周衛(wèi)東

【摘要】概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。概念教學(xué)的關(guān)鍵是突出本質(zhì)，重在理解，學(xué)會(huì)運(yùn)用，最后形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行概念的教學(xué)：一是追根溯源，厘清本質(zhì);二是選準(zhǔn)基點(diǎn)，初步理解;三是多元表征，促進(jìn)理解;四是立足成長(zhǎng)，提升素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】概念 本質(zhì) 理解 應(yīng)用 素養(yǎng)

章建躍博士指出：數(shù)學(xué)根本上是教概念的，數(shù)學(xué)教師是玩概念的。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的“細(xì)胞”，是進(jìn)行邏輯思維的第一要素。一切數(shù)學(xué)規(guī)則的研究、表達(dá)與應(yīng)用都離不開(kāi)數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)“四基”“四能”教學(xué)的重要內(nèi)容，又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心所在。概念課是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種主要課型，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是課堂教學(xué)最重要的內(nèi)容之一。那么如何科學(xué)、合理地進(jìn)行概念內(nèi)容的教學(xué)呢？本文以“倍的認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例，談一些粗淺的認(rèn)識(shí)。

一、追根溯源，厘清本質(zhì)

美國(guó)著名的數(shù)學(xué)教育家赫斯認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)的問(wèn)題并不在于尋找最好的教學(xué)方式，而在于明白數(shù)學(xué)是什么，如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問(wèn)題，便永遠(yuǎn)解決不了教學(xué)上的爭(zhēng)議。”一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，既表現(xiàn)為隱藏在客觀事物背后的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)規(guī)律，又表現(xiàn)為隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)背后的本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)教學(xué)教什么？毋庸置疑，擺在第一位的是教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。

“倍的知識(shí)”在小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中有著十分重要的位置。荷蘭著名數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾指出：“數(shù)的概念的形成可以粗略地分成以下幾種：計(jì)數(shù)的數(shù)、數(shù)量的數(shù)、度量的數(shù)和計(jì)算的數(shù)，其中所謂‘度量的數(shù)，就好比用勺子一次次舀空裝滿水的容器那樣，用一個(gè)單位去量那個(gè)量?！边@里，量得的結(jié)果就得到一個(gè)“倍”數(shù)。換一個(gè)角度來(lái)看，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，數(shù)的認(rèn)識(shí)包括數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系和數(shù)的應(yīng)用，而數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系既包括數(shù)與數(shù)之間的相差關(guān)系，也包括數(shù)與數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系。數(shù)與數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系貫穿于小學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程，具體體現(xiàn)在“份”“除法”“分?jǐn)?shù)”“比”“百分?jǐn)?shù)”等知識(shí)中?？梢?jiàn)，對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)而言，“倍”具有“種子”的作用，其本質(zhì)是否清晰、是否牢固將直接影響到其他相關(guān)概念及概念體系的建構(gòu)。

二、選準(zhǔn)基點(diǎn)，初步理解

“盲人摸象”的故事告訴我們，盡管盲人們有各種準(zhǔn)確的信息，卻不能正確地認(rèn)識(shí)大象。因而如果教師要教學(xué)生認(rèn)識(shí)大象，一定是把學(xué)生帶到大象實(shí)體或者是大象的圖片（影像）前，讓他們有完整的認(rèn)知。數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)該這樣：給學(xué)生一個(gè)現(xiàn)象，讓他們接受完整而鮮活的數(shù)學(xué)信息。學(xué)生通過(guò)自己的信息采集和加工，從而形成的數(shù)學(xué)知識(shí)就是實(shí)在的也是容易牢固記憶的知識(shí)。

概念的引入有兩種方式，即概念的形成和概念的同化。顯然，“倍的知識(shí)”的教學(xué)屬于概念形成的教學(xué)。在準(zhǔn)確厘清概念的本質(zhì)特征后，應(yīng)該朝向概念的“全貌”、圍繞“兩個(gè)量的比較”展開(kāi)，很好地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程。方式一，教師可以設(shè)計(jì)“藍(lán)花有2朵，紅花有6朵”的情境，提問(wèn)“可以提出哪些問(wèn)題”，在學(xué)生提出“求和”“求差”兩類數(shù)學(xué)問(wèn)題之后，引出新的問(wèn)題“除了比較多少，還有一種比較方法，今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)這種特別的比較方法”，引導(dǎo)學(xué)生把“2朵藍(lán)花”和“6朵紅花”排成兩行后，引導(dǎo)學(xué)習(xí)：“像這樣把2朵藍(lán)花圈起來(lái)看作1份（邊說(shuō)邊圈），那紅花就有這樣的幾份呢？”“藍(lán)花有2朵，紅花有3個(gè)2朵，我們就說(shuō)紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的3倍?！边@樣的教學(xué)可以直奔中心、簡(jiǎn)潔明快地幫助學(xué)生建立“倍”的概念。方式二，教師把教學(xué)“安放”在學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的“土壤”之中?！爸?，你們聽(tīng)過(guò)或者在哪兒見(jiàn)過(guò)‘倍嗎？它是用來(lái)表示什么的呢？”繼而，教師出示三幅圖，讓學(xué)生辨析：“哪一幅圖可以表示紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的3倍？”此時(shí)，學(xué)生可以充分調(diào)動(dòng)自己的經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，試圖對(duì)“3倍”進(jìn)行辨析與解釋，進(jìn)而明晰：每幅圖中都有“3”，只有第2幅表示的是3倍的關(guān)系，另兩幅圖都是相差3個(gè);“3倍”的意義和第3幅圖中每份“3個(gè)”的區(qū)別。

