。由圖2 可知，原子的激發(fā)態(tài)布居數(shù)隨時間震蕩衰減，而且當(dāng)時間趨于無窮大時，激發(fā)態(tài)布局?jǐn)?shù)趨于恒定值。此外，對比圖2 中的四條曲線，可知當(dāng)原子的躍遷頻率越低于矩形波導(dǎo)的截止頻率時（Ω/ωc=0.6,0.8），原子激發(fā)態(tài)布居數(shù)的震蕩越明顯，而且激發(fā)態(tài)布居數(shù)在穩(wěn)態(tài)下數(shù)值越大，出現(xiàn)可觀的激發(fā)態(tài)布居數(shù)囚禁現(xiàn)象。相反，當(dāng)原子的躍遷頻率高于矩形波導(dǎo)的截止頻率時（Ω/ωc=1.2,1.5），原子與矩形波導(dǎo)發(fā)生共振，自發(fā)輻射的衰減現(xiàn)象更明顯，而且激發(fā)態(tài)布居數(shù)在穩(wěn)態(tài)下的數(shù)值較小。

圖3 和圖4 反映了原子與矩形波導(dǎo)的耦合強度g對激發(fā)態(tài)布居數(shù)p(t)的影響，其中矩形波導(dǎo)TM11模的截止頻率ωc為單位頻率，原子躍遷頻率分別取Ω =0.8 和Ω =1.5。可知隨著耦合強度g的增強，原子激發(fā)態(tài)布居數(shù)的震蕩和衰減都越明顯。對比圖3 和圖4 中原子與矩形波導(dǎo)耦合強度取相同值的曲線，可知原子激發(fā)態(tài)布居數(shù)動力學(xué)演化的整體趨勢主要受原子躍遷頻率Ω 的影響。

圖3 二能級原子與波導(dǎo)的耦合強度g 取不同值時，原子激發(fā)態(tài)布居數(shù)p(t)的動力學(xué)演化，其中原子的躍遷頻率Ω=0.8。

圖4 二能級原子與波導(dǎo)的耦合強度g 取不同值時，原子激發(fā)態(tài)布居數(shù)p(t)的動力學(xué)演化，其中原子的躍遷頻率Ω=1.5。

4 結(jié)束語

本文主要研究了二能級原子在無限長矩形波導(dǎo)中的自發(fā)輻射特性。我們在電偶極近似和旋轉(zhuǎn)波近似下，利用Lippmann-Schwinger 方程和不含時薛定諤方程分別求出總系統(tǒng)的束縛態(tài)和散射態(tài)，進而推導(dǎo)出時間演化算符和原子激發(fā)態(tài)布居數(shù)的動力學(xué)演化。研究表明，二能級原子的激發(fā)態(tài)布局?jǐn)?shù)隨時間震蕩衰減，而且由于束縛態(tài)的存在，當(dāng)時間趨于無窮大時，激發(fā)態(tài)布居數(shù)趨于恒定值。我們還進一步分析了原子躍遷頻率和原子與矩形波導(dǎo)之間耦合強度對二能級原子自發(fā)輻射的影響。原子的躍遷頻率越遠(yuǎn)離矩形波導(dǎo)的截止頻率，原子激發(fā)態(tài)布居數(shù)的震蕩越明顯，而且激發(fā)態(tài)布居數(shù)在穩(wěn)態(tài)下數(shù)值越大，出現(xiàn)可觀的激發(fā)態(tài)布居數(shù)囚禁現(xiàn)象；而隨著耦合度的增強，原子激發(fā)態(tài)布居數(shù)的震蕩和衰減都越明顯，并且原子激發(fā)態(tài)布居數(shù)動力學(xué)演化的整體趨勢主要受原子躍遷頻率的影響。本文只考慮了二能級原子與矩形波導(dǎo)單個TM 模式耦合的情況，我們將在后續(xù)研究中繼續(xù)討論多能級單（多）原子與矩形波導(dǎo)多個傳播模式耦合的情況。