曹鵬勇， 王建文， 程敏杰

(華東理工大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院， 上海 200237)

齒輪是實(shí)現(xiàn)機(jī)械傳動(dòng)的重要零部件之一，而齒輪的齒廓偏差是判斷齒輪運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性的直接因素。故針對(duì)如何提高產(chǎn)品齒輪的檢測(cè)和加工制造精度的研究具有非常重要的意義[1]。傳統(tǒng)的齒輪偏差測(cè)量方法為接觸式測(cè)量，該方法測(cè)量效率低，價(jià)格成本高，存在主觀誤差且會(huì)對(duì)齒輪齒面造成一定損傷。如文獻(xiàn)[2]采用三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x來(lái)獲取齒廓坐標(biāo)，并進(jìn)行齒廓擬合求出齒廓偏差，操作復(fù)雜、效率低且成本高。

現(xiàn)提出一種新的齒廓偏差的非接觸測(cè)量方法：通過(guò)機(jī)器視覺(jué)的手段采集齒輪圖像，采用Zernike矩亞像素邊緣檢測(cè)算法[3]獲得清晰的亞像素級(jí)齒輪邊緣，并分割、采集齒輪的齒廓數(shù)據(jù)獲得參考點(diǎn)云。結(jié)合反求工程的思想，以實(shí)測(cè)齒輪的各項(xiàng)設(shè)計(jì)參數(shù)為基礎(chǔ)并依據(jù)漸開(kāi)線的形成原理來(lái)構(gòu)建齒輪的理論模型[4]，獲得齒輪的參考點(diǎn)云數(shù)據(jù)，建立齒輪的反求數(shù)字化模型[5]。將獲得齒輪的目標(biāo)點(diǎn)云和參考點(diǎn)云數(shù)據(jù)后，通過(guò)二維迭代最近點(diǎn)(iterative closest point, ICP)算法[6]進(jìn)行點(diǎn)云數(shù)據(jù)配準(zhǔn)，最終獲得齒輪的齒廓偏差，最后通過(guò)齒廓目標(biāo)點(diǎn)云和參考點(diǎn)云偏差對(duì)比計(jì)算，驗(yàn)證所提齒輪齒廓測(cè)量方法的正確性。

1 參考點(diǎn)云數(shù)據(jù)采集

標(biāo)準(zhǔn)齒輪數(shù)字模型是以待測(cè)齒輪為基礎(chǔ)構(gòu)建的齒輪模型。模型構(gòu)建的目的是與后續(xù)機(jī)器視覺(jué)獲得的點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比和配準(zhǔn)，進(jìn)而獲得齒輪的齒廓偏差，依此來(lái)評(píng)價(jià)上述測(cè)量方法的可行性和準(zhǔn)確性。選擇精度等級(jí)為8的中低速度汽輪機(jī)用齒輪為研究對(duì)象，在MATLAB環(huán)境下，根據(jù)齒輪測(cè)繪的基本參數(shù)(表1)和漸開(kāi)線直齒輪的形成原理，結(jié)合如圖1所示三維齒輪，利用圖形學(xué)的方法建立標(biāo)準(zhǔn)直齒輪數(shù)字模型。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)齒輪的三維模型Fig.1 3D model of standard gear

表1 齒輪基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of gear

根據(jù)齒輪三維模型構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)齒輪數(shù)字模型，剔除齒頂圓、基圓和分度圓數(shù)據(jù)，只留下齒廓部分。在MATLAB開(kāi)發(fā)環(huán)境下建立齒輪齒廓圖，如圖2所示。為采集齒廓參考點(diǎn)云，根據(jù)左右齒廓的數(shù)據(jù)特征創(chuàng)建變量存儲(chǔ)齒廓的坐標(biāo)，并將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為asc格式方便后續(xù)處理，即為齒廓的參考點(diǎn)云數(shù)據(jù)。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)齒輪數(shù)字模型的齒廓Fig.2 Tooth profile of the standard gear digital model

2 目標(biāo)點(diǎn)云數(shù)據(jù)采集

運(yùn)用機(jī)器視覺(jué)的方法采集目標(biāo)點(diǎn)云：首先利用工業(yè)相機(jī)采集齒輪圖像，經(jīng)由MATLAB軟件對(duì)采集到的圖像進(jìn)行灰度化、高斯濾波、二值化等處理，達(dá)到提高圖像質(zhì)量、改善清晰度的目的。再對(duì)處理后的圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)，文獻(xiàn)[7]研究了經(jīng)典的邊緣檢測(cè)算法，獲得的邊緣較粗。圖像處理結(jié)合齒輪的圖像特征采用Zernike矩亞像素邊緣檢測(cè)算法[8]，以(x,y)為圓心坐標(biāo)，設(shè)灰度圖像函數(shù)為f(x,y)，則Zernike矩表達(dá)式可寫(xiě)為

