羅增儒

【摘要】開(kāi)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)是前提。在認(rèn)識(shí)現(xiàn)象與本質(zhì)的基礎(chǔ)上，作者對(duì)把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)進(jìn)行了數(shù)學(xué)是什么、教學(xué)抓什么和具體怎么抓三個(gè)層面的思考，認(rèn)為數(shù)學(xué)思想是由數(shù)學(xué)知識(shí)通往數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的橋梁。教師開(kāi)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教學(xué)的一個(gè)基本框架是把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，組織互動(dòng)探究（或主題站位）的教學(xué)活動(dòng)，形成“數(shù)學(xué)化”的深度學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】素養(yǎng)教學(xué);現(xiàn)象與本質(zhì);數(shù)學(xué)本質(zhì);數(shù)學(xué)思想;課堂落實(shí)

當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)從知識(shí)導(dǎo)向轉(zhuǎn)為素養(yǎng)導(dǎo)向，大家都在探索如何開(kāi)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》）指出，基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。這句話既明確了數(shù)學(xué)素養(yǎng)教學(xué)的課堂落實(shí)方向，又強(qiáng)調(diào)了把握數(shù)學(xué)本質(zhì)是展開(kāi)“基于情境、問(wèn)題導(dǎo)向、深度思維、高度參與”教學(xué)的大前提，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)決不是剝離數(shù)學(xué)、遠(yuǎn)離本質(zhì)的表面熱鬧的行為。那么，什么是本質(zhì)？如何把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)？如何通過(guò)把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)？本文將進(jìn)行初步的探討。

一、現(xiàn)象與本質(zhì)的關(guān)系

任何事物都有現(xiàn)象和本質(zhì)兩個(gè)方面，它們是一對(duì)范疇。現(xiàn)象是事物的外部聯(lián)系，是本質(zhì)的表層呈現(xiàn)，具有豐富性、多樣性和表面性的特征，由感覺(jué)器官即能感知;本質(zhì)是事物的內(nèi)部聯(lián)系，是現(xiàn)象的深層結(jié)構(gòu)，能決定事物的性質(zhì)和發(fā)展的趨向，具有單一性、穩(wěn)定性和深刻性，需由思維才能把握。人們認(rèn)識(shí)事物，總是在實(shí)踐中通過(guò)對(duì)現(xiàn)象的分析，去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里，實(shí)現(xiàn)從現(xiàn)象到本質(zhì)的升華。下面以兩個(gè)案例進(jìn)行說(shuō)明。

案例1：第二次世界大戰(zhàn)期間，英關(guān)軍方根據(jù)作戰(zhàn)后幸存飛機(jī)上彈痕的分布情況，決定哪些地方彈痕多就加固哪里。然而，統(tǒng)計(jì)學(xué)家沃德力排眾議，指出更應(yīng)該注意彈痕少的部位，他的思考就是要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)。試想，如果彈痕多的地方就是飛機(jī)的要害，那么為什么飛機(jī)還能飛回來(lái)？這就說(shuō)明，彈痕多的部位并非要害，而彈痕少的部位才可能是飛機(jī)的要害，要害處被擊中的飛機(jī)就都難以幸存了。

案例2：作為對(duì)現(xiàn)實(shí)世界空間形式的抽象，19世紀(jì)的幾何不僅有歐幾里得幾何，而且還有射影幾何、仿射幾何等。1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克菜因在愛(ài)爾蘭根大學(xué)開(kāi)學(xué)致辭時(shí)，做了題為“新幾何研究上比較的觀點(diǎn)”的演講，提出“幾何變換群”的著名觀點(diǎn)——后人稱為“愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)”。這篇演講總結(jié)了射影幾何、仿射幾何等各種幾何發(fā)展的結(jié)果，認(rèn)為每一種幾何學(xué)都可以看作是在某種變換群下幾何圖形的不變性和不變量的科學(xué)體系。由于歐幾里得幾何主要研究全等形和相似形，從變換群的觀點(diǎn)來(lái)看，就是研究相似變換群及其子群（合同變換）的不變性和不變量。合同變換是保距變換，相似變換是保角變換，這兩種變換是中學(xué)圖形變換的數(shù)學(xué)背景。在這里，克萊因用“不變量”的思想來(lái)揭示各種幾何的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

二、數(shù)學(xué)的本質(zhì)

如同事物都有現(xiàn)象和本質(zhì)一樣，數(shù)學(xué)對(duì)象也有內(nèi)容與本質(zhì)兩個(gè)方面。數(shù)學(xué)內(nèi)容表現(xiàn)為概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理等看得見(jiàn)、可呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)事實(shí);而數(shù)學(xué)本質(zhì)則是這些豐富內(nèi)容所共有的深層結(jié)構(gòu)和實(shí)質(zhì)思想，需要實(shí)踐、反思才能認(rèn)識(shí)。從課堂教學(xué)的需要出發(fā)，筆者對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行了三個(gè)層面的思考。

