秦瑞兵， 游 悅

（山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，太原 030006）

方差問題通常在統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中被認(rèn)作是風(fēng)險(xiǎn)問題，如果能夠更加精確地估計(jì)變點(diǎn)的存在，就能及時(shí)地規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，減少損失，這也是眾多學(xué)者研究方差問題的意義所在. 最早有關(guān)方差變點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)學(xué)文獻(xiàn)就是Hsu等［1］，他們提出了一個(gè)方差公式作為股票收益模型中Pareto分布的替代. Inclán等［2］、Gombay等［3］考慮了獨(dú)立序列中的方差偏移問題. 在處理自回歸的觀察值序列時(shí)，Wichern等［4］選用一階自回歸模型來處理未知時(shí)刻的突變方差問題，與之不同的是，Abraham等［5］則使用了貝葉斯框架來處理這一問題. Lee等［6］提出了CUSUM平方檢驗(yàn)來檢驗(yàn)線性過程中方差變化. 趙文芝等［7］和袁芳等［8］采用CUSUM型統(tǒng)計(jì)量分別研究了線性過程和獨(dú)立序列中的方差變點(diǎn)估計(jì)問題. Zhao等［9］還就線性過程中的方差變點(diǎn)問題，證明了SCUSUM型估計(jì)方法具有一致性. Wang等［10］研究了線性過程中長(zhǎng)記憶誤差的方差變點(diǎn)檢測(cè)問題. Bekers等［11］研究了線性過程中協(xié)方差結(jié)構(gòu)的變化問題.

Kim［12-13］使用比率檢驗(yàn)來檢測(cè)線性時(shí)間序列中的持久性變化問題. Horváth等［14］使用比率檢驗(yàn)來檢測(cè)均值的變化，并在弱不變?cè)硐峦茖?dǎo)出觀察值之和的極限分布. Zhao等［15］采用比率檢測(cè)來檢驗(yàn)線性過程中的方差變點(diǎn)問題，在原假設(shè)下推導(dǎo)出其漸近分布，并對(duì)變點(diǎn)進(jìn)行了估計(jì). 但是Zhao等［15］的方法還存在一些問題：在方差由小變大的情況下，當(dāng)變點(diǎn)時(shí)刻在0.5之后，存在勢(shì)過低的現(xiàn)象，無法進(jìn)行檢測(cè)；在方差由大變小的情況下，當(dāng)變點(diǎn)時(shí)刻在0.5之前，同樣存在勢(shì)過低的現(xiàn)象，無法進(jìn)行檢測(cè)，所以有必要對(duì)其統(tǒng)計(jì)量做一個(gè)修正. 在本文中，我們對(duì)其提到的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行了改進(jìn)，使改進(jìn)后的統(tǒng)計(jì)量的勢(shì)得到了提高.

1 模型和假設(shè)

假定觀察值序列為Y1,Y2,…,Yn，考慮如下模型：

其中：μ,σ1＞0 和σ2＞0 都是未知的有限常數(shù)；k0是未知的變點(diǎn)；Xk是一個(gè)MA（∞）過程如下：

考慮如下假設(shè)檢驗(yàn)問題：

這里的σ ＞0 為一未知的有限常數(shù). 進(jìn)一步對(duì)模型做出如下假設(shè)：

2 主要結(jié)論

現(xiàn)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量Mn如下所示

定理1 若原假設(shè)H0及假設(shè)①～③成立，當(dāng)n →∞時(shí)，有

并且

證明 為了不失一般性，我們假設(shè)σ1=σ2=σ=1，令

其中：ν=EX12，由Philips等［16］一文中的定理3.8和定理3.4可知，

這里：→a.s.代表以概率1收斂（也稱幾乎處處收斂）. 又有

類似地，可以得到

由上述公式（9）～（11）可以得到，對(duì)于所有的0 ＜δ ＜1/2，都有

由連續(xù)映射定理就可以得到，當(dāng)n →∞時(shí)，

定理1得證.

