摘 要：中學(xué)數(shù)學(xué)可以宏觀分解成數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、概率與統(tǒng)計三個部分，其中代數(shù)部分知識和分類討論思想關(guān)系極為密切。本文分析了當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)中，涉及分類討論思想的題目類型，明確這一思想在學(xué)習(xí)過程對于學(xué)生的助益效果，在此基礎(chǔ)上研究在授課實踐過程如何培養(yǎng)學(xué)生的這一思想，從而讓學(xué)生可以具備該意識。

關(guān)鍵詞：分類討論思想;中學(xué)教育;代數(shù)教學(xué)

一、 引言

分類討論思想在目前代數(shù)類題目中的使用方法有兩種，一種是顯性的思想使用，另一種是隱性的思想使用，后者的學(xué)習(xí)難度和使用難度顯然更高。當(dāng)學(xué)生具備了該思想之后，可以讓學(xué)生的思維完整度提高，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平提高，此外具備分類討論思想后，對于后續(xù)學(xué)習(xí)中的其他理科科目的學(xué)習(xí)大有助益，為學(xué)生整體的素質(zhì)提高奠定了基礎(chǔ)。

二、 分類討論思想在中學(xué)代數(shù)題目中的常見模式

（一）顯性應(yīng)用模式

顯性應(yīng)用模式中，本質(zhì)上和該思想的應(yīng)用有一定的區(qū)別，通常是在題干中已經(jīng)展示了該思想。比如題目是：某商品的銷售過程中，單次銷售量越高，則產(chǎn)品的單價越少。購買數(shù)量不高于100件時，產(chǎn)品的單價是200元/件，多于100件但是不多于300件時，產(chǎn)品的售價打九折。產(chǎn)品數(shù)量多于300件時，產(chǎn)品的售價打七折，某消費者分3從該經(jīng)銷商中采購商品，分別為100件、150件和350件時，需要提交的總貨款是多少？該題目的計算過程要求學(xué)生列出分段方程，之后計算不同采購數(shù)量情況下的貨款。

顯性應(yīng)用模式中，學(xué)生通?？梢灾苯影凑疹}干中的信息列出方程，之后計算各項參數(shù)，學(xué)生接觸這類題目后，可以讓學(xué)生具備分類討論思想的基本應(yīng)用思想。

（二）隱性應(yīng)用模式

隱性應(yīng)用模式要求學(xué)生解題過程自主采用分段式數(shù)據(jù)分析模式，以獲取正確的結(jié)果，這類題目學(xué)生的掌握水平較差，尤其是當(dāng)題目中含有“陷阱”時，題目的得分率會進(jìn)一步下降。比如題目：某商品的穩(wěn)定度公式為y=（100-20t）/100，其中t是該設(shè)備的運行時間（單位：千小時），而運行故障的嚴(yán)重程度計算方法是a=3y+6y2，其中y不可讓其降低到0，最低限定值是50%，到達(dá)這一參數(shù)時要進(jìn)行維修，維修后的穩(wěn)定度可以達(dá)到100%，且計算公式不變。則在該設(shè)備的運行過程中，設(shè)備運行3千小時時，該設(shè)備的故障嚴(yán)重程度為多少？

該題目中的“陷阱”是汽車在行駛2.5千小時已經(jīng)需要維修，分類討論思想要把運行時間分成[0，2.5]、（2.5，3]兩個時間段，該過程學(xué)生要自主按照分類討論思想構(gòu)建計算方程，之后帶入數(shù)據(jù)計算。

三、 分類討論思想在中學(xué)代數(shù)學(xué)習(xí)中對學(xué)生的幫助效果和教學(xué)問題

（一）分類討論思想健全

中學(xué)數(shù)學(xué)中，題目的失分點大部分集中在分類討論思想的使用方面，尤其是上文中提及的“陷阱”類題目，當(dāng)學(xué)生不具備該思想時，自然無法正確解題。

在教學(xué)過程中，教師讓學(xué)生深度掌握該數(shù)學(xué)思維，或者在考慮事務(wù)時提高思維縝密程度時，可以讓學(xué)生主動找到該題目中存在的各項內(nèi)容，之后充分提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

目前的教學(xué)問題是，教師通常只讓學(xué)生具備顯性分類討論思想，對于隱性使用方面的介紹水準(zhǔn)較低，顯然不利于學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)過程，同時大部分的教師只是讓學(xué)生記憶已經(jīng)計算后題目的形式，雖然該方法可以在一定程度上視作幫助學(xué)生構(gòu)建力記憶模型，但是從實際使用效果上來看，這一傾向于習(xí)題背誦的方法未能觸及學(xué)生的核心素養(yǎng)建設(shè)，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率、學(xué)習(xí)質(zhì)量和知識使用方法掌握過程事倍功半。

