亢利軍，李東紅，鄧傳魯，魏加尚

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0 引言

長周期光纖光柵（LPFG）自問世來，便引起科技工作者極大興趣，因其卓越性能，在傳感及通信領域得到廣泛應用。近年，通過在LPFG上鍍敏感薄膜或復折射率薄膜，以此優(yōu)化提高LPFG的傳輸特性，成為熱點研究方向之一。

復折射率薄膜可分為兩類：弱吸收薄膜和金屬膜，目前，鍍這兩種薄膜的LPFG都得到了一定的研究。徐艷平和Ignacio Del Villar[1-2]研究了鍍弱吸收薄膜的耦合特點和透射特性，為這種LPFG的實際應用提供了一定的理論支持。早期，很多研究聚焦通過LPFG的金屬鍍層的溫度及應變調節(jié)效應，促使寫諧，通過振波長漂移，但沒有給出深入的理論分析；通過金屬鍍層LPFG復特征方程的求解，可探知其諧振波長的漂移特性，為此應用奠定理論基礎；更進一步地理論研究了金屬鍍層LPFG傳感器的耦合特性及透射特性，進一步推動了此種金屬鍍層LPFG傳感器的實用化[3-4]。

本文建立了具有鍍金屬膜和敏感膜兩種膜類LPFG的復特征方程，并且針對求解復特征方程復根所處現(xiàn)的問題，對鍍金屬膜及敏感膜的五層結構LPFG復特征方程進行數(shù)學處理，經驗證所求得的復根較好復合復特征方程函數(shù)值的變化規(guī)律。

1 復特征方程的建立

鍍有金屬膜及敏感膜五層結構的LPFG結構示意圖如圖1所示，其中，芯層折射率為n1=1.4681，半徑為r1=4.15μm；包層折射率為n2=1.4628，半徑為r2=62.5μm；金屬膜折射率N3，半徑為r3=r2+h1；敏感膜折射率為n4=1.57，半徑為r4=r3+200μm；空氣環(huán)境折射率為n5=1.0。

根據(jù)平面光波導的相關理論可知，帶有金屬鍍層的平面光波導與一般介質涂層的光波導其特征方程的形式結構是相同的[5-6]?；诖藱C理，嚴格建立其包層模復特征方程并解得復根，這對建立五層結構LPFG

復特征方程提供了理論借鑒。其復特征方程可以寫成式（1）～（4）的形式。

J代表第一類貝塞爾函數(shù)，Y代表第二類貝塞爾函數(shù)，K代表第二類變態(tài)貝塞耳函數(shù)，dj，dy，dk分別為上述三類貝塞爾函數(shù)的求導。

2 復特征方程求解

復特征方程的求解方法為，首先，求解零級解時，忽略ε3的虛部，直接求得實根neff；然后，考慮ε3的虛部的影響，設復數(shù)根neff=neff，r+ineff，i，通過改變兩個參量（neff，r，neff，i），可使復特征方程的實部和虛部都為零。為便于求解，令f（neff，r，neff，i）=0，引入：

在1550nm附近，一些典型金屬如金、銅、鋁、鎳等其折射率虛部相對較大，運算中會產生Inf（無限大）和溢出問題。

2.1 Inf問題的處理方法

當貝塞爾函數(shù)的復宗量較大時，必須對貝塞爾函數(shù)進行改寫，第一類及第二類貝塞爾函數(shù)的近似表達式可寫為：

以求解金屬鍍層五層結構LPFG的模式HE12為例，圖2給出了y(neff，r，neff，i)=0 復根附近的分布情況，計算所采用的光纖參數(shù)為N3=0.559+i*9.81，計算得到HE12的復根實部為為1.462565855223，虛部為4.5048347×10-6，忽略N3的虛部求解得到零級解為1.462567423373，和復根實部比較得知兩者差別很小。

2.2 溢出問題的解決方法

對于鍍鋁膜和鎳膜的光纖光柵，貝塞爾函數(shù)值將出現(xiàn)溢出問題，原因在于，金屬的復折射率的實部和虛部數(shù)值較大，貝塞爾函數(shù)復宗量虛部較大，貝塞爾函數(shù)本身或者計算當中由于函數(shù)值非常大，計算機無法識別，從而產生溢出問題[7-8]。由此，復特征方程可以改寫如下：

其中，A是根據(jù)數(shù)值大小所確定的一個共同因子。式中每一項的貝塞爾函數(shù)都除以共同因子，即滿足縮放的要求。

圖3給出了鍍鋁膜五層結構LPFG模式HE13的y(neff，r，neff，i)， 在 復 平 面 上 第 五 包 層 模 式 HE13復根附近的函數(shù)值圖形，計算采用的光纖參數(shù)為計算得到HE13的復根為（nel=1.462278831016-i*1.0993666×10-5），經計算忽略N3的虛部求出的零級解為1.462271473229，兩者復合較好。

3 結論

本文提出鍍金屬膜和敏感膜兩種膜類五層結構的LPFG的理論模型，建立了此種LPFG復特征方程。針對求解鍍金屬薄膜LPFG的復根會產生Inf問題或溢出問題，分別對貝塞爾函數(shù)進行改寫和縮放，并求得復根，為求解此類鍍金屬膜的復特征方程奠定了理論基礎。