黃?康，楊?磊，徐?銳，汝?艷，邱明明，孫?浩

基于加工模型的大重合度齒輪時變嚙合剛度計(jì)算

黃?康1，楊?磊1，徐?銳2，汝?艷3，邱明明1，孫?浩1

(1. 合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，合肥 230009；2. 安徽工程大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，蕪湖 241000；3. 中國人民解放軍陸軍炮兵防空兵學(xué)院，合肥 230031)

針對大重合度齒輪實(shí)際加工齒廓的過渡曲線、齒頂修緣、齒厚均與理想齒廓有所不同，對其嚙合時變剛度計(jì)算方法進(jìn)行了研究，建立了凸角修緣類型滾刀參數(shù)方程，依據(jù)齒輪嚙合原理，推導(dǎo)剃(磨)齒前滾刀參數(shù)方程以及剃(磨)齒后齒輪齒廓的參數(shù)方程，結(jié)合現(xiàn)有計(jì)算大重合度齒輪時變嚙合剛度的能量法，設(shè)計(jì)了改進(jìn)勢能法模型．根據(jù)齒廓參數(shù)方程編制了大重合度齒輪模擬軟件，基于有限元軟件計(jì)算出齒輪時變嚙合剛度．將改進(jìn)勢能法模型與有限元法模型求解出來的結(jié)果進(jìn)行對比，得出改進(jìn)勢能法模型的計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果有較好的一致性，證明了所提出的改進(jìn)勢能法模型具有有效性．利用改進(jìn)勢能法模型研究了齒厚、過渡曲線、齒頂修緣對單齒嚙合剛度最大值以及時變嚙合剛度均值的影響．結(jié)果表明：齒厚對單齒嚙合剛度最大值以及時變嚙合剛度均值影響較大；過渡曲線部分主要的影響參數(shù)——凸角凸出部分徑向高度、凸角徑向高度、滾刀齒頂圓弧的半徑對單齒嚙合剛度最大值以及時變嚙合剛度均值影響較?。积X頂修緣參數(shù)中的加工滾刀的修緣高和修緣角對單齒嚙合剛度最大值的影響較小，但是對齒輪嚙合剛度均值影響較大．

剃(磨)齒；大重合度；時變嚙合剛度；改進(jìn)勢能法；有限元法

隨著對齒輪傳動中振動和噪聲要求的提高，人們開始關(guān)注不同設(shè)計(jì)方法的發(fā)展，其中，通過改變輪齒齒高來提高齒輪重合度(即設(shè)計(jì)大重合度直齒輪)是一種重要的減振降噪手段．相對于普通重合度(重合度小于2)直齒輪，大重合度(重合度大于2)直齒輪在嚙合過程中，參與嚙合的輪齒對數(shù)增多，單對輪齒承受載荷降低，因而采用大重合度齒輪能夠有效提高系統(tǒng)的承載能力和運(yùn)動平穩(wěn)性[1-3]．由于大重合度齒輪傳動時涉及到多齒同時嚙合，嚙合輪齒的受力分析較為繁瑣，從而導(dǎo)致其彈性變形的計(jì)算過程也變得非常復(fù)雜[4]．因此，計(jì)算大重合度直齒輪的嚙合剛度，對大重合度直齒輪的承載能力計(jì)算和動力學(xué)分析具有重要意義[5-7]．

目前國內(nèi)外很多學(xué)者研究齒輪嚙合剛度．李亞鵬[8]進(jìn)一步修正了石川公式．Yang等[9]利用勢能法計(jì)算了齒輪的嚙合時變剛度．在Yang等[9]的基礎(chǔ)上，Wu等[10-11]考慮輪齒剪切勢能將總勢能分成了4部分. Zhou等[12]將輪齒簡化為半懸臂梁，改進(jìn)了嚙合剛度的計(jì)算方法．文獻(xiàn)[9-12]認(rèn)為基圓與齒根圓重合，但在齒輪齒數(shù)達(dá)到一定數(shù)量以后，求解結(jié)果與有限元分析結(jié)果相差較大．依據(jù)文獻(xiàn)[9-12]的成果，萬志國等[13]提出了齒根圓與基圓不重合的改進(jìn)方法，但是該方法計(jì)算齒輪嚙合剛度，必須提前確定齒數(shù)．在萬志國等[13]的基礎(chǔ)上，馬輝等[14]提出的基于改進(jìn)能量法的直齒輪時變嚙合剛度計(jì)算方法避開了齒數(shù)的判斷．Yong等[15]利用勢能法計(jì)算直齒輪修形，磨損時齒輪的嚙合時變剛度．以上學(xué)者的研究對象大多數(shù)是理論漸開線齒廓，并沒有考慮齒輪的實(shí)際加工狀況．實(shí)際上，大部分齒輪在滾刀粗加工以后，還需要再進(jìn)行剃(磨)齒等精加工，而剃(磨)工藝對齒輪的齒形有較大影響，從而導(dǎo)致實(shí)際齒形的時變嚙合剛度計(jì)算方法相對于理論齒廓的計(jì)算方法會很有大區(qū)別．目前，針對考慮實(shí)際加工模型的時變嚙合剛度計(jì)算的文獻(xiàn)尚不多見．