1.從宏觀層面思考，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)是什么

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過(guò)符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。這就從宏觀層面揭示了數(shù)學(xué)概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理等的一般性共同本質(zhì)，關(guān)鍵詞有抽象、推理、模型、符號(hào)、形式。

這種認(rèn)識(shí)，既與把數(shù)學(xué)看成概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理等事實(shí)的集合不同，也與把數(shù)學(xué)看成處理和求解各類數(shù)學(xué)問(wèn)題的各種方法和技巧的匯集不同，而是把數(shù)學(xué)看成人類的一種創(chuàng)造性活動(dòng)。數(shù)學(xué)觀決定教學(xué)觀，前兩種認(rèn)識(shí)會(huì)使人不自覺(jué)地把數(shù)學(xué)知識(shí)看成是一種可以由教師傳遞給學(xué)生的純客觀的東西，系統(tǒng)、完整、大容量的數(shù)學(xué)課堂可能就會(huì)成為教師的追求目標(biāo);教師也會(huì)特別看重自己教學(xué)過(guò)程中的示范作用，從而提倡學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的模仿和識(shí)記。這樣一來(lái)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就會(huì)以“接受”為主，體現(xiàn)知識(shí)導(dǎo)向。

而把數(shù)學(xué)看成人類的一種創(chuàng)造性活動(dòng)就會(huì)把數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)作學(xué)生在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上構(gòu)建新認(rèn)知結(jié)構(gòu)、促進(jìn)個(gè)人發(fā)展的一項(xiàng)創(chuàng)造性活動(dòng)，關(guān)注學(xué)生獲得知識(shí)的參與過(guò)程，精心創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生思維的教學(xué)情境，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，使學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”（更一般地，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維）。這樣一來(lái)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就會(huì)以“再發(fā)現(xiàn)”為主，體現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向。

2.從中觀層面思考，明確教學(xué)抓什么

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容及其所使用的方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。因而，中學(xué)階段抓數(shù)學(xué)本質(zhì)，可以首先抓住以下一些數(shù)學(xué)思想：用字母表示數(shù)，集合與對(duì)應(yīng)，方程與函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，分類與整合，轉(zhuǎn)換與化歸，特殊與一般，或然與必然，有限與無(wú)限，數(shù)學(xué)模型等。

教師進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，需對(duì)教材進(jìn)行數(shù)學(xué)思想提煉，對(duì)情境進(jìn)行數(shù)學(xué)思想設(shè)計(jì)，對(duì)難點(diǎn)進(jìn)行數(shù)學(xué)思想突破，對(duì)解題進(jìn)行數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)，對(duì)總結(jié)進(jìn)行數(shù)學(xué)思想反思，將數(shù)學(xué)思想支配數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的全過(guò)程。

由于數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含于具體的內(nèi)容與方法中，又經(jīng)過(guò)了提煉與概括，是隱性的深層知識(shí)，因此需要教師在具體的教學(xué)中做有意識(shí)的啟發(fā)，其基本途徑是在教學(xué)中自覺(jué)暴露數(shù)學(xué)事實(shí)的思維過(guò)程。如數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，數(shù)學(xué)結(jié)論的探究過(guò)程，特別是在知識(shí)總結(jié)階段的反思，以及反思中對(duì)思想的概括和提煉。這就要求教師把教學(xué)納入學(xué)術(shù)活動(dòng)的軌道。

3.從微觀層面思考，學(xué)會(huì)具體怎么抓

教師要學(xué)會(huì)提煉具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想。比如函數(shù)是客觀事物運(yùn)動(dòng)變化和相依關(guān)系在數(shù)學(xué)上的反映，本質(zhì)上是集合間的對(duì)應(yīng)（一種特殊的對(duì)應(yīng)）。它是中學(xué)數(shù)學(xué)從常量到變量的一個(gè)認(rèn)識(shí)上的飛躍，考慮到學(xué)生的接受水平（也尊重知識(shí)的發(fā)展歷史），初中階段將其定義為變量（因變量），到了高中階段就直接把函數(shù)定義為集合間的映射。

