□郜舒竹

如果把知識視為是在活動中習(xí)得或生成的，技能是在活動中提升并熟練的，思想是在活動中感悟并凝練的，經(jīng)驗是在活動中產(chǎn)生并積累的，那么讓學(xué)生有機會經(jīng)歷“基本活動”，就成為數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的核心。

“課標(biāo)”中所說的基本活動經(jīng)驗指的是“數(shù)學(xué)的……基本活動經(jīng)驗”，不妨先把定語“數(shù)學(xué)的”去掉，關(guān)注一下人們?nèi)粘５幕顒优c數(shù)學(xué)的關(guān)系。下面以小學(xué)數(shù)學(xué)課程中“位值（Place Value）”的認識進行說明。

一、什么是“位值”

“位值”一詞，應(yīng)當(dāng)是從英文“Place Value”翻譯而來的，指的是在十進制記數(shù)時，用有限的十個數(shù)字符號“0，1，2，3，4，5，6，7，8，9”，表達無限多的自然數(shù)。位值是一種人為規(guī)定的規(guī)則，即并排寫出的數(shù)字，在不同的位置所表示的值是不同的。比如“22”，表面看兩個數(shù)字符號“2”并列，但個位的“2”表示兩個“一”，而十位的“2”表示兩個“十”，因此“22”表示的是“兩個十和兩個一”。簡單說，位值就是“位置有值”。

位值作為人為規(guī)定的一種記數(shù)規(guī)則，實質(zhì)是把數(shù)作為語言進行書寫表達的語法，是人類智慧的體現(xiàn)，這種智慧表現(xiàn)為用0～9 這有限的十個數(shù)字符號，表達出無限多的自然數(shù)，實現(xiàn)了有限與無限的對立統(tǒng)一。因此，成為全世界不同國家、不同語言、不同文化共同接受的記數(shù)方式，也成為所有不同國家、不同語言、不同文化的數(shù)學(xué)課程中必不可少的共同內(nèi)容和文化。

作為數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，位值可以說貫穿教學(xué)的始終。小學(xué)階段關(guān)于整數(shù)的認識、計算，以及小數(shù)、分數(shù)的認識、計算等等，初中階段關(guān)于有理數(shù)的認識、計算等等，都離不開對位值的理解。

直觀上看，位置上的值是看不見的，具有表里不一的特點，因此會導(dǎo)致認知的困難。特別是低齡兒童剛開始學(xué)習(xí)的時候，比如教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，類似于“33-3＝3”的錯誤極其普遍，究其原因，是把并列的兩個3，即“33”看作“3 和3”的關(guān)系，忽略了位置上的值，“33-3”的運算就成為“從3和3中拿走一個3，自然還剩下一個3”。而位值作為規(guī)則，規(guī)定“33”表達的是“30和3”，其中的“30”從“33”的外表中是不可見的。正是這樣的表里不一，使得位值對于低齡兒童具有抽象性，這樣的抽象性自然會導(dǎo)致普遍性的認知困難。

“也不是的，我二三十歲時很想結(jié)婚。但最初的幾次婚姻，更像是彩排。后來，我找到了能過一輩子的女人，是她遏制了我結(jié)婚或離婚的慣性，但她婚后幾個月就死了?！?/p>

數(shù)學(xué)課程中諸如此類具有抽象性的內(nèi)容很多，為了尋求更有效的課程設(shè)計與教學(xué)實施的方法，先簡要介紹與“涉身認知（Embodied Cognitive）”有關(guān)的幾個概念。

基于“生成論（Enactivism）”的認知科學(xué)有一種涉身認知的說法，其基本假設(shè)源于生物學(xué)，認為所有生物體（包括人）的認知活動，都是自身身體、大腦在與外部環(huán)境的互動中進行的，倡導(dǎo)讓大腦回歸肉身，認知是涉及身體以及身體活動的。知識并不僅僅是吸收和表征的，而是在與環(huán)境互動過程中生成的。生成論否定知識的靜態(tài)觀念，認為知識本身就是過程，強調(diào)“做即知，知即做”[1]。