本文根據(jù)已有文獻(xiàn)，考慮了剃(磨)齒齒輪實(shí)際模型的齒廓曲線，利用勢能法求解齒輪的時變嚙合剛度．其次，利用齒廓參數(shù)方程，編寫大重合度齒輪模擬軟件，實(shí)現(xiàn)了大重合度齒輪自動化、參數(shù)化建模，通過有限元分析計(jì)算，進(jìn)一步提高齒輪時變嚙合剛度的計(jì)算精度．然后將本文提出的改進(jìn)勢能法模型與有限元分析結(jié)果對比，驗(yàn)證本文勢能法模型的正確性．最后，用該勢能法模型分析了齒厚、過渡曲線、齒頂修緣對大重合度齒輪時變嚙合剛度的影響，揭示了大重合度齒輪時變嚙合剛度變化的主要影響因素．

1?基于實(shí)際加工模型的大重合度齒輪齒廓曲線方程

1.1?建立剃(磨)齒前滾刀參數(shù)方程

圖1?剃(磨)前修緣類型滾刀

tt方程為

tt方程為

tt方程為

tt方程為

tt方程為

1.2?建立剃(磨)齒前齒面輪廓方程

將上述滾刀坐標(biāo)系各段參數(shù)方程轉(zhuǎn)換到齒輪坐標(biāo)系中，即可得到對應(yīng)滾刀的齒輪齒廓曲線方程．為了實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，建立如圖2所示的滾刀齒輪坐標(biāo)系．其中，為固定坐標(biāo)系，111為滾刀坐標(biāo)系，222為齒輪坐標(biāo)系．

圖2?滾刀與齒輪的運(yùn)動坐標(biāo)

坐標(biāo)系222到坐標(biāo)系的變換矩陣02為

式中：為齒輪的節(jié)圓半徑；為齒輪從初始位置開始旋轉(zhuǎn)的角度．

坐標(biāo)系到坐標(biāo)系111的變換矩陣10為

坐標(biāo)系222到坐標(biāo)系111的變換矩陣21為

根據(jù)齒輪嚙合原理可知，齒輪齒廓曲線由刀具齒廓tt段形成．則當(dāng)＝1時，齒輪輪齒齒廓曲線的坐標(biāo)表達(dá)式為

當(dāng)＝2時，齒輪輪齒齒廓曲線的坐標(biāo)表達(dá)式為

那么，當(dāng)＝3時，段的參數(shù)方程為

當(dāng)＝4時，段的參數(shù)方程為

當(dāng)＝5時，段的參數(shù)方程為

1.3?建立剃(磨)齒后滾刀參數(shù)方程

剃(磨)后滾刀的基本作用是針對剃(磨)前滾刀加工出來的齒輪進(jìn)行精加工．如圖3所示，剃(磨)后滾刀的齒廓曲線由tt、tt、t、、t段構(gòu)成，圖中，s表示剃(磨)前滾刀主切削刃tt平移到剃

圖3?剃(磨)后修緣類型滾刀

(磨)齒后滾刀主切削刃段的距離．

的參數(shù)方程為

、的坐標(biāo)分別為

1.4?建立剃(磨)齒后齒面輪廓方程

如圖4所示，′點(diǎn)為tt形成的過渡曲線與剃后漸開線的交點(diǎn)，即為剃(磨)齒后形成的實(shí)際的漸開線起始點(diǎn)，同理，′點(diǎn)為漸開線終止點(diǎn)．剃(磨)后漸開線的曲線方程可以表示為

2?大重合度齒輪嚙合剛度計(jì)算

嚙合齒輪中的勢能有赫茲接觸勢能h、齒基勢能f、彎曲勢能b、剪切勢能s和軸向壓縮勢能a，這5種勢能可以分別求解赫茲接觸剛度h、齒基剛度f、彎曲剛度b、剪切剛度s和軸向壓縮剛度a.

