陸宥伊 周瑩

【摘 要】螺旋式上升的數(shù)學(xué)內(nèi)容指教學(xué)內(nèi)容在不同階段重復(fù)出現(xiàn)，但在深度和廣度上呈現(xiàn)出實質(zhì)性的變化。傳統(tǒng)教學(xué)往往局限于零敲碎打的知識點，不利于學(xué)生構(gòu)建整體知識體系與建立知識聯(lián)結(jié)。鑒于此，文章試圖以系統(tǒng)思維為指導(dǎo)思想，以“六何”認(rèn)知環(huán)構(gòu)建教學(xué)設(shè)計框架，并以“一元二次方程的解法”第一課時為例闡述該框架的運用，以期為一線教師在對螺旋式上升的教學(xué)內(nèi)容進行教學(xué)設(shè)計時提供教學(xué)參考。

【關(guān)鍵詞】系統(tǒng)思維;“六何”認(rèn)知環(huán);螺旋式;教學(xué)設(shè)計

螺旋式上升指在充分考慮學(xué)生認(rèn)知特點與發(fā)展規(guī)律的前提下，安排課程內(nèi)容在不同階段重復(fù)出現(xiàn)，但在內(nèi)容的深度和廣度上呈現(xiàn)出實質(zhì)性變化[1]。在這樣一個強調(diào)知識之間的系統(tǒng)綜合與實質(zhì)關(guān)聯(lián)的新課程背景下，課堂教學(xué)對教師基于系統(tǒng)思維研讀教材與學(xué)生運用系統(tǒng)思維全面思考提出了更高的要求。傳統(tǒng)教學(xué)往往局限于零敲碎打的知識點，淡化知識的整體與聯(lián)結(jié)，在這種“段節(jié)式”的教學(xué)模式下，學(xué)生也只能進行“點狀式”的學(xué)習(xí)。在這里，亟待探討與解決的問題有：如何對螺旋式上升的知識進行教學(xué)設(shè)計以提高教學(xué)的有效性？如何讓學(xué)生學(xué)會思考，把“點狀式”學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變成“網(wǎng)面化”學(xué)習(xí)？本文試圖以系統(tǒng)思維為指導(dǎo)思想，以“六何”認(rèn)知環(huán)構(gòu)建教學(xué)設(shè)計框架，并以“一元二次方程的解法”第一課時為例闡述該框架的運用，以期為一線教師在對螺旋式上升的數(shù)學(xué)內(nèi)容進行教學(xué)設(shè)計時提供教學(xué)參考。

一、系統(tǒng)思維與“六何”認(rèn)知環(huán)的理論基礎(chǔ)

系統(tǒng)思維是把認(rèn)識對象作為一個完整的系統(tǒng)，從整體觀及聯(lián)系觀出發(fā)，分析系統(tǒng)和組成要素、要素和要素、系統(tǒng)和外部環(huán)境之間的相互聯(lián)系及相互作用，綜合考查認(rèn)識對象的一種思維方法。其具有整體性、關(guān)聯(lián)性、層次性、有序性、動態(tài)性等特征。

周瑩教授基于系統(tǒng)論和連貫理念在“六何”認(rèn)知鏈的基礎(chǔ)上提出“六何”認(rèn)知環(huán)。“六何”認(rèn)知環(huán)作為一種緊扣教學(xué)主題、巧用問題驅(qū)動、激發(fā)思維活動的教學(xué)策略，能夠形象地體現(xiàn)教學(xué)的完整性與連貫性。其構(gòu)成要素包括“從何”“是何”“與何”“如何”“變何”“有何”。“從何”強調(diào)從整體視角看知識的來龍去脈，找準(zhǔn)教學(xué)起點，激活新知生長點;“是何”強調(diào)對新知的概念、定理、本質(zhì)等的理解與掌握;“與何”強調(diào)從關(guān)聯(lián)視角看知識間的密切聯(lián)系，把學(xué)生的“點狀式”學(xué)習(xí)引入關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)，促進融會貫通;“如何”強調(diào)理解和運用的認(rèn)知過程，力求對新知的應(yīng)用規(guī)范和保持思維的嚴(yán)謹(jǐn)性;“變何”強調(diào)對問題的變式拓展，通過問題的提出和變式，幫助學(xué)生觸類旁通，拓寬思維層面;“有何”強調(diào)學(xué)生學(xué)有所得，促進學(xué)生建立良好圖式，完善知識體系[2]?；谙到y(tǒng)思維對螺旋式上升的數(shù)學(xué)內(nèi)容進行研讀，準(zhǔn)確定位教學(xué)目標(biāo)及核心素養(yǎng)，用以指導(dǎo)“六何”的設(shè)定。這樣的教學(xué)設(shè)計既符合學(xué)生的認(rèn)知特點與發(fā)展規(guī)律，也有利于學(xué)生對整體知識與關(guān)聯(lián)知識的掌握，提高學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí)的能力。文章參考了宋運明的螺旋式上升內(nèi)容分析框架[3]，溫建紅的研讀數(shù)學(xué)教科書的方法[4] 以及周瑩的“六何”認(rèn)知環(huán)理念，構(gòu)建系統(tǒng)思維導(dǎo)向下的“六何”認(rèn)知環(huán)教學(xué)設(shè)計框架（如圖1）。