涉身認知否定認知活動是單純的頭腦中的智力活動，強調(diào)認知活動的涉身性，即身體以及身體活動的不可或缺。其中兩個核心詞匯分別是“意象圖式”和“隱喻”，下面結(jié)合幾乎每位學(xué)生都要反復(fù)經(jīng)歷的“上學(xué)”的過程進行說明。

二、“上學(xué)”的活動

不妨把上學(xué)的過程概括為如下的系列活動，這些活動都是人的身體需要參與并經(jīng)歷的。

●出門前需要“收拾書包”；

●背上書包“走出家門”；

●路上“乘坐公交車”，也可能是其他交通工具；

●到達學(xué)校“進入教室”。

整個“上學(xué)”過程中，出現(xiàn)了諸如“書包、家、公交車、教室”這些對象（Object），相當(dāng)于涉身認知中所說的外部環(huán)境。整個上學(xué)的過程，就是人身體與這樣的環(huán)境互動的過程。

所有這些對象共同的特征是，都有“內(nèi)部”和“外部”，人身體的活動自然就包括“從外到內(nèi)”和“從內(nèi)到外”。收拾書包的過程有“取出”和“放入”的活動，家的房間和教室的房間都有“走進”和“走出”的活動，公交車有“上車（進入車廂）”和“下車（走出車廂）”的活動。諸如此類“出—入”的活動，是包括低齡兒童在內(nèi)的大部分人每天都會反復(fù)經(jīng)歷的。

提及書包、房間、車廂，頭腦中自然會浮現(xiàn)出相應(yīng)的影像（見圖1）。

這樣的影像在認知科學(xué)（Cognitive Science）中叫作“意象（Image）”，也就是頭腦中的圖像（Picture in mind）。結(jié)合這些意象，“內(nèi)—外”的空間關(guān)系，以及人身體“從內(nèi)到外”和“從外到內(nèi)”的活動，頭腦中就會產(chǎn)生一個結(jié)構(gòu)（System）或模式（Pattern），這樣的結(jié)構(gòu)或模式也叫“圖式（Schema）”，其實就是通常所說的思維方式。

這樣的思維方式是在反復(fù)的互動過程中無意識地、自然而然地形成的。鑒于“內(nèi)—外”的空間關(guān)系以及“出—入”的身體活動，都具有容納、包容的特征，因此這種思維方式可以命名為“容器（CONTAINER）”圖式[2]，是諸多意象圖式（Image Schema）中的一種（見圖2）。

圖2 容器示意圖

圖3 容器圖式示意圖

意象圖式是從相對具體的意象中得到的，其作用一方面是對人身體有共性的日?；顒踊蛐袨榈母爬?，另一方面可以將其應(yīng)用于其他更多、更廣泛的活動。比如人用餐過程中的盛飯、吃飯，其中的飯碗、嘴也都具有內(nèi)—外的空間關(guān)系，人身體的活動同樣具有出—入的動作，因此也可以納入到容器圖式中。

意象圖式同時具有涉身性和概括性，往往用較為簡潔的圖形來表示。比如前面所說的容器圖式，通常用圖3的大小兩個圓，表示容器的內(nèi)外關(guān)系以及出入的活動。對意象圖式進行研究意在系統(tǒng)概括人的活動方式，鑒于人日?；顒拥亩鄻有院蛷?fù)雜性，使得意象圖式的研究成為一個開放的領(lǐng)域，也即不會窮盡。

進一步看“上學(xué)”的過程，收拾書包時會出現(xiàn)全部取出，使得書包變空的情況；也可能出現(xiàn)東西太多，裝不下的情況。乘坐公交車時可能出現(xiàn)車廂無乘客的空車廂情況，也可能出現(xiàn)人滿為患上不去的情況。這些經(jīng)驗都與容器的“空”與“滿”類似，反復(fù)的經(jīng)歷使得頭腦中會形成“空—滿”的意象，面對空就是沒有對象，還可以進入，進入可以使得容器中從無到有；對于容器的“滿”，就意味著無法進入，需要有出，才能有入。這就形成了另外一種意象圖式，可 以 命 名 為“ 空— 滿（Empty-Full）”圖式，通常用圖4兩個圓進行對比表示。其中左側(cè)圓表示“滿”，右側(cè)圓表示“空”。