圖5?齒輪受力示意

由材料力學(xué)及彈性力學(xué)，可得

齒輪的接觸剛度[17-18]為

式中：為齒寬；為泊松比．

齒基剛度的計(jì)算式為

式(17)中具體參數(shù)參考文獻(xiàn)[19-20]．

由文獻(xiàn)[15]可知，有1對、2對或3對輪齒同時嚙合時，嚙合齒輪的總體剛度為

3?仿真分析與驗(yàn)證

3.1?有限元法求齒輪嚙合剛度原理

對于單齒對綜合嚙合剛度，根據(jù)文獻(xiàn)[21]有

對于多齒對綜合嚙合剛度，根據(jù)文獻(xiàn)[22]有

3.2?大重合度齒輪建模與仿真

本文通過VB語言編寫大重合度齒輪軟件，使齒輪建模參數(shù)化，通過輸入凸角修緣類型滾刀參數(shù)(見表1)，生成相應(yīng)大重合度齒輪二維圖，將其導(dǎo)入Solidworks中建立大重合度齒輪三維模型．兩齒輪材料為45號鋼，齒寬＝26mm，小齒輪齒數(shù)1＝25，大齒輪齒數(shù)2＝32，大、小齒輪模數(shù)＝3.25，中心距＝91.5mm，兩個齒輪的內(nèi)孔直徑都取為對應(yīng)齒根圓直徑的30%．大齒輪內(nèi)孔約束所有自由度，小齒輪內(nèi)孔只保留旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)自由度，建立如圖6所示的大重合度齒輪有限元模型．通過有限元模型求解出單齒嚙合綜合剛度以及多齒嚙合綜合剛度．

表1?凸角修緣類型滾刀參數(shù)

圖6?大重合度齒輪有限元模型

3.3?分析與驗(yàn)證

考慮到載荷對時變嚙合剛度有非線性影響，在不同載荷0.5、1.0和2.0作用下分別對齒輪單齒嚙合剛度以及多齒輪嚙合剛度均值進(jìn)行對比，得到單齒和多齒齒輪嚙合剛度曲線如圖7和圖8所示．

由圖7和圖8仿真分析可知，在相同的載荷下，本文模型求解結(jié)果與仿真結(jié)果有較好的一致性，證明了本文勢能法模型的有效性；有限元分析結(jié)果比勢能法仿真結(jié)果偏大，主要原因是有限元分析時，小齒輪和大齒輪的內(nèi)孔建立的都是剛性耦合，同時接觸剛度設(shè)置為每次迭代計(jì)算以后自動更新，控制卡片里面的幾何非線性打開大變形開關(guān)．

圖7?單齒嚙合剛度曲線

圖8?多齒嚙合剛度曲線

3.4?實(shí)際加工模型對齒輪嚙合剛度的影響

圖9比較了3種方法單齒嚙合剛度和時變嚙合剛度的變化情況．以表1為例，第1種研究方法是李發(fā)家[3]利用材料力學(xué)方法求解的結(jié)果與所提出的模型相比，單齒嚙合剛度最大值以及時變嚙合剛度均值各自增加7.66%和9.09%左右．這是因?yàn)槔畎l(fā)家[3]分析的是理想齒廓，未考慮剃(磨)齒齒輪實(shí)際加工模型的實(shí)際齒廓等影響因素．第2種研究方法是Yong等[15]考慮齒輪修形、磨損時嚙合剛度模型，與所提出的模型相比，單齒嚙合剛度最大值以及時變嚙合剛度均值各自增加3.23%和4.66%左右，這是因?yàn)閅ong等[15]分析的模型未考慮經(jīng)剃(磨)齒加工后齒輪齒廓的過渡曲線、齒頂修緣等參數(shù)對齒輪時變嚙合剛度的影響．

圖9?3種模型嚙合剛度曲線

3.5?嚙合剛度影響因素分析

根據(jù)前文的分析，齒輪實(shí)際加工齒廓的齒厚、過渡曲線、齒頂修緣等均與理想齒廓有所不同，從而導(dǎo)致實(shí)際齒廓和理想齒廓的輪齒剛度存在差異，接下來本文將分析這些因素對大重合度齒輪嚙合剛度的影響．

3.5.1?齒厚

為了防止由齒輪中心距安裝誤差、工作時因摩擦發(fā)熱等原因引起嚙合齒輪卡住的現(xiàn)象以及使齒輪嚙合當(dāng)中形成潤滑油膜來減少摩擦，兩嚙合齒輪之間必須留有一定的間隙．由于齒厚變小，齒輪的嚙合剛度必然會發(fā)生變化，而在以往的剛度計(jì)算中，均以理想齒廓為主，并沒有考慮齒厚變化對剛度計(jì)算的影響．因此，本文將利用改進(jìn)勢能法分析不同齒厚變化量對大重合度齒輪嚙合剛度的影響．

