朱帥 劉海濤

摘要 作為一種智能材料，非均勻壓電材料廣泛應(yīng)用于航空航天、軍事等領(lǐng)域，由于其脆性，材料中的微裂紋對結(jié)構(gòu)壽命影響較大?；诜蔷鶆驂弘姴牧系谋緲?gòu)關(guān)系，幾何關(guān)系和邊界條件，利用分層法的原理進(jìn)行材料的梯度劃分，分析了力電耦合效應(yīng)下非均勻壓電材料中的斷裂問題。建立含裂紋非均勻壓電板的有限元模型，討論了力電耦合效應(yīng)下不同梯度參數(shù)、不同裂紋形狀、不同裂紋尺寸以及不同梯度函數(shù)對裂紋周圍應(yīng)力和電位移分布的變化規(guī)律。首次提出幾何過程函數(shù)來進(jìn)行非均勻材料屬性的調(diào)控，實現(xiàn)材料參數(shù)的隨機(jī)遞增/隨機(jī)遞減。數(shù)值結(jié)果給出了在力電耦合效應(yīng)下，裂紋周圍應(yīng)力和電位移的分布規(guī)律;梯度參數(shù)的增大使裂紋周圍應(yīng)力和電位移增大;裂紋幾何尺寸變小，裂紋周圍應(yīng)力增大而電位移減小且橢圓形裂紋周圍應(yīng)力要大于圓形裂紋。因此，在非均勻材料結(jié)構(gòu)設(shè)計中，梯度參數(shù)應(yīng)在可使用范圍內(nèi)選取較小值;選擇不同梯度函數(shù)的對裂紋周圍的應(yīng)力和電位移有一定影響，這對于非均勻壓電材料結(jié)構(gòu)設(shè)計及實際應(yīng)用起到借鑒作用。

關(guān) 鍵 詞 非均勻壓電材料;分層法;梯度函數(shù);力電耦合效應(yīng);斷裂力學(xué)

中圖分類號 TB34 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼 A

0 引言

目前，壓電材料是智能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中研究最多的傳感驅(qū)動材料[1]，具有廣泛的應(yīng)用前景。壓電材料受到機(jī)械應(yīng)力會產(chǎn)生電場，而通過外加電場可以使壓電結(jié)構(gòu)產(chǎn)生應(yīng)力，因而具有良好的力電耦合特性，被應(yīng)用于航天航空、軍工、人工智能等領(lǐng)域。非均勻材料是一種通過連續(xù)改變其組成物質(zhì)比例，使其界面成分和組織實現(xiàn)連續(xù)過渡變化的梯度材料，通過梯度函數(shù)的調(diào)控，使材料的力學(xué)特性沿著一個方向呈連續(xù)變化，如彈性模量都是以函數(shù)的形式實現(xiàn)梯度的過渡。由于壓電材料在制造和使用過程中會發(fā)生疲勞斷裂或者產(chǎn)生微孔洞，使材料發(fā)生破壞，進(jìn)而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效。當(dāng)非均勻材料與壓電材料的結(jié)合時，可以使壓電材料的內(nèi)部應(yīng)力大為緩和，整體改善材料結(jié)構(gòu)，不易發(fā)生破壞，大大提高材料的可靠性和使用壽命。因此，研究非均勻壓電材料板的斷裂問題對于提升相關(guān)結(jié)構(gòu)器件的性能具有重要意義。

對于非均勻壓電材料的研究，只有特定的情況下可以給出解析解，當(dāng)邊界條件變化以后，求解就變得相當(dāng)困難。當(dāng)前大部分工作基于簡單的邊界條件，給出了非均勻壓電梁板結(jié)構(gòu)的基本解。Nguyen等[2]利用間斷伽遼金法計算高階連續(xù)體，降低了對位移連續(xù)性的要求。Elouafi等[3]基于Mori-Tanaka等效方法和Eshelby張量給出了非均質(zhì)壓電材料等效參數(shù)的解析解。崔世堂等[4]利用TTO模型確定了材料的力學(xué)參數(shù)，研究了功能梯度梁的矩形截面在純彎曲荷載下的應(yīng)力分布和彈塑性邊界演化規(guī)律。韓旭等[5]利用Fourier變換研究了層合壓電材料力電耦合在外載下的瞬態(tài)響應(yīng)。Nourmohammadi等[6]對非均勻壓電材料的多場耦合問題進(jìn)行了研究。張豐等[7]以菱壓電作動器為隔振器件，在力電耦合場下，研究了隔振系統(tǒng)的誤差、遲滯等多種工況下的數(shù)值仿真分析結(jié)果。Selimb等[8]利用高階剪切變形理論對功能梯度壓電板的振動問題進(jìn)行了分析。張瑩等[9]利用England-Spencer理論獲得了圓板和圓環(huán)在周邊力下的三維彈性力學(xué)解。Komijani等[10]分析了多物理場下非均勻壓電材料執(zhí)行器非線性響應(yīng)問題。孟廣偉等[11]利用光滑有限元理論分析了含孔功能梯度壓電材料的力電耦合行為。Almajid等[12]利用層合板理論，研究了功能梯度壓電板的離面位移和應(yīng)力場。由于壓電材料是各向異性材料，材料參數(shù)較多，同時材料是非均勻性及多場耦合的情況大大增加了求解的困難。

