李晨瑩，劉琳琳，張磊，顧偲雯，都健

（大連理工大學(xué)化工學(xué)院化工系統(tǒng)工程研究所，遼寧大連116024）

引 言

常規(guī)換熱器網(wǎng)絡(luò)綜合以經(jīng)濟性為目標(biāo)進行參數(shù)和結(jié)構(gòu)優(yōu)化[1-3]，這會導(dǎo)致各換熱設(shè)備之間存在強烈耦合關(guān)系，進而造成潛在的控制困難，使得可控性研究失去了原本的意義[4]。此外，常規(guī)換熱器網(wǎng)絡(luò)綜合是在固定操作條件下進行的[5]。然而在實際工業(yè)環(huán)境中，來自上游過程流股以及環(huán)境本身所帶來的不確定性因素是不可避免的。這些擾動會使得換熱器網(wǎng)絡(luò)的實際優(yōu)化性能產(chǎn)生偏差甚至操作不可行[6]。因此，研究能夠抵御擾動的可控性換熱器網(wǎng)絡(luò)綜合問題是十分重要的。

一個被控變量與一個操縱變量的配對構(gòu)成控制回路，一系列控制回路構(gòu)成了控制結(jié)構(gòu)[7]。由于換熱器網(wǎng)絡(luò)的多變量特性，控制回路之間的相互作用會對換熱器網(wǎng)絡(luò)可控性產(chǎn)生嚴(yán)重的負面影響。Escobar 等[8]認為可控性是換熱器網(wǎng)絡(luò)的一種能力，高度可控的換熱器網(wǎng)絡(luò)能夠減少其潛在的控制困難，例如時延和相互作用。在此背景下，研究者們致力于設(shè)計控制回路間相互作用最小的控制結(jié)構(gòu)，以此來提高換熱器網(wǎng)絡(luò)的可控性[9]。2011 年，羅雄麟等[10]通過依次求解非方相對增益矩陣(relative gain array, RGA)，提出了換熱器網(wǎng)絡(luò)旁路位置優(yōu)化方法。其中給出了用以選擇旁路的啟發(fā)式規(guī)則，有效地簡化了求解運算過程。2016 年，在圖論的研究背景下，Kang 等[11]基于相對階提出了一種凝聚層次聚類方法以設(shè)計控制結(jié)構(gòu)。此外，還引入模塊化的概念來評估結(jié)果的緊湊性和分離性，從而識別最優(yōu)的控制結(jié)構(gòu)。2017 年，Braccia 等[12]通過平方偏差和以及凈負荷評估，提出了多變量控制結(jié)構(gòu)設(shè)計方法。

然而，換熱器網(wǎng)絡(luò)的可控性不僅與控制結(jié)構(gòu)相關(guān)，還嚴(yán)重依賴于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[8]。近年來，研究者們發(fā)現(xiàn)了換熱器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對可控性的重要性并對其影響進行探究。2016 年，Masoud 等[13]提出了一種分步策略，用于設(shè)計具有最小年度總費用(total annual cost, TAC)和最佳可控性的換熱器網(wǎng)絡(luò)。同年，Bakar 等[14]通過優(yōu)化最小傳熱溫差來同時考慮換熱器網(wǎng)絡(luò)的經(jīng)濟性和可控性。然而，之前的研究只針對換熱器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對其可控性的影響，忽略了兩者間相互作用，導(dǎo)致在綜合階段僅得到具備優(yōu)越經(jīng)濟性能的換熱器網(wǎng)絡(luò)，而無法搜索可控性換熱器網(wǎng)絡(luò)綜合問題的最優(yōu)解。更重要的是，在不確定性因素的干擾下，無法保證其所得結(jié)果的操作可行性[15]。

換熱器網(wǎng)絡(luò)的不確定性因素主要包括流股入口溫度和熱容流率等[16]。對換熱器網(wǎng)絡(luò)進行柔性分析和改造是使其能夠抵御不確定性因素的有效方法[17]。2013 年，Escobar 等[8]定義了有效柔性指數(shù)，用于衡量包含控制結(jié)構(gòu)的換熱器網(wǎng)絡(luò)的柔性程度。如不滿足柔性需求，則進行網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和控制結(jié)構(gòu)的改造。2019 年，Gu 等[18]通過考慮流股出口溫度的變化范圍，設(shè)計能夠抵御多擾動的換熱器網(wǎng)絡(luò)。