證明 令τ0為所觀測(cè)時(shí)間序列的真實(shí)變點(diǎn)，由Philips等［16］一文中的定理3.1，我們可以得到

所以當(dāng)n →∞時(shí)，

那么

所以當(dāng)n →∞時(shí)，

那么

定理2得證.

接下來，在備擇假設(shè)下，給出變點(diǎn)位置的估計(jì)：

定理3 若備擇假設(shè)H1及假設(shè)①～③成立，當(dāng)n →∞時(shí)，有這里：代表依概率收斂.

這里將（12）式等價(jià)的表示成：存在C ＞0，N 使得當(dāng)n ＞N 時(shí)，下列不等式成立，

當(dāng)n 充分大時(shí)，

所以

綜上可得，對(duì)于任意的0 ＜λ ＜1，我們?nèi)∫粋€(gè)較大的C 和N，當(dāng)n ＞N 時(shí)，（13）式成立. 定理3得證.

3 模擬和實(shí)例應(yīng)用

3.1 模擬

在這一節(jié)中，通過蒙特卡羅模擬對(duì)本文的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，在本文中設(shè)置δ=0.2，樣本量分別為200，300，500，試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)為2000次. 模型如下所示：

該檢驗(yàn)的結(jié)果在表1中給出，括號(hào)內(nèi)的值為進(jìn)行對(duì)比的Zhao等［15］一文的模擬結(jié)果. 由表1可以看出，隨著樣本量的增加，經(jīng)驗(yàn)水平的扭曲程度逐漸減小，勢(shì)逐漸增大. 勢(shì)在τ0取0.5的時(shí)候達(dá)到最大，在τ0取0.75的時(shí)候相應(yīng)最小. 而Zhao等［15］在備擇假設(shè)為方差由小變大的情形下，當(dāng)τ0=0.75 時(shí)，勢(shì)的取值極小，該方法根本無法檢測(cè)是否存在變點(diǎn).

表1 Mn 的經(jīng)驗(yàn)水平和勢(shì)Tab.1 Empirical level and potential of Mn

為了得到變點(diǎn)τ?的準(zhǔn)確估計(jì)，我們基于模型（14）式在備擇假設(shè)下對(duì)變點(diǎn)τ?的均值和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行了估計(jì)，試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)設(shè)置為2000，其結(jié)果由表2所示.

表2 變點(diǎn)τ 的估計(jì)結(jié)果Tab.2 Estimated results of change point τ

由表2可知，變點(diǎn)的估計(jì)值τ?的所有均值在任何情況下都小于真實(shí)的變點(diǎn)τ?0，此外還可以知道變點(diǎn)的估計(jì)值τ?的標(biāo)準(zhǔn)差都較小，這也說明了估計(jì)的準(zhǔn)確性.

3.2 實(shí)例應(yīng)用

圖1 太陽黑子數(shù)年平均數(shù)據(jù)Fig.1 Annual average data of sunspots

圖2 函數(shù)和的圖像Fig.2 Graphs of functions and

4 結(jié)論

本文用比率檢驗(yàn)來檢測(cè)線性過程中的方差變點(diǎn)問題，對(duì)Zhao 等［15］文章中存在的勢(shì)過低問題進(jìn)行了修正，提出了一種新的統(tǒng)計(jì)量，提高了檢驗(yàn)的勢(shì)，并得到了其在原假設(shè)下漸近分布及備擇假設(shè)下的漸近性質(zhì).本文還提出一種新的變點(diǎn)估計(jì)方法，建立了該變點(diǎn)估計(jì)方法的收斂性和收斂速度. 模擬結(jié)果表明了該統(tǒng)計(jì)量在樣本量大小適中時(shí)具有比原統(tǒng)計(jì)量具有更好的經(jīng)驗(yàn)水平和更高的勢(shì)，本文中提到的估計(jì)方法也具有一致性. 實(shí)例分析也驗(yàn)證了這一結(jié)論.