邵夫馳，行鴻彥

(1.南京信息工程大學氣象災害預防預警與評估協(xié)同創(chuàng)新中心，江蘇 南京 210044;2.南京信息工程大學江蘇省氣象探測與信息處理重點實驗室，江蘇 南京 210044)

0 引言

海雜波是海洋表面對雷達信號的后向反射回波，受到海上復雜海情的影響，對待檢測海面上小目標有著巨大的阻礙。20世紀80年代，分形理論的提出給海雜波背景下的目標檢測創(chuàng)造了契機[1]，分形是事物局部和整體有相似性的體系，現(xiàn)在利用分形理論研究海雜波依舊是雷達信號處理領域的熱點。

對海雜波進行統(tǒng)計建模[2]往往建立在海平面平穩(wěn)的條件下，但是海雜波具有強烈的非平穩(wěn)性，海雜波復雜的物理特性無法靠單一的統(tǒng)計特性進行表示，當海情變換且信雜比較低時，基于統(tǒng)計模型的檢測效果基本失效。1990年，Haykin等[3]證實海雜波并非屬于隨機過程而是混沌系統(tǒng)。隨后相關研究者[4-5]在此基礎上提出了混沌相空間重構法、支持向量機(SVM)、徑向基函數(shù)(RBF)等與神經網絡相結合的方法來檢測小目標，但是訓練時間長，結果泛化性差，不能滿足實際需求。Lo等[6]提出單尺度分形維數(shù)分析海雜波，利用存在目標區(qū)域的海雜波分形維數(shù)與周邊無目標區(qū)域的海雜波分形維數(shù)的差異進行目標檢測。文獻[7]提出了在時域中基于單尺度分形特性，利用Hurst指數(shù)的分形差量進行小目標檢測，較好在時域上實現(xiàn)對目標的檢測。文獻[8—11]提出了在FRFT域上采用變階數(shù)的多重分形去勢波動分析方法檢測湮沒在復雜海情中的小目標。分數(shù)階Fourier變換(FRFT)[12-13]是經典Fourier變換(FT)的廣義推廣，能夠對運動的目標進行能量聚集，提高信號的SCR，海雜波信號屬于SCR較低的信號，為將FRFT應用于海雜波數(shù)據的處理提供了依據。針對海雜波背景下復雜海情對小目標檢測的影響，上述方法未考慮海雜波信雜比低的特性，本文提出了基于FRFT的多重分形海面小目標檢測方法。

1 基本理論

1.1 分數(shù)布朗運動建模

假設某一隨機連續(xù)信號是自相似信號，自相似信號的定義式為：

(1)

1968年，Mandebrot等[14]從布朗運動中推廣得到分數(shù)布朗運動，定義式為：

(2)

(3)

式(3)中，H為Hurst指數(shù)，表征數(shù)據間的相似性關系，自相似分數(shù)維數(shù)D與H存在線性關系：

H=2-D

(4)

由(4)式可知，Hurst指數(shù)與分數(shù)維D成反比，H和D選用一個表征分形特性即可。

分數(shù)布朗運動本身不是平穩(wěn)過程，具有自相似性，但是它的增量是滿足高斯分布的平穩(wěn)隨機過程，其分布滿足N(0,δ2)，其中δ是非零值。所以有：

BH(t+1)-BH(t)～N(0,δ2)

(5)

Var(BH(t+τ)-BH(t))=δ2τ2H

(6)

式中，τ為時間延遲，Var為方差函數(shù),分數(shù)布朗運動選用H作為表征數(shù)據分形特性的參數(shù)。文獻[15]采用分數(shù)布朗運動對海雜波進行建模，與Hurst指數(shù)相結合，實現(xiàn)了在同一種海情下小目標的檢測,證明利用分數(shù)布朗運動對海雜波進行建模的可行性。

1.2 海雜波FRFT的分形理論

1.2.1自相似過程FRFT的自相似特性分析

分數(shù)階Fourier變換(FRFT)由傳統(tǒng)Fourier變換的廣義推廣[16]得到，時域函數(shù)x(t)的p階FRFT是一個線性積分運算，定義式：

(7)

式(7)中，Kp(t,u)是FRFT中的核函數(shù)。

(8)

(9)

(10)

對式(10)進行取模得：

(11)

由式(11)可知，在同一變換階數(shù)下，BH(t)的FRFT譜的幅度值不是尺度不變的，而是隨著尺度參數(shù)κ改變，變換階數(shù)pβ也隨著改變。因此，當尺度發(fā)生改變的時候，變換階數(shù)也需要隨著改變，才能起到放大分形差異的效果。尺度參數(shù)和變換階數(shù)同時改變，給數(shù)據的處理帶了較大的不確定性，描述FRFT譜的分形特性采用單一分形參數(shù)可能會帶來誤差，使多重分形分析成為可能。

1.2.2計算多重分形參數(shù)