本文考慮換熱器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與可控性之間的相互作用，基于多工況優(yōu)化，深入探究不同決策變量對換熱器網(wǎng)絡(luò)經(jīng)濟性和可控性的影響，并以柔性指數(shù)衡量換熱網(wǎng)絡(luò)的操作可行性，提出抵御不確定性因素擾動的可控性換熱器網(wǎng)絡(luò)綜合方法。該方法旨在探索換熱器網(wǎng)絡(luò)經(jīng)濟性和可控性之間的權(quán)衡，并得到抵御不確定性因素擾動的可控性換熱器網(wǎng)絡(luò)。

1 問題描述

不確定性下基于多工況優(yōu)化的可控性換熱器網(wǎng)絡(luò)綜合問題描述為：已知一系列冷熱流股，其中各流股的進出口溫度、熱容流率、傳熱膜系數(shù)給定。已知不確定性因素及其波動范圍，已知最小傳熱溫差。該問題依據(jù)多工況優(yōu)化，致力于得到具有最小年度總費用的可控性換熱器網(wǎng)絡(luò)，并且該網(wǎng)絡(luò)能夠在指定的不確定性因素波動下保證其操作可行性。

本文工作基于以下假設(shè)：(1)忽略流股的壓力降和其他的流體動力學(xué)因素[19]；(2)旁路開度為操縱變量，流股出口溫度為被控變量；(3)考慮不確定性參數(shù)波動[20]。

2 不確定性下基于多工況優(yōu)化的可控性換熱器網(wǎng)絡(luò)綜合方法

首先，給出兩條啟發(fā)式規(guī)則來充分考慮換熱器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與可控性之間的相互影響，進行可控性換熱器網(wǎng)絡(luò)綜合得到初始換熱器網(wǎng)絡(luò)，標(biāo)記為HEN1。其次，基于不同工況調(diào)控，優(yōu)化決策變量以權(quán)衡換熱器網(wǎng)絡(luò)的經(jīng)濟性和可控性，得到標(biāo)記為HEN2 的換熱器網(wǎng)絡(luò)。最后，通過柔性指數(shù)判斷HEN2 在不確定因素擾動下的操作可行性，若不可行，則辨識HEN2 的臨界操作點并在其上進行網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和控制結(jié)構(gòu)的改造，得到最終換熱器網(wǎng)絡(luò)，標(biāo)記為HEN3。

3 數(shù)學(xué)模型

3.1 可控性換熱器網(wǎng)絡(luò)綜合模型

本文基于Yee 等[21]提出的無分流分級超結(jié)構(gòu)開展換熱器網(wǎng)絡(luò)綜合研究。不同之處在于，本文采用的超結(jié)構(gòu)中，各換熱器冷熱流股兩側(cè)均可放置旁路，且考慮非等溫混合，超結(jié)構(gòu)如圖1所示。

3.1.1 目標(biāo)函數(shù) 以換熱器網(wǎng)絡(luò)年度總費用最小為目標(biāo)函數(shù)進行可控性換熱器網(wǎng)絡(luò)綜合。年度總費用包括投資費用和操作費用，投資費用分為換熱設(shè)備的固定安裝費用和面積費用，如式(1)所示。

其中，二元變量zi,j.k、zcui、zhuj分別表示換熱器、冷卻器、加熱器的存在性。當(dāng)匹配存在時，二元變量取值為1，否則取值為0。CF 為換熱器的固定安裝費用；C 為換熱器的面積費用系數(shù)；Ccu、Chu分別為單位冷熱公用工程費用[22]。

3.1.2 約束條件 過程模型是綜合模型中不可或缺的約束條件，其用于描述換熱器網(wǎng)絡(luò)。過程模型包括一系列等式和不等式約束，例如熱平衡方程、質(zhì)量平衡方程、溫度可行性約束等，完整的約束條件詳見Grossmann 教授課題組的研究工作[8]。此外，本文提出用于提高換熱器網(wǎng)絡(luò)可控性的啟發(fā)式規(guī)則，如下所示。

(1)避免同一換熱器冷熱兩側(cè)流股出口溫度同時成為被控變量

顯然，這種情況將增加相應(yīng)控制回路間相互作用，導(dǎo)致?lián)Q熱器的出口溫度變化極為復(fù)雜，從而降低換熱器網(wǎng)絡(luò)的可控性。該規(guī)則可描述為式(2)～式(5)

