陳香君 湯強(qiáng)

摘?要：數(shù)學(xué)模型思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)間的相互聯(lián)系，從數(shù)學(xué)模型角度來研究絕對值三角不等式的題目，可發(fā)現(xiàn)很多題目是形變質(zhì)不變，可用同一模型求解，從而降低了絕對值三角不等式題目的繁雜度，便于更靈活、系統(tǒng)地教學(xué)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型思想;絕對值三角不等式;解題研究

絕對值三角不等式內(nèi)容在人教A版選修4-5教材中所占篇幅不多，但其兼具代數(shù)、幾何的性質(zhì)，且蘊(yùn)含著豐富的實(shí)際意義，近年來在各種考試中成為炙手可熱的一類考題;同時(shí)，由于絕對值三角不等式知識(shí)繁雜，題目靈活多變，不管是教還是學(xué)的過程，都存在很大的困難。因此，基于數(shù)學(xué)模型思想來進(jìn)行相應(yīng)的解題研究，將題目化繁為簡是十分必要的。

一、?數(shù)學(xué)模型思想

目前關(guān)于數(shù)學(xué)模型思想的看法眾多。有學(xué)者認(rèn)為數(shù)學(xué)模型思想是能夠有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法，理解、描述以及解決現(xiàn)實(shí)世界中的一類問題的那種思想，也有學(xué)者認(rèn)為數(shù)學(xué)模型思想是對于某種事物系統(tǒng)的特征或者是數(shù)量依存關(guān)系概括、近似表述數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的一類思想。

中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的很多概念、公式是從現(xiàn)實(shí)世界的原型中抽象出來的，是“現(xiàn)實(shí)”到“數(shù)學(xué)”的過程，即數(shù)學(xué)化的第一階段。而高中學(xué)段，學(xué)生的認(rèn)知能力有了很大的提升，能在數(shù)學(xué)內(nèi)部進(jìn)行更為抽象的推理，即數(shù)學(xué)化的第二階段：“數(shù)學(xué)”到“數(shù)學(xué)”的過程。學(xué)生在學(xué)習(xí)絕對值三角不等式時(shí)具備這樣的抽象概括能力，因此，運(yùn)用模型思想在絕對值三角不等式數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部進(jìn)行學(xué)習(xí)、研究是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化第二階段的一個(gè)過程。

此外，滲透數(shù)學(xué)模型思想也為培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)打下基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。因此，數(shù)學(xué)模型思想對于中學(xué)階段的學(xué)生而言應(yīng)是一種基礎(chǔ)而重要的數(shù)學(xué)思想。

二、?絕對值三角不等式解題模型分析

（一）|x-m|+|x-n|型

圖1

f（x）=|x-m|+|x-n|（m

利用此模型可迅速找出f（x）=|x-m|+|x-n|（m

【例1】?（2018年全國卷Ⅱ理科第23題）設(shè)函數(shù)f（x）=5-|x+a|-|x-2|。

（1）略;（2）若f（x）≤1，求a的取值范圍。

解析：此題即求使得|x+a|+|x-2|≥4成立的a的范圍，由前分析可知f（x）=|x+a|+|x-2|的圖像為“倒梯形”，其最小值為|（-a）-2|=|a+2|（當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立），所以f（x）≤1|x+a|+|x-2|≥4|a+2|≥4，解得a≤-6或a≥2。

模型應(yīng)用1?（2012年高考數(shù)學(xué)陜西理科第15題）若存在實(shí)數(shù)a使|x-a|+|x-1|≤3成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

（二）|x-m|-|x-n|型

當(dāng)m>n時(shí)，f（x）=|x-m|-|x-n|的圖像是以C（n，m-n），D（m，n-m）為折點(diǎn)的“Z字形”（如圖2所示），在（-∞，n]恒取最大值m-n，在[m，+∞）恒取最小值n-m，在[n，m]單調(diào)遞減;當(dāng)m

利用此模型可立即得f（x）=|x-m|-|x-n|的折點(diǎn)，最大、小值，從而只需在對應(yīng)可能的區(qū)間內(nèi)求使得不等式成立的臨界值即可。

圖2

圖3

【例2】?（2012年高考數(shù)學(xué)廣東理科第9題）不等式|x+2|-|x|≤1的解集為？

解析：|x+2|-|x|=|x-（-2）|-|x-0|，其圖像是“反Z字形”。x∈（-∞，-2]時(shí)恒取最小值-2，滿足;x∈[0，+∞）時(shí)恒取最大值2，舍去;所以只需在區(qū)間（-2，2）上求滿足條件的臨界值即可，此時(shí)解析式為2x+2，即2x+2≤1x≤-12，綜上，解集為-∞，-12。

模型應(yīng)用2?（2017年全國卷Ⅲ理科第23題）已知f（x）=|x+1|-|x-2|，若不等式f（x）≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范圍。

（三）a|x-m|+b|x-n|型

圖4

f（x）=a|x-m|+b|x-n|（m

（1）當(dāng)a+b>0，圖像兩端向上無限延伸，折點(diǎn)處有最小值?min{f（m），f（n）};

（2）當(dāng)a+b<0，圖像兩端向下無限延伸，折點(diǎn)處有最大值min{f（m），f（n）};