三、多元表征，促進(jìn)理解

多元智能理論創(chuàng)始人加德納認(rèn)為：任何一個(gè)重要的、復(fù)雜的概念都可以運(yùn)用多種方式來(lái)理解和表達(dá)。鄭毓信教授則提出：應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生建立概念的多元表征，并根據(jù)需要與情境在表征的不同成分之間做出靈活的轉(zhuǎn)換，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念有一個(gè)更深刻、更全面的認(rèn)識(shí)與理解，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

表征有不同的方式，可以是具體形象的，也可以是語(yǔ)詞的或要領(lǐng)的。教師可以創(chuàng)造機(jī)會(huì)，較好地發(fā)揮表征在概念理解中的作用。比如，在學(xué)生理解了“倍”的基本含義之后，教師創(chuàng)設(shè)“請(qǐng)你擺一擺，要求擺出的紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的2倍”“如果換成小棒呢？怎樣擺使得第二行小棒的根數(shù)是第一行的2倍？”的教學(xué)情境，讓學(xué)生自由創(chuàng)編，進(jìn)而讓學(xué)生明白：不管是不同顏色的花，還是小棒等不同的材料，也不管兩者數(shù)量如何變化，只要把其中一種當(dāng)作1份，另一種有兩個(gè)這樣的1份，那么，另一種的數(shù)量就是前一種數(shù)量的2倍。當(dāng)然，我們的教學(xué)還可以再開(kāi)放些，讓學(xué)生“你能畫(huà)出一個(gè)和圖中不一樣的‘2倍嗎？”，由于少了材料的限制，則顯得更加開(kāi)放與靈動(dòng)。誠(chéng)如波利亞所指出的那樣：數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué);但另一方面，創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)，看起來(lái)像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)?？梢?jiàn)，如上教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生對(duì)動(dòng)手實(shí)踐活動(dòng)興趣更濃，參與熱情更高，體會(huì)更深刻，學(xué)習(xí)效果更突出。這充分表明，數(shù)學(xué)不僅是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[，更是創(chuàng)造中的歸納。

四、立足成長(zhǎng)，提升素養(yǎng)

“教學(xué)追求被吸引。”好的教學(xué)應(yīng)該具有戰(zhàn)略性的價(jià)值，也就是說(shuō)，不僅僅讓學(xué)生運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解決一些典型的問(wèn)題，而且還要力求找尋知識(shí)的“附加值”，尋找知識(shí)的隱性教學(xué)功能，帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)登高遠(yuǎn)眺、一覽眾山小的快感。

1.促理解進(jìn)階

兒童學(xué)習(xí)概念的初始階段，或因固有經(jīng)驗(yàn)中迷失概念的影響，或因概念非本質(zhì)屬性的干擾，常常會(huì)出現(xiàn)“依葫蘆畫(huà)瓢”的現(xiàn)象，所以適當(dāng)而有意義的進(jìn)階訓(xùn)練變得非常重要。有一道“打球游戲”練習(xí)就很有特色：根據(jù)給出的條件，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)應(yīng)該打掉哪種氣球，打掉幾個(gè)。如果判斷正確就可以進(jìn)入下一回合。第一次：黃氣球的個(gè)數(shù)是紅氣球的2倍（呈現(xiàn)3個(gè)紅氣球，9個(gè)黃氣球）;第二次：黃氣球的個(gè)數(shù)是紅氣球的3倍（呈現(xiàn)3個(gè)紅氣球，6個(gè)黃氣球）;第三次：紅氣球的個(gè)數(shù)比黃氣球多2個(gè)（呈現(xiàn)2個(gè)紅氣球，6個(gè)黃氣球）。像這樣的練習(xí)就有效體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、精準(zhǔn)性、深刻性與愉悅性等特點(diǎn)。

2.促思想孕育

每個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)都兼有事實(shí)性、概念性、方法性、價(jià)值性四個(gè)側(cè)面。知識(shí)的事實(shí)性指人們?cè)谌粘Ｉ钪械母形蚝涂偨Y(jié)。沒(méi)有概念去概括，客觀的事實(shí)或現(xiàn)象只能是經(jīng)驗(yàn);沒(méi)有方法去運(yùn)用，概念或原理只能是詞語(yǔ)符號(hào);沒(méi)有價(jià)值取向的揭示，方法只能是機(jī)械的步驟，而這種價(jià)值取向，更多地聚焦于揭示數(shù)學(xué)知識(shí)背后的靈魂——數(shù)學(xué)思想?！氨兜恼J(rèn)識(shí)”的教學(xué)，我們?cè)谑聦?shí)性、概念性和方法性等方面做足文章的同時(shí)，在數(shù)學(xué)思想的滲透方面也做了一定的嘗試。比如，通過(guò)多次變化比較雙方數(shù)值的大小得出倍數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生多次對(duì)比，從而明白倍數(shù)的含義，有機(jī)滲透了抽象的基本思想;圍繞大問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)行自由表征，在多幅作品的對(duì)比中，使學(xué)生明晰，所謂倍數(shù)，就是一個(gè)數(shù)量包含了幾個(gè)另一個(gè)數(shù)量，在“變與不變”的體驗(yàn)中，有機(jī)滲透了建模的基本思想;結(jié)合觀察、表征、填空等環(huán)節(jié)，在兩種數(shù)量對(duì)比過(guò)程中，要求有序擺放，體會(huì)上下對(duì)齊的優(yōu)勢(shì)，有機(jī)滲透了“一一對(duì)應(yīng)”的思想。