（二）自主分析各項可能性

無論是中學(xué)習(xí)題解答還是日常事務(wù)的處理，中學(xué)生都要做好全角度切入，之后解決各項問題，要求學(xué)生可以自主分析可能存在的各類可能性。學(xué)生具備分類討論思想之后，在數(shù)學(xué)題目的解答過程會先分析和詢問，自主提出的問題有“該題目是否要分類討論？”“該題目的可能結(jié)果有多少？”“該題目中是否含有‘陷阱？”等，在具備了這類“懷疑”思想之后，可以降低錯誤率。

目前的教育問題是，一方面由于教師只是使用顯性分類討論題目讓培養(yǎng)學(xué)生個人能力，另一方面大量學(xué)生在該過程中未能完成可以合理使用的專業(yè)性技術(shù)，從而讓學(xué)生的學(xué)習(xí)水平下降。此外分類討論思想培養(yǎng)要由表及里，并非讓學(xué)生面對所有問題都要陷入“題目懷疑”狀態(tài)，該方法在學(xué)生初步接觸思想建立過程可以使用，之后則要做到熟能生巧，目前教師使用的方法是讓學(xué)生大量完成習(xí)題，不但讓學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)加重，而且長期使用會讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情下降。

（三）提高學(xué)生思維縝密度

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求學(xué)生具備人文思想、技術(shù)主動探究思想、科學(xué)性思想等，都需要縝密的思維體系支持，包括對于各類問題的自主分析能力、各項知識體系的分析能力等。當(dāng)學(xué)生掌握力分類討論思想之后，在各類事務(wù)的考慮和數(shù)學(xué)題目的分析過程中，會主動利用分類討論思維分析所有的問題，從中獲得正確的結(jié)果。

問題在于，當(dāng)前教師的授課側(cè)重點偏移問題，導(dǎo)致有的學(xué)生對于這一項目的管理水平嚴(yán)重不足，此外從作用水平上來看，學(xué)生不重視分類討論思想，問題解決水平不符合教學(xué)過程的期望值。另外分類討論思想本質(zhì)上是一種條理性的思考和問題研究思路，學(xué)生可以形成順序化的學(xué)習(xí)和研究結(jié)構(gòu)，由于教師未能讓學(xué)生夯實思想的建設(shè)基礎(chǔ)，導(dǎo)致學(xué)生的思維依然趨于混亂。

四、 分類討論思想在中學(xué)代數(shù)教學(xué)中的使用方法

（一）思想健全過程中應(yīng)用

思想的健全過程，要求教師讓學(xué)生具備思想的顯性使用能力和隱性使用能力，以提高對于學(xué)生的培養(yǎng)水平。達(dá)成目的的流程是：學(xué)生綜合情況分析—學(xué)生思想建設(shè)情況—教學(xué)過程的查缺補漏。綜合情況分析可以研究學(xué)生是否具備對涉及分類討論思想類題目的正確解決能力，思想建設(shè)情況分析要總結(jié)當(dāng)前學(xué)生對于該思想的掌握完善程度，查缺補漏過程并非一味提高對于學(xué)生的訓(xùn)練量，而是采取更為高效的方法，其中綜合情況的分析過程主要是通過考核的方法進(jìn)行。

例如教師的考核題目：某人員要從A地到達(dá)B地，中間有三條路徑，其開車出行過程考慮一個要素，即到達(dá)時間，不同的路徑具有不同的特點，為方便描述，所以在時間的計算方面有不同的計算方程，當(dāng)確定時間相同時，考慮該行駛過程的耗油量。時間的計算公式分別是t=x/2、t=x2/2、t=（2x2-x）/2，其中x是A地到B地的直線距離。單位時間內(nèi)耗油量第一條線路最少，第二條最多，則當(dāng)x的數(shù)值為1時，選擇哪條路線？要選擇第一條路線，則直線距離的范圍是多少？學(xué)生的計算過程，第一個問題只要把數(shù)據(jù)代入即可計算，之后選擇耗油量更少的路線即可，而在第二個問題中，要分別把第一條路線與第二條和第三條路線比較，并且確定選擇第一條路線時含有的優(yōu)勢，比如對比過程中，一個優(yōu)勢是第一條路線時間最短，另一個優(yōu)勢是到達(dá)時間相同，而第一條的耗油量最少，在得到所有結(jié)果后可以獲取結(jié)果。該方法讓學(xué)生學(xué)會了多個分情況討論步驟，健全了學(xué)生的思想。