更進一步，收拾書包時書包中會放入教科書、作業(yè)本、筆袋（筆盒）等不同類型的物品；進入公交車會看到男人、女人、老人、年輕人、兒童等不同類型的人；進入教室會發(fā)現(xiàn)有同學(xué)已經(jīng)來到，有同學(xué)還沒來到，有同學(xué)在打掃衛(wèi)生，有同學(xué)在讀書，等等。經(jīng)歷這些過程所形成的意象，使得人自然而然產(chǎn)生同中求異、異中求同的思維方式，也就是形成“類別”或“分類”的意象圖式?？梢悦麨椤邦悇e（COLLECTION）”圖式。

類別圖式在人日常行為中的應(yīng)用極其廣泛，比如在書架上擺放圖書，會遵循便于記憶、便于尋找的原則，因此會分門別類地進行擺放。在電腦中存放自己的文件，會依據(jù)不同類型的文件，設(shè)置不同的文件夾將文件分類，等等。

圖4“空—滿”圖式示意圖

三、容器與位值

圖5 認識位值示意圖

前面利用“上學(xué)”過程中的活動，介紹了與“出—入”活動有關(guān)的思維方式，分別為容器、空—滿以及類別三個常見的意象圖式。鑒于出—入活動的經(jīng)常性和重復(fù)性，可以把容器圖式作為設(shè)計學(xué)習(xí)活動中的已有經(jīng)驗。

對于抽象的認識對象，認知科學(xué)通常運用“類比（Analogy）”，也叫作“隱喻（Metaphor）”的方式進行理解。比如一個人很有學(xué)問，但這些學(xué)問從人的外表是看不見的，“滿腹經(jīng)綸”這一成語就是一個類比或隱喻的說法，把人身體中的“腹”看作容器，用“滿”表示多，運用了容器圖式進行類比。再比如人的“信心”也是一個抽象的概念，存在于人的心理中，是成就事業(yè)重要的心理因素。因此會有“信心滿滿”的說法，把人的心理類比為容器，用“滿”隱喻“充足”。類似的隱喻還有滿心歡喜、心滿意足等。

對于位值，同樣可以運用與容器相關(guān)的思維方式進行理解。比如，可以將兩位數(shù)中的十位和個位這兩個位置，分別看作是兩個容器。首先應(yīng)當(dāng)認識兩個容器中所容納的對象是不同的。個位容器中容納的個體對象是“一”，十位容器中容納的個體對象是“十”。為了便于動手操作，可以利用如圖5的學(xué)具。

圖5 中白紙上縱向劃分出的三個區(qū)域，從右到左分別表示個位、十位、百位的三個容器。個位容器中容納的對象用正方體小木塊表示，十位容器中包含的對象用10 個小木塊連接而成的“小木條”表示，同樣百位容器中容納的對象用10個小木條連接成的正方形小木板表示。

用容器類比數(shù)位過程中，還會用到空—滿圖式的思維方式?？諘r表示沒有，滿10個時，就需要取出，并把這10個小木塊變?yōu)橐粋€小木條，放入左側(cè)的十位容器中。

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，如果有機會反復(fù)經(jīng)歷在每個數(shù)位容器中“放入、取出”的活動，自然而然地就會將位值的認知納入頭腦中業(yè)已形成的容器圖式中，也就使得位值的抽象性得以具體化。

容器圖式在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用十分廣泛，比如豎式計算中的“進位”和“退位”，其實質(zhì)就是將數(shù)位視為容器所進行的放入和取出的活動。對于方程的認識，比如x-3=5，可以將其中的“x”看作容器，解方程的過程就是尋找一個恰當(dāng)?shù)臄?shù)放入其中，使得等式兩邊相等。中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的函數(shù)表達式y(tǒng)=f(x)，起初人們就是把變量“y”看作是包含著變量“x”的容器，這也是函數(shù)一詞中“函”的來源[3]。因此數(shù)學(xué)教學(xué)中結(jié)合與容器相關(guān)的日?；顒樱O(shè)計學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，是十分有益的。