我們?cè)谛W(xué)階段曾學(xué)過(guò)“含有未知數(shù)的等式叫做方程”，但這只是方程的表象，它的本質(zhì)是含有未知量等式，f（x）=g（x）所提出的問(wèn)題。首先，這個(gè)等式可以表示兩個(gè)不同事物具有相同的數(shù)量關(guān)系，也可以表示同一事物具有不同的表達(dá)方式;其次，在這個(gè)等式所提出的問(wèn)題中，x依等式而取值，問(wèn)題依x的取值而決定是否成為等式。解方程就是確定取值a，將其代人x時(shí)能使等式f（a）=g（a）為真。這里有兩個(gè)最基本的矛盾統(tǒng)一關(guān)系，其一是f（x）、g（x）間形式與內(nèi)容的矛盾統(tǒng)一，其二是x客觀上已知與主觀上未知的矛盾統(tǒng)一。從這一意義上說(shuō)，解方程就是改變f（x）、g（x）間形式的差異以取得內(nèi)容上的統(tǒng)一，并使x從主觀上的未知轉(zhuǎn)化為客觀上的已知。由此可見(jiàn)，方程的解體現(xiàn)充分條件，解方程的過(guò)程體現(xiàn)必要條件，方程的所有解體現(xiàn)充分必要條件。

理解并掌握方程與函數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。

中學(xué)階段學(xué)習(xí)的數(shù)軸，表象是“含有三個(gè)要素”的直線，而本質(zhì)卻是“實(shí)數(shù)集合”與“直線上點(diǎn)的集合”之間的兩個(gè)思想：集合與對(duì)應(yīng)以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。同樣，平面直角坐標(biāo)系、平面解析幾何、平面向量等也有“實(shí)數(shù)對(duì)集合”與“平面上點(diǎn)的集合”之間的兩個(gè)思想。有了這樣的認(rèn)識(shí)后，“復(fù)數(shù)”就好理解了：實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)直線（數(shù)軸）上的點(diǎn)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面（復(fù)平面）上的點(diǎn)。

小學(xué)和中學(xué)都有“用字母表示數(shù)”的課題，有的教師把它當(dāng)作一種方法或技巧來(lái)教學(xué)。其實(shí)，“用字母表示數(shù)”是一種數(shù)學(xué)思想，因而，“用字母表示數(shù)”課題的教學(xué)，應(yīng)該是數(shù)學(xué)思想的教學(xué)（有別于定理、法則和方法的教學(xué)），其背后還有符號(hào)思想、代數(shù)思想和函數(shù)思想。

直線的本質(zhì)特征是由無(wú)窮個(gè)點(diǎn)組成的一個(gè)連續(xù)圖形，兩端可以無(wú)限延伸，沒(méi)有寬度，很直很直等，但是無(wú)法用更基本的概念來(lái)加以定義。直線公理“兩點(diǎn)確定一條直線”就是直線本質(zhì)屬性的一種直觀描述。試想，如果“直線”不是很直很直的，那經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)就可以連出很多曲線;如果“直線”不是兩端可以無(wú)限延伸的，那經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的線段就可以延伸出長(zhǎng)短不一的很多直線來(lái)。所以，“兩點(diǎn)確定一條直線”表明，直線是由無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)組成的一個(gè)連續(xù)圖形，兩端可以無(wú)限延伸，很直很直。與點(diǎn)沒(méi)有面積相一致，點(diǎn)動(dòng)而成的直線也就沒(méi)有寬度。同樣，說(shuō)“兩點(diǎn)之間線段最短”，其實(shí)也是用“距離的最小性”來(lái)描述“直線的‘直”。

類似地，高中的平面公理是平面本質(zhì)特征的一個(gè)刻畫(huà)。平面可以無(wú)窮延伸，很平很平等不能嚴(yán)格定義，但用公理能刻畫(huà)出來(lái)。試想，如果“平面”不是無(wú)窮延伸，那么有一個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面就可能只有一個(gè)公共點(diǎn)或延伸出有限長(zhǎng)的公共線、公共區(qū)域;如果“平面”不是很平很平，那么即使無(wú)窮延伸也有可能得出公共曲線。同樣，如果“平面”不是很平很平，那么由于直線很直，即使直線有兩個(gè)點(diǎn)在平面上，也不能保證整條直線都在平面上。所以，平面公理表明，平面可以無(wú)窮延伸，很平很平。

勾股定理的本質(zhì)是直角三角形的代數(shù)描述。由直角三角形與等式c²=a²+b²可以互推表明，它們是同一件事情，只不過(guò)有幾何描述（形）與代數(shù)描述（數(shù)）的形式區(qū)別。同樣，余弦定理的本質(zhì)是三角形的代數(shù)描述，由三角形與等式c²=a²+b²-2abcosC可以互推表明，它們是同一件事情，只不過(guò)有幾何描述（形）與代數(shù)描述（數(shù)）的形式區(qū)別。

定理“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的本質(zhì)是等腰三角形具有自對(duì)稱性。也就是說(shuō)，等腰三角形可以拿起來(lái)做一個(gè)空中的翻轉(zhuǎn)后，回落下去與原來(lái)的位置重合。這是非等腰三角形所不具有的特性（可以全等，但僅僅平移、旋轉(zhuǎn)還無(wú)法重合），把這種特性寫(xiě)下來(lái)就是等腰三角形性質(zhì)定理的一個(gè)有趣證明。

