国产日韩欧美一区二区三区三州_亚洲少妇熟女av_久久久久亚洲av国产精品_波多野结衣网站一区二区_亚洲欧美色片在线91_国产亚洲精品精品国产优播av_日本一区二区三区波多野结衣 _久久国产av不卡

?

二項(xiàng)式定理應(yīng)用問(wèn)題綜析

2020-05-11 05:51魏學(xué)軍
廣東教育·高中 2020年4期
關(guān)鍵詞:二項(xiàng)式方略常數(shù)

魏學(xué)軍

二項(xiàng)式定理的有關(guān)知識(shí)是每年高考必不可少的內(nèi)容,往往以一道選擇題或填空題的形式出現(xiàn).“年年歲歲花相似”,考查的落腳點(diǎn)總是與二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)相關(guān). 二項(xiàng)式公式看似單一,但“歲歲年年題不同”,面對(duì)試題,須詳究細(xì)察,分析揣摩,方可靈活應(yīng)用,游刃有余. 本文擬就高考中有關(guān)二項(xiàng)式定理應(yīng)用的試題作“全掃描”,并進(jìn)行分類(lèi)分析與解,旨在把握命題方向,探索解題規(guī)律,揭示解題方法.

一、求展開(kāi)式中的某一指定項(xiàng)

例1. (2x3-■)7的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是( )

A. 14 B. -14 C. 42 D. -42

分析與解:Tr+1=■(2x3)7-r(-■)r=(-1)r■·27-r·■,由題意知21-■=0,得r=6,即展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是第7項(xiàng),T7=(-1)6 ■ ·2=14,故選A.

例2. 在(x+■)(1-x)4的展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)是________.

分析與解:第一個(gè)括號(hào)取■,第二個(gè)括號(hào)為■(-x)1,∴ 常數(shù)項(xiàng)是■×■(-x)1=-8.

解題方略:直接利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.

例3. (x2-3x+■)(1-■)5的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為( )

A. -30 B. 30 C. -25 D. 25

分析與解: (1-■)5的通項(xiàng)為T(mén)r+1= ■(-1)r(■)r,(x2-3x+■)(1-■)5=x2(1-■)5-3x(1-■)5+■(1-■)5,根據(jù)式子可知當(dāng)r=4或r=2時(shí)有常數(shù)項(xiàng),令r=4,

∴ T5=■(-1)4(■)4; 令r=2,∴ T3=■(-1)2(■)2, 故所求常數(shù)項(xiàng)為■ - 3 × ■=5-30=-25,故選C.

解題方略:求解與二項(xiàng)式相關(guān)的復(fù)雜式子的一般方法及步驟是:(1)將復(fù)雜式子分解轉(zhuǎn)化成與簡(jiǎn)單的二項(xiàng)式相關(guān)的式子;(2)根據(jù)條件找到符合條件的二項(xiàng)式的項(xiàng);(3)利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)求出符合條件的項(xiàng);(4)整合后最終得出所求.

例4. 在二項(xiàng)式(■+■)n的展開(kāi)式中,各項(xiàng)系數(shù)之和為A,各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為B,且A+B=72,則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的值為( )

A. 6B. 9C. 12D. 18

分析與解:

【解析】在二項(xiàng)式(■+■)n的展開(kāi)式中,令x=1得各項(xiàng)系數(shù)之和為4n,∴ A=4n,二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n,∴ B=2n,∴4n+2n=72,解得n=3,∴(■+■)n=(■+■)3的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1= ■(■)3-r(■)r=3r ■ ■,令■=0得r=1,故展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為T(mén)2=3 ■ =9,故選B.

二、求展開(kāi)式中某一指定項(xiàng)的系數(shù)

例5. (x-■)8展開(kāi)式中x5的系數(shù)為_(kāi)________.

分析與解:利用公式Tr+1=■an-r·br求得Tr+1=(-1)r·■·■.

令8-■r=5,得r=2,進(jìn)而得x5的系數(shù)為28.