本文基于分層法的思想，利用分層近似處理的方法[13-14]將非均勻壓電板分為若干層，每層的材料參數(shù)按照所取的指數(shù)函數(shù)進(jìn)行設(shè)置，在界面處連續(xù)變化，防止出現(xiàn)過大的跳躍，相鄰的材料屬性有較好的連續(xù)性，從而提高其計算精度和效率。通過有限元方法建立了含裂紋的非均勻壓電板模型，在力電耦合效應(yīng)下，給出了不同的梯度參數(shù)、裂紋幾何尺寸、裂紋形狀和梯度函數(shù)對裂紋周圍最大主應(yīng)力，應(yīng)力[σyy]和電位移分布的影響規(guī)律。本文結(jié)果可以為工程中復(fù)雜物理場下非均勻壓電材料結(jié)構(gòu)的設(shè)計起到借鑒作用。

1 基本原理方程

非均勻壓電材料場方程[11]是

2 模型建立及分析

本數(shù)值模型是以含裂紋的非均勻壓電材料板作為研究對象，壓電材料的屬性[15]如表1所示。簡化的力學(xué)模型如圖1，含圓形裂紋的正方形板，邊長a=80 mm，圓形裂紋直徑r=0.5 mm，設(shè)置壓電材料的極化方向為y軸正方向，材料的梯度變化方向為x軸正方向，板的左右兩端AB與CD自由，板上下兩端同時施加力電耦合場。施加均布應(yīng)力10 MPa，上端電勢為0，下端電勢為1 MV，材料參數(shù)梯度函數(shù)[K=K0eβx]，其中，[K0]代表PZT-5H材料屬性[15]。這里取梯度參數(shù)[β=0.01]。

如圖2建立有限元模型，根據(jù)分層法的基本原理將模型劃分為若干層，板的層數(shù)劃分采用非均勻劃分，這樣可以更有效的分析裂紋附近場的變化。通過在圓形裂紋處的細(xì)密分層，在較遠(yuǎn)處則分層距離擴(kuò)大，對結(jié)果影響不大。在滿足一定精度情況下，將非均質(zhì)板劃分為14層。每一層的材料屬性可以通過材料梯度方程計算可得，通過有限元軟件將板的材料參數(shù)賦予給每一層。板的有限元網(wǎng)格單元類型采用8節(jié)點CPE8RE壓電單元，保證研究結(jié)果的準(zhǔn)確性。

在力電耦合效應(yīng)下有限元結(jié)果如圖3a）所示，可以看到裂紋周圍產(chǎn)生了明顯的應(yīng)力集中，裂紋邊上的最大主應(yīng)力值從25.85 MPa逐漸減小至2.24 MPa，但左右并不對稱。最大主應(yīng)力最大的位置不是出現(xiàn)在裂紋尖端，這是由于材料梯度的變化，導(dǎo)致板左邊的彈性模量小于右邊的彈性模量，彈性模量是逐漸過渡增大，材料變得更加具有梯度性，從而避免了裂紋尖端的應(yīng)力集中，使得應(yīng)力分布較為均勻，限制了裂尖擴(kuò)展的趨勢，達(dá)到保護(hù)板不被破壞的目的。從圖3b）中可看出，應(yīng)力[σyy]集中在裂紋尖端，使得裂尖應(yīng)力最大，而附近逐漸減小，這與單向拉伸裂紋應(yīng)力情況相符合。圖3c）是電位移云圖，可以看出非均勻壓電板的電位移最大值集中在裂紋的尖端，在裂紋尖端周圍逐漸變小，這與文獻(xiàn)[14]結(jié)論相吻合。

3 算例結(jié)果分析

3.1 力電耦合效應(yīng)下，梯度參數(shù)對圓形裂紋應(yīng)力和電位移的影響

當(dāng)非均勻壓電板在力電耦合效應(yīng)下，得到在不同梯度參數(shù)[β=0.01，0.02，0.03，0.04，0.05]下的裂紋周圍的應(yīng)力和電位移的分布規(guī)律，如圖4a）和圖4b）所示。當(dāng)隨著梯度參數(shù)的變大，材料的非均勻性增強(qiáng)，非均勻壓電板左右兩端的屬性差異變大，板變得均勻性較差，裂紋更容易發(fā)生應(yīng)力集中，導(dǎo)致最大主應(yīng)力和應(yīng)力[σyy]發(fā)生較大的增加。由圖4c）可得，隨著梯度參數(shù)[β]的變大，裂紋尖端的電位移[Dy]變大。