二、系統(tǒng)思維導(dǎo)向下的“六何”認(rèn)知環(huán)教學(xué)案例

（一）內(nèi)容分析

本文選取湘教版數(shù)學(xué)九年級上冊“一元二次方程的解法”第一課時，運用系統(tǒng)思維分析主題內(nèi)容，把握教學(xué)目標(biāo)及核心素養(yǎng)，實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容的一致性。

1.從整體視角分析方程主題.

從整體視角分析義務(wù)教育階段中“方程”這一主題的課程標(biāo)準(zhǔn)要求、螺旋間隔、內(nèi)容深度和內(nèi)容廣度，并運用思維導(dǎo)圖對相關(guān)內(nèi)容進行梳理，把零碎化知識構(gòu)建成具有整體性、層次性的知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng)（如圖2）。從課程標(biāo)準(zhǔn)要求看，學(xué)習(xí)方程的認(rèn)知動詞包括了解、理解、掌握、能用、會用等;從螺旋間隔看，方程的學(xué)習(xí)始于第二學(xué)段的五年級上冊，在第三學(xué)段出現(xiàn)了四次螺旋，包括七年級上冊的“一元一次方程”、七年級下冊的“二元一次方程組”、八年級上冊的“可化為一元一次方程的分式方程”及九年級上冊的“一元二次方程”;從內(nèi)容深度看，方程難度呈現(xiàn)“簡單—多元—高次”逐級加深的特點;從內(nèi)容廣度看，九年級上冊的“一元二次方程”有五小節(jié)，所涵蓋的知識面更廣。從整體視角研讀教材可宏觀體現(xiàn)知識體系，指導(dǎo)“從何”設(shè)定，找準(zhǔn)教學(xué)起點，讓學(xué)生欲探其“樹”，先觀其“林”。

2.從關(guān)聯(lián)視角分析一元二次方程的四種解法

系統(tǒng)分析第三學(xué)段方程之間的聯(lián)系。一元一次方程是最簡單的方程模型，學(xué)生已熟悉并掌握了一元一次方程的基本解法與步驟;二元一次方程組的解法實質(zhì)是解決“多元”的問題，通過“消元”將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程進而求解;可化為一元一次方程的分式方程的解法實質(zhì)是解決“分母含未知數(shù)”的問題，通過“去分母”將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程進而求解;一元二次方程的解法實質(zhì)是處理“高次”問題，通過“降次”將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程進而求解。可見，方程的基本求解思路都是將方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程：在對本節(jié)課設(shè)計教學(xué)時，教師可通過類比二元一次方程組和可化為一元一次方程的分式方程的解法，思考與探索一元二次方程的求解思路。

（二）內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計.

1.定位“從何”，厘清知識脈絡(luò)

問題1：在初中階段，一共學(xué)習(xí)了哪些方程？

問題2：二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程的求解基本思路是什么？回憶方程的解法（見表1），并完成表格。

方程與一元一次方程比較求解基本思路

二元一次方程組

可化為一元一次.方程的分式方程

一元二次方程

基于系統(tǒng)思維的整體觀來設(shè)計“從何”這一環(huán)節(jié)的問題串，以學(xué)生已有的知識經(jīng)驗為出發(fā)點，引導(dǎo)學(xué)生有意識地構(gòu)建初中階段所學(xué)的幾種方程模型體系。通過比較，學(xué)生可發(fā)現(xiàn)二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程的求解基本思路實質(zhì)都是轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這有利于他們對方程內(nèi)容的整體認(rèn)知，激活一元二次方程的解法生長點。

2.探析“是何”，明確方法思路.

問題1：一元二次方程與一元一次方程的本質(zhì)區(qū)別是什么？

問題2：你能得出一元二次方程解法的基本思路嗎？

通過對關(guān)聯(lián)知識的類比來探析“是何”，讓學(xué)生在接觸用直接開平方法求解一元二次方程之前，獲得“降次”這一基本思路，此思路將貫穿整個求解一元二次方程的學(xué)習(xí)過程。學(xué)生有了思路方法，才有了主動思考的驅(qū)動力，可避免陷入過分追求技巧、死記硬背、機械解題的重負(fù)荷學(xué)習(xí)中。

3.關(guān)聯(lián)“與何”，尋找關(guān)鍵步驟.