2002年，Kantelhardt等[17]提出了多重分形去勢波動法(MF-DFA)，可以消去局部趨勢對時間序列的影響，是當前研究非平穩(wěn)有限長時間序列的主要方法，能夠研究序列在不同標度下的分形特性。采用MF-DFA對Hurst指數(shù)進行估計。MF-DFA計算分形參數(shù)，主要分為如下5步：

1) 對時間序列是否滿足隨機游走序列特性進行判斷，如果時間序列滿足，則跳過本步驟；不滿足，則構造去均值求和序列：

(12)

3) 對子序列按式(13)、式(14)求均方差，即為子序列的局部震蕩，yi,fit(n)為子序列最小二乘擬合多項式。當時間序列長度較長時，則只要計算式(13)：

(13)

(14)

4) 計算q階波動函數(shù)

(15)

Fq(m)是關于分形階數(shù)q和子序列長度m的函數(shù)，q為非零實數(shù)；

5) 根據關系式Fq(m)～mH(q)，利用最小二乘法，對關系式的雙對數(shù)曲線進行線性擬合，斜率即為分形參數(shù)，所以可以通過改變分形階數(shù)q，得到不同尺度下的分形參數(shù)H(q):

(16)

如果H(q)與q不相關，則表示Fq(m)與q也不相關，代表時間序列的局部結構滿足一致性，時間序列具有單分形特性；如果H(q)與q有關，代表時間序列的局部結構不滿足一致性，是非均勻的、不一致的，時間序列具有多重分形特性。當q=2時，H(q)是Hurst指數(shù)。

2 基于海雜波FRFT的多重分形特性小目標檢測

本文選用麥克馬斯特大學IPIX雷達的實測海雜波數(shù)據，實測數(shù)據包含392組數(shù)據，每組數(shù)據長度為131 072，每組數(shù)據代表某種海情下雷達工作在某一個極化方式下的某個距離門的數(shù)據，一共有2個極化方式，14種海情和14個距離門，并且標明了純海雜波和主、次目標所在的距離門。IPIX雷達發(fā)射頻率為9.39 GHz，脈沖重復頻率為1 kHz。海面上需要檢測的小目標，是一個直徑為1 m的塑料小球，外圍包裹著金屬網。

2.1 海雜波數(shù)據的FRFT譜

圖1是HH極化和VV極化#17海情下，第九距離門海雜波時間序列在各階變換階數(shù)的FRFT幅度譜圖。如圖所示，不同的變換階數(shù),幅值起伏較大，只根據幅值無法判斷純海雜波和小目標，原因是小目標和海情自身均有加速度和速度，F(xiàn)RFT難以針對性的對小目標信號進行補償。

圖1 不同極化的FRFT幅度譜Fig.1 FRFT Amplitude spectrum with different polarization

文獻[8]中假設FRFT域的海雜波增量是遍歷的，實驗結果增量分布大致符合高斯分布，將增量分成幾個相互不重疊的子集，發(fā)現(xiàn)方差幾乎不隨時間改變，與FBM模型的性質相同，可以用FBM對海雜波FRFT域進行建模。

2.2 選取最佳FRFT階數(shù)的理論

分形維數(shù)是表征物體不規(guī)則性和復雜性的參數(shù)，本文所用數(shù)據觀測的小目標為人造包裹金屬網的塑料小球，表面光滑，海面則比較“粗糙”。假設在觀測時長T內，雷達回波的模型[18]表示為：

x(t)=s(t)+w(t)=Aejπ(2f0t+μ0t2)+w(t)

(17)

(18)

(19)

由式(19)可知，當|Sa(α)|求最大值時，即最佳旋轉角度與目標速度狀態(tài)相匹配，得：

(20)

此時回波能量最佳聚集，為一沖擊函數(shù)，目標回波與純海雜波的分形特征差異最大。

3 基于FRFT域的多重分形特性小目標檢測驗證

MF-DFA對海雜波FRFT域的不同海情與不同極化的數(shù)據進行處理，基于海雜波自身的多重分形特征進行分析。圖2是#17海情在雷達系統(tǒng)HH極化下第一距離門實測數(shù)據的最佳變化階數(shù)的FRFT值的多尺度Fm(q)-m的雙對數(shù)圖。圖中的純虛經的尺度為正值，帶星虛線的尺度為負值，圖中曲線自上而下對應的尺度q=30,25，…,1,-1,-5,…，-30。

圖2 FRFT值的Fm(q)-m的雙對數(shù)圖 Fig.2 The double logarithmic diagram of Fm(q)-m of FRFT value

觀察圖2，在高尺度下，曲線都表現(xiàn)出一定的聚集性，說明在高尺度下波動曲線相似。HH極化，區(qū)間4～15表現(xiàn)出一定的線性關系；VV極化，區(qū)間4～12表現(xiàn)出線性關系，可認為是多重分形區(qū)間。