（3）當(dāng)a+b=0，圖像平行于x軸。

利用此模型可知f（x）=a|x-m|+b|x-n|（m

【例3】?（2007年高考數(shù)學(xué)海南理科第22題）設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|。

（1）解不等式f（x）>2;

（2）求函數(shù)y=f（x）的最小值。

解析：（1）f（x）=2|x+12|-|x-4|圖像開口向上，兩端無限延伸，f-12=-92<2，f（4）=9>2，因此，要使f（x）>2，只需在區(qū)間-∞，-12和-12，4上求滿足條件的范圍即可。x∈-∞，-12時(shí)，有-x-5>2x<-7;x∈-12，4，有3x-3>2x>53，故解集為（-∞，-7）∪53，+∞。

（2）最小值為minf-12，f（4），而f-12=-92，f（4）=9，故最小值為-92。

模型應(yīng)用3?（2009年高考數(shù)學(xué)福建理科第21題）解不等式|2x-1|<|x|+1。

（四）|x-m|+|x-n|+|x-t|型

此類型題目求解一般會(huì)考慮絕對值三角不等式取等條件求使得最值成立的條件。各類取等條件總結(jié)如下表1所示。

利用此模型可將三項(xiàng)絕對值不等式轉(zhuǎn)化為兩項(xiàng)，并求得等號(hào)成立的條件，從而得到不等式的解集。

【例4】?已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-3|+|x-a|，設(shè)其最小值為g（a），求g（a）的最小值。

解析：若a≤1，則f（x）=|x-1|+|x-3|+|x-a|≥|（x-3）-（x-a）|+|x-1|≥3-a，當(dāng)且僅當(dāng)x-1=0，且（x-a）（x-3）≤0，即x=1時(shí)等號(hào)成立;

若1

若a≥3，則f（x）=|x-1|+|x-3|+|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|+|x-3|≥a-1，當(dāng)且僅當(dāng)x-3=0，且（x-1）（x-a）≤0，即x=3時(shí)等號(hào)成立。

綜上，g（a）=3-a，a≤12，1

【例5】?若不等式|x|+12x-1+|x-1|>m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解析：由題2|x|+|x-2|+2|x-1|>2m恒成立，令y=2|x|+|x-2|+2|x-1|=|x|+|x-2|+|x|+|x-1|+|x-1|≥|x-（x-2）|+|x-（x-1）|+|x-1|≥2+1+0=3，當(dāng)且僅當(dāng)x（x-2）≤0x（x-1）≤0x-1=0，即x=1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)ymin=3，所以2m<3，所以m∈-∞，32。

模型應(yīng)用4?解不等式|2x+1|-|x-2|<|x+3|。

（五）f（x）=∑nk=1|x-ak|型

f（x）=∑nk=1|x-ak|=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|（a1

（1）若n=2k-1（k∈N+），

f（x）≥|（x-a1）-（x-an）|+…+|（x-ak-1）-（x-ak+1）|+|（x-ak）|=|（a1+a2+…+ak-1）-（ak+1+ak+2+…+a2k-1）|

當(dāng)且僅當(dāng)x=ak時(shí)取得最小值，其圖像是以（ak，f（ak））為頂點(diǎn)的“V字形”;

（2）若n=2k（k∈N+），

f（x）≥|（x-a1）-（x-an）|+…+|（x-ak）-（x-ak+1）|=|（a1+a2+…+ak）-（ak+1+ak+2+…+a2k）|

當(dāng)且僅當(dāng)x∈[ak，ak+1]時(shí)取得最小值，其圖像是以A（ak，f（ak）），B（ak+1，f（ak+1））為折點(diǎn)的“倒梯形”。

此模型求函數(shù)最值是運(yùn)用絕對值三角不等式將多項(xiàng)絕對值放縮，消掉未知數(shù)，并求使得所有等號(hào)都成立的條件，從而求得最值。

【例6】?（2006年全國卷Ⅱ理科第12題）函數(shù)f（x）=∑19n=1|x-n|的最小值為？

解析：由題，原式即為：f（x）=|x-1|+|x-2|+…+|x-18|+|x-19|≥|（x-1）-（x-19）|+|（x-2）-（x-18）|+…+|（x-9）-（x-11）|+|x-10|=18+16+…+2+0=90。

當(dāng)且僅當(dāng)（x-1）（x-19）≤0，（x-2）（x-18）≤0…（x-9）（x-11）≤0，且x-10=0，即x=10時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)最小值為90。

模型應(yīng)用5?函數(shù)f（x）=∑2011n=1|x+n|+∑2011n=1|x-n|（x∈R），且f（a2-3a+2）=f（a-1），求所有滿足條件的互異整數(shù)a的值的和。

以上五類數(shù)學(xué)模型可用于很多絕對值三角不等式題目的求解。以絕對值三角不等式為例來探析數(shù)學(xué)模型思想只是冰山一角，同時(shí)，從數(shù)學(xué)模型思想來研究絕對值三角不等式也僅是一種角度，其他課題和思想、方法也應(yīng)進(jìn)行挖掘、體會(huì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]史寧中.數(shù)學(xué)基本思想18講[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016：216.

[2]凌密然，王娟娟.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型思想的滲透[J].課程教育研究，2019（23）：154-155.

作者簡介：

陳香君，湯強(qiáng)，四川省南充市，西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院。