問題：對于方程x2-200=0，你以前見過它嗎？若將其變形為x2=200，你能用以前學(xué)過的知識解決嗎？[WBZ].

學(xué)生可直接根據(jù)平方根的意義，得出x=200或x=-200，故原方程的解為x1=0，x2=-0。接著教師與學(xué)生共同總結(jié)：形如x2=a（a≥0）[WBZ]的方程可以用直接開平方法求解，可見，開方是實現(xiàn)“降次”的關(guān)鍵步驟。

基于系統(tǒng)思維的關(guān)聯(lián)性設(shè)計“與何”環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生回憶、提取與新知密切聯(lián)系的知識。直接開平方法為后面學(xué)習(xí)配方法做鋪墊，既體現(xiàn)了一元二次方程的特點，又反映了一元二次方程與一元一次方程在解法上的內(nèi)在聯(lián)系。

4.深究“如何”，明白知識本質(zhì).

問題1：你能用其他方法來求解方程x2-200=0嗎？

問題2：若把方程x2-200=0變形為x2-02=0，你想到了什么方法？

學(xué)生根據(jù)平方差公式，得到（x+0）（x-0）=0，解得x.1=0，x.2=-0。教師解釋這種方法叫作運用平方差的因式分解法，因式分解法是解高次方程的本質(zhì)思想方法。

雖然直接開平方法能夠達(dá)到“降次”的目的，但是未能顯出“降次”的本質(zhì)，[WBX]即把方程ax2+bx+c=0（a≠0）左邊的二次多項式分解為兩個一次多項式的乘積，表示為ax2+bx+c=ax-x1x-x2。深究“如何”，讓解高次方程的基本思想方法——因式分解法在這一過程得以滲透與顯現(xiàn)，深化學(xué)生對求解一元二次方程實質(zhì)的理解。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)接下來一元二次方程的各種解法時能做到由點連線，由線織面。

5.注重“變何”，擴展思維層次

問題1：你能用上述的兩種解法來求解下列方程嗎？

①4x2-200=0 ;②（1+x）2=200; ③（2x+1）2=2。

問題2： 一個球的表面積為100cm2，求這個球的半徑。（球的表面積公式為[WBX]S[WBZ]=4π[WBX]R2，R[WBZ]為球的半徑）.

問題3：如圖3，在正方形紙片[WBX]ABCD剪去一個邊長為a（a為常數(shù)）[WBZ]的小正方形，剩余部分的面積為4cm2，求正方形紙片ABCD的邊長。

采用課堂小組競賽的形式展開“變何”教學(xué)。此環(huán)節(jié)按照方程難度對[WBX]x[WBZ]2-200=0進行變式，涵蓋了方程“變系數(shù)、變符號、變表征”的情形，這種形變而質(zhì)不變的訓(xùn)練既強化了學(xué)生對一元二次方程解法的把握，又體現(xiàn)了思維發(fā)展的過程。當(dāng)學(xué)生能用系統(tǒng)思維分析問題的屬性，他們就能從自身已有的解題經(jīng)驗中尋找到適用于目標(biāo)問題的方法。以簡馭繁的思考過程既體現(xiàn)系統(tǒng)思維的層次性，也有利于提高學(xué)生的思維層次水平，并落實數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)。

6.反思“有何”，構(gòu)建知識圖式

問題1：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識，體悟了哪些思想？

問題2：你能用思維導(dǎo)圖或圖表的方式將自己的收獲可視化嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生用思維導(dǎo)圖的方式歸納本節(jié)課的知識（如圖4）。

學(xué)習(xí)是個體主動地將知識構(gòu)建到自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。反思“有何”，一是檢測學(xué)生學(xué)習(xí)的基本情況，二是促進學(xué)生不斷擴充和完善知識體系，讓學(xué)生有意識地構(gòu)建知識的整體與聯(lián)結(jié)，有利于運用知識時能準(zhǔn)確、快速地回憶及提取，提高學(xué)習(xí)的有效性。同時，在這一過程中體現(xiàn)了整體性貫穿系統(tǒng)思維活動的始終，而在系統(tǒng)思維導(dǎo)向下的“六何”認(rèn)知環(huán)教學(xué)設(shè)計保證了方程這一主題內(nèi)容教學(xué)的完整性、連貫性與動態(tài)性。