其中，Tc,outi,j,k和Th,outi,j,k分別是換熱器冷熱流股側(cè)的出口溫度；Ti,NK和Tj,1分別是第i 條熱流股和第j 條冷流股的出口溫度;Thi,j,k是換熱器熱端出口溫度與第i條熱流股出口溫度的差值;Tci,j,k是 第j 條冷 流 股出口溫度與換熱器冷端出口溫度的差值。當(dāng)Tc,outi,j,k和Th,outi,j,k同時成為被控變量時，二元變量zhei,j.k取值為1。參數(shù)Γ和Ω是懲罰因子，參數(shù)Φ由網(wǎng)絡(luò)規(guī)模確定。

(2)優(yōu)先選擇對被控變量有直接影響的旁路開度作為操縱變量

圖1 考慮所有潛在旁路的無分流分級超結(jié)構(gòu)Fig.1 Nonsplit three-stage superstructure involving all possible bypasses

Masoud 等[13]指出放置在流股末端換熱器上的旁路對該出口溫度有直接影響。因此，當(dāng)選擇這些旁路的開度作為操縱變量時，相應(yīng)的控制回路可對換熱器網(wǎng)絡(luò)的溫度調(diào)節(jié)提供快速的響應(yīng)，減少了潛在的控制困難，從而改善了換熱器網(wǎng)絡(luò)的可控性。而且這種旁路能夠有效地緩解控制回路間相互作用。否則，當(dāng)旁路放置在遠離流股末端的換熱器上時，所產(chǎn)生的控制回路將受到下游其他控制回路的負面影響，其本身的溫度變化也將順序傳遞至下游換熱器。該規(guī)則可描述為式(6)、式(7)。

二元變量zhbyi,j,k和zcbyi,j,k表示換熱器上冷熱流股兩側(cè)旁路的存在性。當(dāng)熱端流股上存在旁路時，zhbyi,j,k取值為1。當(dāng)冷端流股上存在旁路時，zcbyi,j,k取值為1。

3.2 控制結(jié)構(gòu)設(shè)計

相對增益是用來衡量操縱變量與被控變量之間相互作用的尺度[23-24]。因此，通過計算相對增益矩陣可用于配對操縱變量與被控變量，以便獲得具有最小控制回路間相互作用的控制結(jié)構(gòu)[25]。相對增益矩陣通過增益矩陣G 獲得，如式(8)所示[26]。矩陣G 的行表示換熱器網(wǎng)絡(luò)的被控變量，列是操縱變量。矩陣G 的元素gp,q描述第p 個被控變量與第q個操縱變量的關(guān)系[27]。

選擇相對增益矩陣的元素值等于1或者接近于1 來構(gòu)成的控制結(jié)構(gòu)具有最小的控制回路間相互作用。故通過兩者間差值構(gòu)建新的可控性指標(biāo)來實現(xiàn)控制結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計，即相對增益矩陣數(shù)(relative gain array number,RGAN)，其計算公式如式(9)所示[28]

3.3 換熱器網(wǎng)絡(luò)可行性分析

常規(guī)換熱器網(wǎng)絡(luò)綜合是基于固定操作條件開展的。然而，換熱器網(wǎng)絡(luò)在實際工業(yè)環(huán)境中會不可避免地受到不確定性因素的干擾，導(dǎo)致其實際優(yōu)化性能產(chǎn)生偏差，甚至操作不可行[29-30]。因此，在不確定性因素的干擾下，保證可控性換熱器網(wǎng)絡(luò)的操作可行性是至關(guān)重要的。

柔性指數(shù)可以定量地描述過程系統(tǒng)所能承受擾動的最大偏差，指最大偏差與其特定變化范圍的比值，其普適性強，是不確定性領(lǐng)域中里程碑式的成果。當(dāng)柔性指數(shù)大于等于1，表示不確定性因素在一定范圍內(nèi)波動時系統(tǒng)仍能維持運行。描述柔性指數(shù)的模型如式(10)～式(13)所示[31]