例6. (2x+■)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是( )

A. 6 B. 12 C. 24 D. 48

分析與解:Tr+1=■(2x)4-r·(■)r=■·24-r·x4-r·■=■·24-r·■由題意設(shè)4-■=3,∴ r=2即展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)是第3項(xiàng),其系數(shù)為■·22=24,故選C.

例7. 已知(■+■)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128,則展開(kāi)式中x5的系數(shù)是_________(以數(shù)字作答)

分析與解:由展開(kāi)式得通項(xiàng)Tr+1=■·■,∴各項(xiàng)系數(shù)和為■ + ■ + … + ■=2n=128,

∴n=7,由■n-■r=5知r=3,則■=35,故填35.

解題方略:分清某一項(xiàng)的系數(shù)與它的二項(xiàng)式系數(shù)是否相同. 常規(guī)解法是利用通項(xiàng)公式Tr+1=■an-rbr,先確定r,再求其系數(shù).

例8. (1+x)8(1+y)4的展開(kāi)式中x2y2的系數(shù)是( )

A. 56 B. 84 C. 112 D. 168

分析與解:根據(jù)(1+x)8和(1+y)4的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得,x2y2的系數(shù)為■■=168,故選D.

三、求兩個(gè)二項(xiàng)式積的展開(kāi)式中某一指定項(xiàng)的系數(shù)

例9. 在(1-x3)(1+x)10的展開(kāi)式中,x5的系數(shù)是( )

A. -297 B. -252 C. 297 D. 207

分析與解:由題意可知,只需求出(1+x)10展開(kāi)式中x5與x2的系數(shù)分別是 ■ 、■ .

所以(1-x3)(1+x)10的展開(kāi)式中,x5的系數(shù)為 ■ - ■ =207,故選D.

解題方略:利用兩因式展開(kāi)式相應(yīng)項(xiàng)系數(shù)配對(duì)的方法.

四、求展開(kāi)式中某些項(xiàng)系數(shù)的和

例10. 若(1-2x)2019=a0+a1 x+a2 x2+…+a2019 x2019(x∈R),

則(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2019)=_________. (用數(shù)字作答)

分析與解:(賦值法)令x=0,得a0=1.

(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2019)=2019a0+(a1+a2+…+a2019)

=2018a0+(a0+a1+a2+…+a2019),令x=1,得a0+a1+a2+…+a2019=-1,

∴(a0+1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2019)=2017.

解題方略:賦值法.

例11. 若(1-x)5=a0+a1 x+a2 x2+a3 x3+a4 x4+a5 x5,則a0-a1+a2-a3+a4-a5=(? ? )

A. 0 B. 1 C. 32 D. -1

分析與解:

【解析】由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tr+1=■(-x)r=■(-1)rxr,可知a1,a3,a5都小于0. 則a0-a1+a2-a3+a4-a5=a0+a1+a2+a3+a4+a5. 在原二項(xiàng)展開(kāi)式中令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0. 故本題答案選A.

五、求展開(kāi)式中系數(shù)滿足某些特殊要求的項(xiàng)數(shù)

例12. 由(■x+■)100展開(kāi)所得的x的多項(xiàng)式中,系數(shù)為有理數(shù)的共有( )

A. 50項(xiàng) B. 17項(xiàng) C. 16項(xiàng) D. 15項(xiàng)

分析與解:設(shè)展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù),則Tr+1=■ ■ x100-r ■= ■ ■ ■ x100-r.

依題意r既然為偶數(shù)又為3的倍數(shù),即r為6的倍數(shù),且0≤r≤100,∴ r共有17個(gè)值,故選B.

解題方略:先將展開(kāi)式的通項(xiàng)進(jìn)行整理,再令其冪指數(shù)為整數(shù),進(jìn)而求出所需項(xiàng)數(shù).

六、求二項(xiàng)式中所含參數(shù)的值

例13. 若在(1+ax)5的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為-80,則a=___.