設(shè)兩齒輪齒厚變化相同，即總的齒厚減少了2s．圖10所示為當(dāng)s分別為0、0.075mm、0.150mm時的大重合度齒輪單齒和多齒的時變嚙合剛度曲線．由圖10可知，當(dāng)s從0mm增加到0.075mm時，單齒剛度下降2.10%，多齒剛度下降2.50%；當(dāng)s從0mm增加到0.150mm時，單齒剛度最大值下降了4.13%，多齒嚙合剛度均值下降了4.90%．由此可見，s對齒輪的時變嚙合剛度變化的影響比較明顯．

圖10?不同齒厚情況下齒輪嚙合剛度曲線

3.5.2?過渡曲線

齒輪的過渡曲線部分主要由凸角凸出部分徑向高度b、凸角徑向高度c、滾刀齒頂圓弧半徑來確定．如圖11所示，當(dāng)h＝0.04mm，＝0.5mm，b分別取0.50mm、1.25mm、2.00mm時的大重合度齒輪單齒和多齒的時變嚙合剛度變化情況．可以看出，隨著b的增加，大重合度齒輪時變嚙合剛度有一定的減少，這主要是因?yàn)楫?dāng)b增加時，漸開線起始點(diǎn)隨之增加，從而導(dǎo)致漸開線部分變短．b從0.50mm變化到2.00mm，大重合度齒輪的單齒嚙合最大值下降1.45%，時變嚙合剛度均值下降1.70%．

如圖12所示，當(dāng)b＝0.50mm，＝0.5mm，h分別取0.04mm、0.09mm、0.14mm時的大重合度齒輪單齒和多齒的時變嚙合剛度變化情況．可以看出隨著h的增加，大重合度齒輪的嚙合剛度會逐漸減少．當(dāng)h從0.04mm變化到0.13mm時，大重合度齒輪單齒嚙合剛度最大值下降3.4%，時變嚙合剛度均值下降4.02%．由圖11和圖12易知，h比b對嚙合剛度的影響更加明顯，其主要原因是當(dāng)h增加時，過渡曲線不斷向軸移動，導(dǎo)致漸開線起始點(diǎn)向上移動和整個齒根寬度變窄．

圖11?hb對齒輪嚙合剛度的影響

圖12?Hh對齒輪嚙合剛度的影響

如圖13所示，當(dāng)b＝0.50mm，h＝0.04mm，分別取為0.4mm、0.6mm、0.8mm時的大重合度齒輪單齒和多齒的時變嚙合剛度變化情況．可以看出，隨著的增加，大重合度齒輪的剛度會逐漸增加，與b和h對齒輪的嚙合時變剛度影響規(guī)律截然相反.當(dāng)從0.4mm變化到0.8mm時，大重合度齒輪的單齒嚙合剛度最大值增加1.71%，時變嚙合剛度均值增加2.09%．其增大的主要原因是當(dāng)?shù)脑黾咏咏X根圓時，過渡曲線部分曲率變小，使得齒根彎曲強(qiáng)度得以提高．

圖13?R對齒輪嚙合剛度的影響

3.5.3?齒頂修緣

齒頂修緣主要由滾刀的修緣高d以及修緣角α確定．齒頂修緣對單齒嚙合剛度最大值影響很小，主要通過改變漸開線終止圓的半徑來影響齒輪進(jìn)入和退出嚙合時間，從而改變雙齒和三齒的嚙合狀態(tài)．下面主要分析修緣高d以及修緣角α這兩個參數(shù)對大重合度齒輪嚙合剛度的影響．

如圖14所示，當(dāng)＝55°，d＝0.6mm、0.8mm、1.0mm時的大重合度齒輪單齒和多齒的時變嚙合剛度的變化情況．可以看出，隨著d的增加，大重合度齒輪的單齒嚙合剛度曲線基本沒有變化，但是由于漸開線嚙合長度隨之變短，造成重合度降低，導(dǎo)致齒輪的嚙合剛度均值發(fā)生比較明顯的變化．當(dāng)d從0.6mm變化到1.0mm，大重合度齒輪的嚙合剛度均值下降了5.2%.