式中，δk為最大允許偏差；f 表示與設(shè)計變量d、控制變量z、不確定性參數(shù)θ相關(guān)的不等式約束。

4 算例分析

算例數(shù)據(jù)來自Li 等[32]，包括冷熱流股各3 條，冷熱公用工程各1 條，過程流股數(shù)據(jù)如表1 所示。最小傳熱溫差為10 K，換熱設(shè)備投資費用的計算式為COST=8000+800A0.8USD，冷熱公用工程的費用分別為10 USD·kW-1·a-1和70 USD·kW-1·a-1。不確定性參數(shù)為流股H1,H3,C1 和C2 的入口溫度，其波動范圍為±10 K。

表1 過程流股數(shù)據(jù)Table 1 Parameters of process streams

4.1 可控性換熱器網(wǎng)絡(luò)綜合

首先，在標(biāo)準(zhǔn)操作條件下進行可控性換熱器網(wǎng)絡(luò)綜合，旁路開度下限設(shè)置為0.1[13]，綜合得到的換熱器網(wǎng)絡(luò)標(biāo)記為HEN1，如圖2 所示，其相關(guān)數(shù)據(jù)如表2所示。

4.2 基于多工況的換熱器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)優(yōu)化

針對實際工業(yè)環(huán)境中操作工況變化的情況，本文基于多工況對HEN1進行旁路數(shù)量、旁路開度、換熱器面積的優(yōu)化，旨在探索換熱器網(wǎng)絡(luò)經(jīng)濟性與可控性之間的權(quán)衡。

4.2.1 工況1：旁路數(shù)量變化 旁路是進行流股分流和溫度調(diào)節(jié)的重要工具，不同的旁路數(shù)量顯然將影響換熱匹配進而影響換熱器網(wǎng)絡(luò)的經(jīng)濟性。同時，由于旁路開度是構(gòu)成控制結(jié)構(gòu)所必須的操縱變量，因此不同的旁路數(shù)量必然會影響換熱器網(wǎng)絡(luò)的可控性。

圖2 HEN1結(jié)構(gòu)Fig.2 Scheme of HEN1 structure

旁路數(shù)量對換熱器網(wǎng)絡(luò)的經(jīng)濟性和可控性的影響如圖3所示。年度總費用隨旁路數(shù)量的增加而增大，這是由于在流股匹配不變的情況下，旁路的存在使經(jīng)過換熱之后的熱流股溫度變得更高，或者冷流股溫度變得更低，這使得最小傳熱溫差減小，導(dǎo)致?lián)Q熱器面積相對增大，從而使投資費用增大，造成年度總費用增大。同時，隨旁路數(shù)量的增加，相對增益矩陣數(shù)也呈現(xiàn)整體不斷增大的變化規(guī)律。其原因是旁路數(shù)量越多，所構(gòu)成的控制回路越多，控制回路之間的相互作用越強烈。然而，對于可控性的換熱器網(wǎng)絡(luò)，所有流股出口溫度均需要被調(diào)控，故選擇與流股數(shù)量相等的操縱變量。因此，該換熱器網(wǎng)絡(luò)選擇6個旁路。

綜上所述，當(dāng)以經(jīng)濟性目標(biāo)為導(dǎo)向時，換熱器網(wǎng)絡(luò)應(yīng)分配較少的旁路數(shù)量；當(dāng)以可控性目標(biāo)為導(dǎo)向時，同樣應(yīng)該選擇較少的旁路數(shù)量；但當(dāng)工藝指標(biāo)要求較為嚴(yán)苛，要求換熱器網(wǎng)絡(luò)所有流股高度可控時，則選擇與被控變量數(shù)量相同的旁路。

圖3 旁路數(shù)量對TAC和RGAN的影響Fig.3 Effect of bypass number on TAC and RGAN

4.2.2 工況2：旁路開度變化 在工業(yè)生產(chǎn)中，通常采用旁路開度調(diào)節(jié)的方式來實現(xiàn)換熱器網(wǎng)絡(luò)的控制，該方法具有自由度大、反應(yīng)靈敏等優(yōu)點。旁路開度不同，流經(jīng)換熱器的熱容流率不同，導(dǎo)致?lián)Q熱器網(wǎng)絡(luò)的最小傳熱溫差不同，最終影響其經(jīng)濟性和可控性。并且不同的旁路開度調(diào)節(jié)存在相互影響，這會導(dǎo)致劇烈的控制回路間相互作用。本文同時對HEN1中旁路K1,K2和K3的開度作出調(diào)節(jié)，旁路開度調(diào)節(jié)上限設(shè)置為0.5[33]。旁路K1,K2 和K3 的開度變化對換熱器網(wǎng)絡(luò)年度總費用和相對增益矩陣數(shù)的影響分別如圖4和圖5所示。