分析與解:∵T4=■(ax)3=-80x3,∴10a3x3=-80x3,∴10a3=-80,

∴ a3=-8,∴ a=-2.

例14. (x+1)3+(x-2)8=a0+a1(x+1)+a2(x-1)2+…+a8(x-1)8,則a6=__________.

分析與解:令x-1=t,則(t+2)3+(t-1)8=a0+a1t+a2t2+…+a6t6+…+a8t8,

設(shè)(t-1)8的展開(kāi)式含有t6項(xiàng),Tr+1 = ■ t8-r(-1)r,令8-r=6,r=2,T3 = ■ t6 = 28t6,所以a6 = 28.

解題方略:利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,根據(jù)題意建立方程,求出參數(shù)的值.

七、求二項(xiàng)式的冪指數(shù)

例15. 若(■+■)n展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng),則n的值可以是( )

A. 8 B. 9 C. 10 D. 12

分析與解:Tr+1=■(■)n-k(■)k=■·2k·■. 其中■=0,即n=■k. 當(dāng)k=6時(shí),n=10. 故選C.

例16. 若(x3+■)n的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為84,則n=_____________.

分析與解:Tr+1= ■ x3n-3r·■= ■ ·■. 令3n-■r=0,得r-■n. ∴n為3的倍數(shù). 又由 ■ =84,驗(yàn)證:n=3時(shí),■ = 3≠84;當(dāng)n=6時(shí),■ =15≠84;當(dāng)n=9時(shí),■ = ■=84.

解題方略:依條件建立指數(shù)的方程.

八、與數(shù)列交匯

例17. 若(1-2x)9展開(kāi)式的第3項(xiàng)為288,則■+■+…+■的值是_________.

分析與解:T3 = ■ (-2x)2=288,∴ x=■. ∴■+■+…+■= 2[1-(■)n].

九、與不等式交匯

例18. 在(x-■)8的展開(kāi)式中,含x2項(xiàng)的為p,(2x+■-■)3的展開(kāi)式中含x-2項(xiàng)的為q,則p+q的最大值為_(kāi)______.

分析與解: (x-■)8展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為:Tr+1= ■ x8-r(-■)r x-r= ■ (-■)rx8-2r,

令8-2r=2可得:r=3,則p = ■ (-■)3 x8-2×3=-7x2,

結(jié)合排列組合的性質(zhì)可知q= ■ (■)2(-■)=-■,

由p+q=-7x2-■=-(7x2+■)≤-2■=-4■,

當(dāng)且僅當(dāng)x2=■時(shí)等號(hào)成立.

綜上可得:p+q的最大值為-4■.

解題方略:(1)二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式,求解此類(lèi)問(wèn)題可以分兩步完成:第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式,建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件,即n,r均為非負(fù)整數(shù),且n≥r,如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等);第二步是根據(jù)所求的指數(shù),再求所求解的項(xiàng);(2)求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng),可先化簡(jiǎn)或利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理討論求解. 求最大最小值時(shí),仍然需借助函數(shù)、不等式等知識(shí)獲得.

十、與概率交匯

例19. 若在二項(xiàng)式(x+1)10的展開(kāi)式中任取一項(xiàng),則該項(xiàng)的系數(shù)為奇數(shù)的概率是_________. (結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)

分析與解:展開(kāi)式中所有系數(shù)依次為 ■、■、■、■、■、■、■、■、■、■、■. 在這11個(gè)數(shù)中■、■、■、■為奇數(shù),其余均為偶數(shù),故所求的概率為■.

解題方略:解決此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵要先找出符合要求的對(duì)象. 本題因數(shù)目不多,故既可用通項(xiàng)公式一一列舉,也可用本文例13中的二項(xiàng)式系數(shù)表(楊輝三角)觀察,從而使問(wèn)題得到解決.

十一、滲透在研究性學(xué)習(xí)課題的探究之中

例20. 如圖,在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中第____行中從左至右第14與第15個(gè)數(shù)的比為2 ∶ 3.