（二）可能性分析中的應(yīng)用

分類討論思想特點是考慮題目中所有的可能性，之后讓學(xué)生找到所有貼合要求的內(nèi)容，這要求學(xué)生做到深化審題，找到題目中的所有關(guān)鍵點。

比如現(xiàn)有題目：a2，作為初中生必須掌握記憶性公式之一，必須意識到該得到的結(jié)果是|a|，而對于a的討論要進(jìn)一步確認(rèn)，教師帶領(lǐng)學(xué)生的分析過程中，采用設(shè)定a數(shù)值的方法讓學(xué)生自主總結(jié)相關(guān)結(jié)果的可能性，讓學(xué)生計算a=-2、-4、-8等多種情況，學(xué)生自然容易得到正確結(jié)果，之后讓學(xué)生計算a=2、4和8等多種情況，學(xué)生也可以很快得到結(jié)果，之后讓學(xué)生分析可以從中得到的結(jié)論，之后教師提出的問題則是，讓學(xué)生分析是否有一個較為特殊的數(shù)字并未討論，一些學(xué)生意識到該數(shù)字是0。得到結(jié)果后大量學(xué)生認(rèn)為當(dāng)a≥0可以作為一個集合，但是在一些題目中學(xué)生容易遺忘該特殊數(shù)字，該部分知識介紹中，可以短期內(nèi)允許學(xué)生這樣認(rèn)知，構(gòu)建出思維縝密度的培養(yǎng)契機(jī)。

（三）縝密度提高中的應(yīng)用

縝密度的提高過程中，目的是讓學(xué)生在題目的整個解答過程中都要借助該思想指導(dǎo)答題過程，對于一些可以通過縮窄范圍得到唯一性結(jié)果的題目，教師可以按照這一講解流程完成教育工作。比如對于上文中提及結(jié)論，教師編寫的題目是已知方程：0=x2+b2x-4，得到的其中一個結(jié)果為2，其中該方程對應(yīng)的函數(shù)圖象不對稱于y軸，求b的可能值，并說明對應(yīng)圖象對稱軸數(shù)值屬于x軸的正半軸還是負(fù)半軸。學(xué)生的解題過程中，可以使用一元二次方程的求解方法獲取結(jié)果，其中一個b的可能結(jié)果是0，會導(dǎo)致方程的圖像對稱于y軸。分類討論思想的使用過程，正負(fù)半軸視作上文結(jié)論中的范圍限定條件，教師說明，若把b=0的情況納入x軸正半軸的情況顯然不正確，通過規(guī)范化知識使用思路的滲透提高學(xué)生思維縝密度。

（四）其他思想介紹中的應(yīng)用

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)作為各類基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的奠定階段，要把分類討論思想和其他的思想融合，包括數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)學(xué)模型思想、“運動”思想等，其中數(shù)學(xué)模型建設(shè)可以看做是分類討論思想的記憶基礎(chǔ)，分類討論思想則是剩余思想的學(xué)習(xí)基石。

對于分類討論思想的顯性使用類題目，構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型可以是從A地到B地的多種不同道路，不同道路的準(zhǔn)入條件不同，滿足要求時才可通過，對于隱性使用方法，則是自主探討不同路徑的準(zhǔn)入條件，之后通過道路獲取結(jié)果。當(dāng)學(xué)生具備該模型之后，自然可以掌握分類討論思想的使用內(nèi)涵。

對于其他的各項數(shù)學(xué)思想，要經(jīng)過分類討論思想之后使用，比如對于逆向思維，題目是：已知兩個方程分別為x2+2mx+6=0和（m+2）x2+4x+4=0，其中至少一個方程有實根，求取m的取值范圍。教師除了讓學(xué)生給出正確結(jié)果，同時要求4分鐘內(nèi)給出答案，學(xué)生采用分類討論思想難以解答，則教師可以向?qū)W生介紹逆向思維算法，即至少一個方程有實根，只需要找到兩個方程都無實根的情況，剩下區(qū)間中的所有數(shù)字都符合題目的要求。該方法使學(xué)生意識到，若分類討論的情況過于復(fù)雜時要主動尋求其他算法，達(dá)到了良好的數(shù)學(xué)思想融合效果。

五、 結(jié)論

綜上所述，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論思想的使用表現(xiàn)形式包括顯性使用方法和隱性使用方法，目前的教學(xué)方法包括建設(shè)的培養(yǎng)思想不健全、核心素養(yǎng)的體現(xiàn)不明顯等，從而導(dǎo)致教育水平下降。解決方法是按照科學(xué)的流程限定各類題目的要求，并強化各類數(shù)學(xué)思想的融合教育成果，以提高教學(xué)質(zhì)量。

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作者簡介：

郭麗霞，福建省泉州市，福建省永春美嶺中學(xué)。