由圖可知，不同旁路開度對換熱器網(wǎng)絡(luò)經(jīng)濟性和可控性有不同的影響。旁路K1 和K2 的開度變化對換熱器網(wǎng)絡(luò)年度總費用有著強烈影響：其開度增大，年度總費用增大。而旁路K3 的開度變化對年度總費用的影響較小，但也呈現(xiàn)相同的規(guī)律。這是因為在流股匹配不變的情況下，隨著旁路開度的增大，流經(jīng)換熱器流股的熱容流率變小，而換熱流股與流經(jīng)旁路流股混合后的溫度仍需滿足換熱網(wǎng)絡(luò)整體熱交換，因此被加熱的換熱流股溫度變高，被冷卻的換熱流股溫度變低，導(dǎo)致?lián)Q熱器面積增大，進而使得年度總費用增大。由圖5 可知，相對增益矩陣數(shù)隨旁路K1 和K2 開度的變化趨勢一致，兩者與旁路K3 協(xié)同作用于換熱器網(wǎng)絡(luò)的可控性。這是因為旁路K1 和K2 均為所在流股上的唯一旁路，受其他旁路影響較小，所以其對可控性的影響相似。然而由于換熱網(wǎng)絡(luò)的多控制回路特性，各控制回路之間有強烈的耦合作用，導(dǎo)致旁路開度不同對可控性有不同影響，但影響規(guī)律尚不明晰。如圖所示，最小相對增益矩陣數(shù)對應(yīng)于旁路K3 的開度為0.5。

表2 換熱器網(wǎng)絡(luò)對比Table 2 Comparison of HEN

圖4 TAC隨旁路開度變化Fig.4 TAC variation with bypass fraction

圖5 RGAN隨旁路開度變化Fig.5 RGAN variation with bypass fraction

綜上所述，當(dāng)進行旁路開度變化的工況調(diào)控時，需考慮不同旁路間相互影響，分析其變化規(guī)律以優(yōu)化換熱器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。鑒于其相互影響尚不明朗，應(yīng)優(yōu)先考慮旁路的最大開度來探索換熱器網(wǎng)絡(luò)年度總費用和相對增益矩陣數(shù)間權(quán)衡。

4.2.3 工況3：旁路開度和換熱器面積變化 當(dāng)不確定性因素存在時，通常通過調(diào)整換熱器面積來抵御其干擾[34]，但這會導(dǎo)致旁路開度偏離其原有的最優(yōu)值。因此應(yīng)分析旁路開度和換熱器面積同時變化的工況來優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和可控性。換熱器EX2與其換熱器網(wǎng)絡(luò)中四條流股均存在關(guān)聯(lián)，故分析EX2 的面積變化與旁路K3 開度變化對換熱器網(wǎng)絡(luò)的年度總費用和相對增益矩陣數(shù)的影響，結(jié)果如圖6和圖7所示。

圖6 TAC隨旁路開度和換熱器面積變化Fig.6 TAC variation with bypass fraction and HE area

圖7 RGAN隨旁路開度和換熱器面積變化Fig.7 RGAN variation with bypass fraction and HE area

換熱器網(wǎng)絡(luò)年度總費用隨換熱器EX2 面積和旁路K3開度的變化趨勢一致：隨面積或者開度的增大而增大。其原因是換熱器EX2 面積增大導(dǎo)致投資費用增加。同時根據(jù)工況2 的分析，旁路K3 開度增大帶來換熱器網(wǎng)絡(luò)最小傳熱溫差的增大，導(dǎo)致年度總費用不理想。而相對增益矩陣數(shù)的變化趨勢與換熱器網(wǎng)絡(luò)年度總費用相反。隨著換熱器EX2面積和旁路K3開度的增大，其呈現(xiàn)略有波動但整體變小的趨勢，與工況2的優(yōu)化結(jié)果相符。