分析與解:設(shè)第n行中從左至右第14與第15個(gè)數(shù)的比為2 ∶ 3,

則依題意可得:■ ∶ ■ = 2 ∶ 3,解得n=34.

解題方略:分析所給題設(shè)特征,恰當(dāng)使用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式.

二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)應(yīng)重視基礎(chǔ),對(duì)二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)式展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)特征要弄懂原理,注意分辨通解通法,牢固掌握,不必追求解難題、尋巧解.

【歸納領(lǐng)悟】

1. 二項(xiàng)式展開(kāi)式的性質(zhì):

(1)在二項(xiàng)式展開(kāi)式中,與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.

即:■ = ■,■ = ■,…,■ = ■.

(2)如果n是偶數(shù),則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù),且中間一項(xiàng)(第■+1項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大;如果n是奇數(shù),則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù),且中間兩項(xiàng)(第■項(xiàng)與第■+1項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大.

(3)所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n.

即■ + ■ + … + ■ = 2n.

(4)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.

即:■ + ■ + … = ■ + ■ + … = 2n-1.

2. 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別

如對(duì)(a+bx)n(a,b∈C)的展開(kāi)式,第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為■,而第r+1項(xiàng)為■ an-rbr.

3. 通項(xiàng)公式主要用于求二項(xiàng)式的指數(shù),求滿足條件的項(xiàng)或系數(shù),求展開(kāi)式的某一項(xiàng)或系數(shù),在應(yīng)用通項(xiàng)公式時(shí)要注意以下幾點(diǎn):

(1)分清■an-kbk是第k+1項(xiàng),而不是第k項(xiàng).

(2)在通項(xiàng)公式Tk+1=■an-kbk中,含有Tk+1、■、a、b、n、k這六個(gè)參數(shù),只有a、b、n、k是獨(dú)立的,在未知n、k的情況下,用通項(xiàng)公式解題,一般都需首先將通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求出n、k,然后代入通項(xiàng)公式求解.

(3)求二項(xiàng)式展開(kāi)式中的一些特殊項(xiàng),如系數(shù)最大的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)等,通常都是先利用通項(xiàng)公式,由題意列方程,求出k,再求所需的某項(xiàng);有時(shí)則需先求n,計(jì)算時(shí)要注意n和k的取值范圍以及它們之間的大小關(guān)系.

(4)二項(xiàng)式定理的一個(gè)重要用途是做近似運(yùn)算:

當(dāng)n不很大,x比較小時(shí),(1+x)n≈1+nx.

(5)利用二項(xiàng)式定理還可以證明整除問(wèn)題或求余數(shù)問(wèn)題,在證明整除問(wèn)題或求余數(shù)問(wèn)題時(shí)要進(jìn)行合理的變形,使被除式(數(shù))展開(kāi)后的每一項(xiàng)都含有除式的因式,要注意變形的技巧.

總之,二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)應(yīng)重視基礎(chǔ),對(duì)二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)式展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)特征要弄懂原理,注意分辨通解通法,牢固掌握,不必追求解難題、尋巧解.

【本文系北京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)核心概念課堂教學(xué)的反思與重構(gòu)研究”(編號(hào):CDDB19238)階段性研究成果】

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)

猜你喜歡
二項(xiàng)式方略常數(shù)
例談二項(xiàng)式定理的應(yīng)用技巧
非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法
“滑塊”模型題解題方略
萬(wàn)有引力常數(shù)的測(cè)量
二項(xiàng)式定理的“另類(lèi)”應(yīng)用
例析交流問(wèn)題的求解方略
形如an+1=Can+D·λn+An+B(A,B,C,D,λ為常數(shù)且C≠0,1,λ≠0,1)的數(shù)列通項(xiàng)公式的求法
盤(pán)點(diǎn)二項(xiàng)式定理的基本應(yīng)用
自主招生與數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的計(jì)數(shù)與二項(xiàng)式定理(二)
兩個(gè)方略做斗爭(zhēng)(有照片)