由圖3可知在高尺度情況下時間序列同樣表現(xiàn)出一定的聚集特性，HH極化，區(qū)間4～14表現(xiàn)出一定的線性關系；VV極化，區(qū)間5～12表現(xiàn)出較好的線性關系，最佳變換階數(shù)的FRFT域與時間域相比，線性區(qū)間得到了拓展，HH極化線性區(qū)間提高了10%，VV極化線性區(qū)間提高了14.29%，為檢測小目標的準確性提供了幫助。

圖3 時間序列的Fm(q)-m的雙對數(shù)圖Fig.3 The double logarithmic diagram of Fm(q)-m of time series

選取不同極化、不同海情的實測數(shù)據，對不同情況下海雜波多重分形參數(shù)H(q)進行分析。如圖4在HH極化和VV極化下分別選擇了#31和#311海情的最佳階數(shù)的FRFT域數(shù)據，純海雜波選擇它們共同的第二距離門數(shù)據，小目標信號選擇各自海情主目標所在的距離門單元。如圖4所知，不同極化和不同海清的海雜波數(shù)據均滿足多重分形特性，在高尺度時有著穩(wěn)定的多重分形參數(shù)?？刹捎酶叱叨榷嘀胤中螀?shù)H(q)的差值，對小目標進行判定。在負高尺度HH極化的多重分形參數(shù)H(q)的差值略高于VV極化，在正高尺度HH極化的多重分形參數(shù)H(q)的差值略低于VV極化。

圖4 高尺度多重分形參數(shù)H(q)的變換情況Fig.4 Transform of high scale multi-fractal parameter H(q)

同時分析同種海情下不同距離門的最佳階數(shù)FRFT域的多重分形參數(shù)，選用HH極化和VV極化的#17海情，如圖5，發(fā)現(xiàn)在負高尺度時，不同距離門的純海雜波多重分形參數(shù)在HH極化時比較集中，在正高尺度時，不同距離門的純海雜波多重分形參數(shù)在VV極化時比較集中，說明同一種海情下，純海雜波的高尺度多重分形特性基本一致。

圖5 高尺度多重分形參數(shù)H(q)的變換情況Fig.5 Transform of high scale multi-fractal Pparameter H(q)

由圖4和圖5得到，可利用有目標的高尺度分形參數(shù)H(q)與無目標的高尺度分形參數(shù)檢測小目標。在雷達工作在HH極化時，選擇負高尺度對小目標進行檢測；在雷達工作在VV極化時，可選擇正高尺度對小目標進行檢測。

圖6所示為各距離門在高尺度下分形參數(shù)H(q)的值。當距離門有小目標存在，會發(fā)生跳變，實現(xiàn)了同種海情下對小目標檢測的需求。但是不同的海情下，很難統(tǒng)一一個門限值，難以準確的分辨有無小目標，可對各個海情高尺度分形參數(shù)分別進行歸一化，結果如圖7所示。

圖6 高尺度各距離門H(q)值Fig.6 H(q) Values of high-scale distance gates

圖7 高尺度各距離門歸一化后H(q)值Fig.7 Normalized H(q) values of high-scale distance gates

如圖7所示，在主目標檢測時，在HH極化，可設置歸一化后的門限值為0.65，當達到0.65，判定為有目標，正確檢測率為84.69%，主目標檢測正確率為92.86%，#30海情主目標未檢測到，其他13種海情均能檢測出主目標；在VV極化，可設置歸一化后的門限值為0.9，當達到0.9，判定為有目標，正確檢測率為85.20%，主目標檢測正確率為78.57%。實驗發(fā)現(xiàn)，HH極化的檢測效果高于VV極化，同時發(fā)現(xiàn)次要目標所在距離門與主目標距離門相聚越遠，信雜比越小，檢測到目標的難度越大。本方法易于實現(xiàn)，計算量小，能夠快速檢測目標信號。

4 結論

本文提出了基于FRFT的高階多重分形海面小目標參數(shù)檢測方法。該方法選用分數(shù)布朗運動(FBM)建模，將海雜波數(shù)據代入FRFT變換，發(fā)現(xiàn)不再具有嚴格的自相識性，除了FRFT變換階數(shù)，還與尺度系數(shù)有關，再利用多重分形去勢波動法確定多重分形參數(shù)H(q),研究海雜波實測數(shù)據在不同組合下的多重分形參數(shù)。海雜波序列在FRFT域相比時域，延拓了多重分形區(qū)間，HH極化提高了10%，VV極化提高了14.29%。雷達系統(tǒng)工作在HH極化下，負高尺度檢測效果優(yōu)于正高尺度；雷達系統(tǒng)工作在VV極化下，負高尺度檢測效果略差于正高尺度。并且同一海情下，不同距離門純海雜波的多重分形特性基本一致。對高尺度分形參數(shù)進行歸一化，設置門限值，HH極化設立門限值為0.65,VV極化設立的門限值為0.9，檢測正確率為84.69%和85.20%，主目標檢測正確率為92.86%和78.57%。檢測實驗為海雜波在FRFT域上檢測小目標提供了依據，比傳統(tǒng)時域分形檢測方法和單一分形參數(shù)檢測方法具有更好的檢測效果。