綜上所述，當(dāng)以經(jīng)濟性目標(biāo)為導(dǎo)向時，應(yīng)優(yōu)先選擇較小的換熱器面積和旁路開度；當(dāng)以可控性目標(biāo)為導(dǎo)向時，應(yīng)優(yōu)先選取較大的換熱器面積和旁路開度。

根據(jù)以上不同工況的分析，權(quán)衡換熱器網(wǎng)絡(luò)的經(jīng)濟性和可控性，得到優(yōu)化的換熱器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，標(biāo)記為HEN2，旁路K2 開度為0.2，K3 開度為0.5，其余旁路開度為0.1，各換熱面積如表2所示。

4.3 基于可行性分析的換熱器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與控制結(jié)構(gòu)改造

可行性分析是檢驗換熱器網(wǎng)絡(luò)在實際操作中能否正常運行的有效手段。因此，計算換熱器網(wǎng)絡(luò)HEN2 的柔性指數(shù)，得到結(jié)果為0.687，表明其無法抵御不確定性因素的干擾。

辨識HEN2的臨界操作點并在其上進行換熱器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和控制結(jié)構(gòu)的改造，得到能夠抵御擾動變化的換熱器網(wǎng)絡(luò)，標(biāo)記為HEN3，如圖8所示，相關(guān)數(shù)據(jù)如表2 所示。計算HEN3 柔性指數(shù)，其結(jié)果大于1，表明HEN3 滿足操作可行性需求。同時，其可控性相比于HEN1提高了28.25%。

圖8 HEN3結(jié)構(gòu)Fig.8 Scheme of HEN3 structure

4.4 傳統(tǒng)換熱器網(wǎng)絡(luò)綜合結(jié)果對比

另外，引入傳統(tǒng)換熱器網(wǎng)絡(luò)綜合結(jié)果與本文所得結(jié)果進行對比，進一步說明本文所提方法的可行性與有效性。傳統(tǒng)換熱器網(wǎng)絡(luò)綜合結(jié)果如圖9 所示，標(biāo)記為HEN4，其相關(guān)數(shù)據(jù)見表2?？芍?，相比于HEN4，HEN1、HEN2和HEN3均具有優(yōu)越的可控性。且HEN3 能抵御不確定性因素的干擾，其可控性相比HEN4提高了69.86%。

圖9 HEN4結(jié)構(gòu)Fig.9 Scheme of HEN4 structure

5 結(jié) 論

本文充分考慮了換熱器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與可控性的相互作用關(guān)系，提出了可控性換熱器網(wǎng)絡(luò)綜合方法，并基于多工況探究了決策變量對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響，進而對其進行優(yōu)化。同時，在不確定性因素下對換熱器網(wǎng)絡(luò)進行可行性分析，通過優(yōu)化換熱器面積，保證換熱器網(wǎng)絡(luò)的操作可行性，且改善換熱器網(wǎng)絡(luò)的可控性。通過實例分析，所得結(jié)果權(quán)衡了換熱器網(wǎng)絡(luò)的經(jīng)濟性和可控性，且其柔性指數(shù)大于1，保證換熱器網(wǎng)絡(luò)的操作可行性，證明了該方法的可行性及有效性。

符 號 說 明

A——換熱器面積，m2

C——換熱器面積費用指前因子

Ccu——冷公用工程單位費用，USD·kW-1·a-1

Chu——熱公用工程單位費用，USD·kW-1·a-1

CF——換熱單元的固定安裝費用，USD·a-1

d——設(shè)計變量向量

h——單側(cè)流股的傳熱膜系數(shù)，kW·m-2·K-1

NK——超結(jié)構(gòu)級數(shù)

q——換熱單元熱負荷，kW

Ti,NK——熱流股出口溫度

Tj,1——冷流股出口溫度

z——控制變量向量

z——二元變量，表示換熱單元的存在性

zcby——二元變量，表示冷端流股旁路的存在性

zhby——二元變量，表示熱端流股旁路的存在性

zhe——二元變量，表示冷熱端出口溫度均為被控變量的換熱單元的存在性

β——換熱器面積費用指數(shù)

δk——最大允許偏差

θ——不確定性參數(shù)向量

Φ,Γ,Ω——懲罰因子

上角標(biāo)

cu——冷公用工程

hu——熱公用工程

下角標(biāo)

i——熱流股編號

j——冷流股編號

k——超結(jié)構(gòu)級數(shù)編號