(1)

(2)

式(2)中：M11為Zernike矩。令Zernike矩的模板階數(shù)為N，對(duì)于已知邊緣點(diǎn)坐標(biāo)為(m1,n1)，則相應(yīng)的亞像素坐標(biāo)為(mz1,nz1)，有

(3)

式(3)中：N為Zernike矩的模板階數(shù)。

通過(guò)亞像素坐標(biāo)計(jì)算并進(jìn)行形態(tài)學(xué)濾波最終可獲得清晰的齒輪邊緣,如圖3所示。

圖3 齒輪齒廓邊緣Fig.3 Edge of thegear tooth profile

為減少運(yùn)算量，提高配準(zhǔn)精度，將所獲齒廓，去除齒頂圓、齒根圓數(shù)據(jù)只留下齒廓數(shù)據(jù)。采用連通區(qū)域法獲取齒輪的外接矩形，用于去除冗余數(shù)據(jù)，其中：矩形中心即為齒輪中心。計(jì)算齒廓邊緣到齒輪中心的距離，剔除距離大于等于齒頂圓、小于基圓的點(diǎn)，如圖4所示。圖4(a)所示曲線圖為由齒輪邊緣到齒輪中心的距離，通過(guò)提取齒廓的目標(biāo)點(diǎn)云數(shù)據(jù)，并將點(diǎn)云數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在預(yù)先設(shè)定好的變量中，即完成齒廓的目標(biāo)點(diǎn)云數(shù)據(jù)采集，配準(zhǔn)結(jié)果如圖4(b)所示。

圖4 齒輪的目標(biāo)點(diǎn)云采集圖Fig.4 Acquisition of the gear target point cloud

3 基于簡(jiǎn)化齒廓的ICP算法點(diǎn)云配準(zhǔn)

根據(jù)歐氏最小二乘法計(jì)算距離空間中兩個(gè)點(diǎn)集之間的最佳對(duì)應(yīng)關(guān)系，列協(xié)方差函數(shù)為

(4)

式(4)中：R為旋轉(zhuǎn)矩陣；T為平移矢量矩陣；s為兩點(diǎn)間最短距離。

利用ICP算法配準(zhǔn)齒輪齒廓點(diǎn)云步驟如下:

(1)給定初始旋轉(zhuǎn)矩陣R，平移矢量矩陣T，以及最大迭代次數(shù)k，計(jì)算得出齒廓目標(biāo)點(diǎn)云W和參考點(diǎn)云Z。

(2)迭代配準(zhǔn)確定對(duì)應(yīng)度并通過(guò)最小化誤差來(lái)計(jì)算兩個(gè)圖像點(diǎn)集之間的最佳變換Rk和Tk。

(5)

wk+1=Rkwk+Tk

(6)

(3)根據(jù)式(5)計(jì)算得矩陣R和T，確定目標(biāo)點(diǎn)云wk按式(6)變換至wk+1，結(jié)合參考點(diǎn)云zk，計(jì)算出對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)間最短距離sk。

(4)不斷迭代，直至收斂。對(duì)W中的每個(gè)點(diǎn)，在Z中尋找距離最近的點(diǎn)，不斷迭代直到滿足迭代條件：|sk-sk-1|<ε，其中ε為無(wú)窮小量，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)兩點(diǎn)云之間相似度最大化。圖5為同一坐標(biāo)系下，點(diǎn)云W和點(diǎn)云Z中心重合后的點(diǎn)云圖，圖6為運(yùn)用ICP算法配準(zhǔn)結(jié)果，易看出基于ICP的點(diǎn)云配準(zhǔn)方法利用最小二乘法尋優(yōu)并不斷迭代，適應(yīng)性好且配準(zhǔn)精度較高。

圖5 中心對(duì)齊后的齒廓點(diǎn)云圖Fig.5 Point cloud of tooth profile after center alignment

圖6 齒廓點(diǎn)云的ICP配準(zhǔn)結(jié)果Fig.6 ICP registration results of tooth profile point cloud