三、評價與思考

正如認(rèn)知負(fù)荷理論提出的，工作記憶在加工認(rèn)知任務(wù)所包含的信息時，一般需要對所有元素以及元素間的交互作用同時加工，才能整體理解認(rèn)知任務(wù)，若有元素或其交互性不能同時被加工，則會對認(rèn)知任務(wù)產(chǎn)生片面理解[6]。該理論再次凸顯把握好知識的整體性與關(guān)聯(lián)性在學(xué)習(xí)中的重要性。教師應(yīng)認(rèn)識到，對學(xué)生系統(tǒng)思維的培養(yǎng)，有利于學(xué)生養(yǎng)成主動思考問題的習(xí)慣，提高其邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象能力，避免“見木不見林”[7]。而系統(tǒng)思維導(dǎo)向下的“六何”認(rèn)知環(huán)教學(xué)策略便是從整體、關(guān)聯(lián)的視角設(shè)計教學(xué)，在減輕學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷的同時也引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí)。當(dāng)然，在實際教學(xué)中運用“六何”認(rèn)知環(huán)教學(xué)策略還需做一些思考，總結(jié)如下。

（1）靈活運用策略設(shè)計教學(xué)?！傲巍闭J(rèn)知環(huán)的教學(xué)策略在緊扣主題內(nèi)容的前提下可以調(diào)整順序，以適用教學(xué)不同內(nèi)容的數(shù)學(xué)。例如，概念課與復(fù)習(xí)課在進行教學(xué)設(shè)計時要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，概念課的教學(xué)可用“從何—是何—與何—如何—變何—有何”的順序，而復(fù)習(xí)課的教學(xué)可用“從何—是何—為何—與何—變何—有何”的順序。

（2）用“六何”認(rèn)知環(huán)指導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。“六何”認(rèn)知環(huán)不僅可以作為教師的教學(xué)策略，也可作為學(xué)生的認(rèn)知策略。這無疑為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)提供了清晰的指導(dǎo)方法，學(xué)生可根據(jù)“六何”認(rèn)知環(huán)進行自我調(diào)控及深度學(xué)習(xí)。正如數(shù)學(xué)家華羅庚所說： “一切創(chuàng)作發(fā)明，都不是靠別人教會的，而是靠自己想，自己做，不斷取得進步?！弊灾鲗W(xué)習(xí)的習(xí)慣終將內(nèi)化為終身學(xué)習(xí)的能力。

（3）發(fā)展學(xué)生的關(guān)鍵能力既是教學(xué)目標(biāo)也是學(xué)習(xí)本質(zhì)。史寧中教授認(rèn)為，“三會”即“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維分析世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”是學(xué)生應(yīng)具備的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[8]，而系統(tǒng)思維就是一種把握事物整體性與關(guān)聯(lián)性的思維方式。因此，在教學(xué)實踐中建立一套具有針對性、實效性、可操作性的培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)思維的方案，使學(xué)生的學(xué)習(xí)由“點狀型”向“網(wǎng)面型”、由“接受型”向“樂學(xué)型”、由“階段型”向“發(fā)展型”轉(zhuǎn)變，應(yīng)成為所有教育者努力的方向。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]周瑩，馮璐，李宗樺基于“六何”認(rèn)知策略的數(shù)學(xué)解題反思：以一道高中數(shù)學(xué)概率題為例[J]中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2017（6）：10-12.

[3] 宋運明，鄺孔秀數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的螺旋式編寫方式研究：以“平行四邊形”為例[J]數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2018（6）：44-49.

[4]溫建紅，汪飛飛從整體視角研讀數(shù)學(xué)教科書：理據(jù)與方法：以“視圖”為例[J]數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2017（6）：80-8.

[5]王紅權(quán)，李馨從系統(tǒng)的觀點看一元二次方程的解法教學(xué)設(shè)計[J]數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2019（3）：94-97.

[6]唐劍嵐，周瑩認(rèn)知負(fù)荷理論及其研究的進展與思考[J]廣西師范大學(xué)學(xué)報（哲學(xué)社會科學(xué)版），2008（2）：7-83.

[7]章建躍，陳向蘭數(shù)學(xué)教育之取勢明道優(yōu)術(shù)[J]數(shù)學(xué)通報，2014（10）：1-7.

[8]史寧中，王尚志普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀[M]北京：高等教育出版社，2018.

（責(zé)任編輯：羅小熒）

【作者簡介】陸宥伊，廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院在讀碩士研究生;周瑩（本文通訊作者），廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院教授，碩士研究生導(dǎo)師，主要研究方向為數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論。

【基金項目】2019年度廣西高等教育本科教學(xué)改革工程重點項目“系統(tǒng)性思維能力導(dǎo)向的數(shù)學(xué)有效教學(xué)研究與實踐”（2019JGZ110）;2020年廣西研究生教育創(chuàng)新計劃項目“高階思維能力提升的培養(yǎng)模式研究”（XJGY2020010）;2020年廣西研究生教育創(chuàng)新計劃項目“基于概念圖的評價數(shù)學(xué)師范生系統(tǒng)性思維的應(yīng)用研究——以一所省屬師范大學(xué)為例”（XYCSR2020060）