三角形的內(nèi)角千差萬(wàn)別，但有一個(gè)“不變性”的本質(zhì)，那就是三角形的內(nèi)角和等于180°。進(jìn)一步還有n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°，n邊形的內(nèi)角和是隨著邊數(shù)的變化而變化的，但不管是三角形、四邊形，還是n邊形，它們的外角和都等于360°，所以說(shuō)，外角和更加本質(zhì)。從三角形內(nèi)角和的不變性本質(zhì)到n邊形外角和的不變性本質(zhì)，說(shuō)明數(shù)學(xué)本質(zhì)也有層次性。

小學(xué)“圓柱表面積”的教學(xué)，表面上看是公式教學(xué)，而公式的背后是轉(zhuǎn)換與化歸的數(shù)學(xué)思想（如圖1）和“變動(dòng)中的不變性”（克萊因觀點(diǎn)）。在教學(xué)過(guò)程中，由生活原型提煉數(shù)學(xué)概念可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象，由操作探索提煉數(shù)學(xué)公式可以體現(xiàn)邏輯推理，這兩個(gè)提煉都有直觀想象，都是通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)完成的，有助于學(xué)生空間概念的發(fā)展，至于實(shí)際應(yīng)用中的正確列式和準(zhǔn)確計(jì)算則有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。

下面是用方程與函數(shù)的數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)解題的兩道例題。

例1

甲是乙現(xiàn)在的年齡時(shí)，乙10歲;乙是甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲25歲。問(wèn)甲、乙誰(shuí)大？大幾歲？

解：在已知條件中，由于不知道甲、乙“現(xiàn)在的年齡”而不知道怎么用;又由于不知道甲、乙誰(shuí)大，想運(yùn)算卻沒(méi)辦法下手。運(yùn)用字母表示數(shù)的數(shù)學(xué)思想，可設(shè)甲的年齡為y、乙的年齡為x，他們相差k歲，k是一個(gè)常數(shù)，約定當(dāng)k>0時(shí)，甲比乙大，而當(dāng)k<0時(shí)，乙比甲大，則有一次函數(shù)關(guān)系y=x+k。

①

這時(shí)，已知條件便是這個(gè)函數(shù)的三次取值（如圖2）。

三、課堂落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)教學(xué)的兩個(gè)建議

在理解《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的精神后，關(guān)于在課堂中如何落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)教學(xué)，筆者提出以下兩點(diǎn)建議。

1.明確一個(gè)認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)思想是由數(shù)學(xué)知識(shí)通往數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的橋梁?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出的六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)源于數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)又超越數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)。知識(shí)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的載體，活動(dòng)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的渠道。數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的過(guò)程中形成的，是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻認(rèn)識(shí)和深度把握，它能夠引領(lǐng)學(xué)生將習(xí)得的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能應(yīng)用到日常生活中，幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思維分析和解決問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)和交流問(wèn)題。這是從“數(shù)學(xué)知識(shí)”（載體）到“數(shù)學(xué)思想”（橋梁）再到“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”（目標(biāo)）的逐層深入和逐級(jí)提升。其中，數(shù)學(xué)思想是由數(shù)學(xué)知識(shí)通往數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的橋梁。如果離開(kāi)知識(shí)，素養(yǎng)就會(huì)成為無(wú)根之花、無(wú)源之水;而數(shù)學(xué)知識(shí)如果不深人到數(shù)學(xué)思想，那知識(shí)與素養(yǎng)就始終是沒(méi)有橋梁連接的川流兩岸。作個(gè)比喻，數(shù)學(xué)知識(shí)就如同一塊鐵礦石（看得見(jiàn)、摸得著），數(shù)學(xué)思想是隱藏在礦石里的鐵（要加以提煉才能得出來(lái)），而數(shù)學(xué)素養(yǎng)則是組成鐵的元素。

2.值得探索的一個(gè)框架

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成，不能單純依賴教師的教，而是需要學(xué)生參與其中：不能單純依賴記憶與模仿，而是需要感悟與思維。它應(yīng)該是日積月累的、自己思考的經(jīng)驗(yàn)和積累。因此，基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)，要求教師把握內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，組織互動(dòng)探究（或主題站位）的教學(xué)活動(dòng)，形成“數(shù)學(xué)化”的深度學(xué)習(xí)，這是數(shù)學(xué)素養(yǎng)教學(xué)的一個(gè)基本框架。基于這一框架的教學(xué)，能讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力和價(jià)值觀念。

（責(zé)任編輯：陸順演）