4 齒廓偏差的測(cè)量

齒廓偏差Δf是指在齒輪端截面上，齒形工作部分內(nèi)(不含齒頂?shù)牡估獠糠?，容納實(shí)際齒形且距離最小的兩條設(shè)計(jì)齒形之間的法向距離[12]。為測(cè)量齒輪的齒形誤差，由其定義可知需獲取包含實(shí)際齒廓的兩條理論漸開(kāi)線。如圖7所示。

從點(diǎn)云配準(zhǔn)結(jié)果圖中選取一個(gè)齒廓并放大，效果如圖8所示。其中局部參考點(diǎn)云共有14個(gè)，局部目標(biāo)點(diǎn)云共有20個(gè)，單個(gè)齒廓配準(zhǔn)結(jié)果圖和圖7齒廓偏差定義圖是相似的，證明該方法具有可行性。

圖7 齒廓偏差的示意圖Fig.7 Schematic diagram of the tooth profile deviation

圖8 單個(gè)齒廓數(shù)據(jù)放大圖Fig.8 Enlarged diagram of individual tooth profile data

為測(cè)量齒廓偏差，采用多項(xiàng)式擬合離散目標(biāo)點(diǎn)云得到如圖9中線性擬合曲線，其基本原理為根據(jù)局部目標(biāo)點(diǎn)云W中數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)，設(shè)擬合多項(xiàng)式為

圖9 齒廓點(diǎn)云配準(zhǔn)結(jié)果圖Fig.9 Registration result of point cloud of tooth profile

(7)

式(7)中：Aj為待求未知數(shù)，令yi為第i個(gè)樣本的真實(shí)值，當(dāng)取樣m個(gè)時(shí)，得到基于點(diǎn)云W真實(shí)值與預(yù)測(cè)值間偏差Q為

(8)

計(jì)算局部參考點(diǎn)云中的每個(gè)點(diǎn)到擬合曲線的距離，距離的平均值即為齒廓偏差。多項(xiàng)式擬合結(jié)果為

y=0.838x2+7.384x-7.843

(9)

計(jì)算局部參考點(diǎn)云中的每個(gè)點(diǎn)到擬合曲線的位移，取點(diǎn)位移曲線上方為正，測(cè)量偏差檢測(cè)如表2所示。

表2 齒廓偏差測(cè)量結(jié)果Table 2 Measurement of the tooth profile deviation

根據(jù)表2所列出的數(shù)據(jù)測(cè)量結(jié)果，齒輪齒廓偏移最大值為24.96 μm，最小為2.66 μm，考慮到齒廓參考點(diǎn)云的采集和配準(zhǔn)時(shí)存在誤差，取計(jì)算數(shù)據(jù)絕對(duì)值的平均值作為齒廓偏差，測(cè)量結(jié)果為12.20 μm。同時(shí)，依照該方法可對(duì)其他輪齒進(jìn)行齒廓偏差計(jì)算。

一般工程中，對(duì)于被測(cè)齒輪進(jìn)行齒廓評(píng)定指標(biāo)僅需檢查其齒廓總偏差，根據(jù)模數(shù)m=2和齒數(shù)z=23查《機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)表》的“14-1-42”可知，所研究齒輪齒廓精度應(yīng)不大于15.0 μm，對(duì)照檢測(cè)值與查表所得值近似，并在合理的范圍內(nèi)，符合齒輪的精度等級(jí)，驗(yàn)證所采用方法可行性和準(zhǔn)確性。

5 結(jié)論

論文采用計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的方法建立標(biāo)準(zhǔn)齒輪模型并提取數(shù)據(jù)獲得齒輪的參考點(diǎn)云Z；利用機(jī)器視覺(jué)的方法在線拍攝齒輪圖像并進(jìn)行圖像處理，借鑒Zernike矩算法獲得清晰的亞像素齒廓邊緣；去除齒廓邊緣中的齒頂、齒根數(shù)據(jù)提取齒廓數(shù)據(jù)獲得齒輪的目標(biāo)點(diǎn)云W；分析了ICP算法在點(diǎn)云配準(zhǔn)中的應(yīng)用，并對(duì)參考點(diǎn)云Z和目標(biāo)點(diǎn)云W進(jìn)行點(diǎn)云配準(zhǔn)；點(diǎn)云配準(zhǔn)后，利用多項(xiàng)式擬合參考點(diǎn)集獲得擬合曲線，計(jì)算目標(biāo)點(diǎn)云中各點(diǎn)到擬合曲線的距離取平均值即為齒廓偏差。結(jié)果表明所提出的方法具有合理性，可重復(fù)性且滿足齒輪的精度要求。