如圖15所示，當(dāng)d＝0.8mm，分別取30°、45°、60°時的大重合度齒輪單齒和多齒時變嚙合剛度的變化情況．由圖15可以看出，同樣會造成重合度降低，齒輪的嚙合剛度均值發(fā)生比較明顯的變化．當(dāng)從30?變化到60?，大重合度齒輪的嚙合剛度均值下降了3.4%．

通過上述分析可知，雖然d和α對單齒嚙合剛度最大值影響比較小，但是它們改變了齒輪漸開線的嚙合長度，使得齒輪重合度降低，對多齒嚙合剛度均值影響較大，因此在設(shè)計(jì)齒輪的時候，齒輪的修緣部分設(shè)計(jì)不容小覷．

圖14?hd對齒輪嚙合剛度影響

圖15?ax對齒輪嚙合剛度的影響

4?結(jié)?論

(1)精確建立凸角修緣類型滾刀參數(shù)方程，設(shè)計(jì)開發(fā)了改進(jìn)勢能法模型，對現(xiàn)有勢能法計(jì)算大重合度齒輪時變嚙合剛度進(jìn)行完善．

(2) 利用齒廓參數(shù)方程，編寫大重合度齒輪模擬軟件，實(shí)現(xiàn)了自動化、參數(shù)化建模，提高了建模的精確性，而且模型修改簡單化，大大提升了仿真速度．

(3) 通過本文的分析可知，齒厚對單齒嚙合剛度最大值以及時變嚙合剛度均值影響較大，過渡曲線對齒輪嚙合剛度變化影響較小，齒頂修緣參數(shù)對單齒嚙合剛度的最大值影響比較小，但是對齒輪嚙合剛度均值有較明顯的影響．

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Calculation of Time-Varying Mesh Stiffness with High Contact Ratio Gear Based on Machining Model

Huang Kang1，Yang Lei1，Xu Rui2，Ru Yan3，Qiu Mingming1，Sun Hao1

(1. College of Mechanical Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China；2. Anhui University of Engineering College of Mechanical and Automotive Engineering，Wuhu 241000，China；3. PLA Army Academy of Artillery and Air Defense，Hefei 230031，China)

Focusing on the differences in the transition curve，top trimming，and tooth thickness between a gear with a high contact ratio and the ideal profile，a method of calculating time-varying stiffness was studied．Referring to existing literature，a parameter equation for a flange-type hob was established．According to the meshing principle of a gear，the parameter equation of the hob before shaving(grinding)teeth and the parameter equation of the gear profile after shaving(grinding)teeth were deduced．Combining the existing energy method for calculating the time-varying meshing stiffness of a gear with a high contact ratio，an improved potential energy method model system was designed and developed．Based on the parameter equation of the tooth profile，the simulation software for high contact ratio gears was developed，and the time-varying meshing stiffness of the gear was calculated using finite element software．By comparing the results of the improved potential energy method model system with those of the finite element method model，the conclusion was reached that the results from the proposed method were in good agreement with those of the finite element analysis results，which proved the effectiveness of the proposed method．The effects of tooth thickness，transition curve，and tip trimming on the maximum meshing stiffness and mean meshing stiffness of a single tooth were systematically studied using the improved potential energy method model．The results show that tooth thickness has considerable influence on the maximum meshing stiffness of single tooth and the mean meshing stiffness of time-varying meshing．The main parameters of the transition curve are the radial height of the convex corner that protrudes，the radial height of the convex angle，and the radius of the top arc of the hob，which have little influence on the maximum meshing stiffness of a single tooth and the mean meshing stiffness of time-varying meshing．In the top-trimming parameters，the trimming height and trimming angle of the machined hob have less influence on the maximum meshing stiffness of a single tooth，but have considerable influence on the mean meshing stiffness of the gear．The research results can provide a theoretical basis for dynamic analysis of spur gears with large coincidence based on the actual processing model．

shaving(grinding)teeth；high contact ratio；time-varying meshing stiffness；improved energy method；finite element method

TH113.2

A

0493-2137(2020)07-0754-09

10.11784/tdxbz201907038

2019-07-13；

2019-09-16.

黃?康（1968—??），男，博士，教授，13665606407@163.com.

楊?磊，1073428125@qq.com.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51775156)；陸軍航空裝備“十三五”預(yù)研專用技術(shù)資助項(xiàng)目(30103090201)；混合動力新型機(jī)電耦合總成系統(tǒng)開發(fā)與集成資助項(xiàng)目(2017YFB0103201)．

Supported by the National Natural Science Foundation of China(No.51775156)，the Special Technical Projects for Pre-Research of Army Aviation Equipment in the 13th Five-Year Plan(No.30103090201)，the Development and Integration of a New Hybrid Electromechanical Coupling System(No.2017YFB0103201).

(責(zé)任編輯：孫立華)