3.2 當(dāng)[β=0.05]時，不同半徑對圓形裂紋應(yīng)力和電位移的影響

由3.1節(jié)可知，當(dāng)功能梯度參數(shù)較大時，圓形裂紋周圍的應(yīng)力集中現(xiàn)象較為明顯，為了容易得到裂紋半徑變化和裂紋周圍的應(yīng)力和電位移的關(guān)系，所以取功能梯度參數(shù)[β=0.05] 。令圓形裂紋半徑r=0.2 mm，0.5 mm，0.8 mm。設(shè)置板的大小不變時，改變圓形裂紋的半徑，可以看到圓孔附近發(fā)生了明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象，如圖5a）至圖5c）所示。當(dāng)裂紋較小的時候，在力、電場、力電耦合效應(yīng)下，非均勻材料應(yīng)力集中在小的缺陷集中區(qū)域更加容易產(chǎn)生，且孔徑越小應(yīng)力集中越明顯，應(yīng)力突然變大的趨勢變快，從而增大了裂紋周圍最大主應(yīng)力與應(yīng)力[σyy]。當(dāng)裂紋的半徑變大后，應(yīng)力集中相比較變小。而電位移[Dy]在力、電、力電耦合效應(yīng)下都是隨著半徑的變大而變大。

3.3 當(dāng)[β=0.01]時，橢圓形裂紋與圓形裂紋應(yīng)力與電位移的比較

令梯度參數(shù)[β=0.01]，且橢圓形裂紋的長軸a = r = 0.5 mm，短軸b = 0.2 mm。在力、電場、力電耦合效應(yīng)一定的情況下，取相同的梯度參數(shù)，非均勻壓電材料在裂紋周圍材料屬性一致，發(fā)現(xiàn)橢圓形裂紋的應(yīng)力和電位移要大于圓形裂紋的應(yīng)力和電位移，應(yīng)力集中和電位移集中現(xiàn)象更加明顯，這是因為橢圓形裂紋與圓形裂紋相比，裂紋的形狀更加尖銳凸出，裂紋端部承受更大的荷載，導(dǎo)致更容易產(chǎn)生明顯的應(yīng)力集中和更大的電位移，材料更容易發(fā)生破壞。

3.4 當(dāng)[β=0.01]時，不同梯度函數(shù)下圓形裂紋比較分析

通過可靠性問題中幾何過程的概念，本文首次提出利用幾何過程中的隨機(jī)變量序列的分布函數(shù)，來實現(xiàn)功能梯度材料的隨機(jī)遞增/隨機(jī)遞減的過程，這要比以往經(jīng)典的梯度函數(shù)更加具有隨機(jī)性?？梢酝ㄟ^調(diào)控“幾何過程函數(shù)”中多個參數(shù)，實現(xiàn)多種變化類型，更大程度上調(diào)控非均質(zhì)材料的屬性。

當(dāng)選取不同的梯度函數(shù)，非均質(zhì)壓電材料的材料參數(shù)發(fā)生變化。這里選取第2節(jié)中自然指數(shù)[K=K0eβx]（[β=0.01]）時，以非均質(zhì)壓電板左右兩端的材料屬性為標(biāo)準(zhǔn)。也就是，保持板左右特性不變，改變材料梯度的過渡形式。分別取線性函數(shù)、冪函數(shù)、正弦函數(shù)、幾何過程函數(shù)。最終通過計算得到各個函數(shù)中的參數(shù)值，從而得到不同類型梯度函數(shù)板在力電耦合效應(yīng)下如圖7所示，裂紋的周圍的最大主應(yīng)力，[σyy]應(yīng)力和電位移[Dy]的分布規(guī)律。

經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，對于選定的5種不同梯度分布函數(shù)，隨著裂紋環(huán)向角度的變化，可以看到，裂紋周圍的應(yīng)力和電位移在不同梯度函數(shù)下分布規(guī)律是一樣的。同時可以得到在自然指數(shù)函數(shù)情況下，裂紋周圍的最大主應(yīng)力，[σyy]應(yīng)力和電位移的值最小，而在其他4種函數(shù)下，數(shù)值有所差別，正弦函數(shù)>線性函數(shù)>冪函數(shù)>幾何過程函數(shù)，數(shù)值分布規(guī)律基本一致。這在一定程度上表明了不同的梯度函數(shù)作為梯度材料調(diào)控的標(biāo)準(zhǔn)，對于功能梯度材料的制造具有重要的意義，可以進(jìn)一步探究。

4 結(jié)論

本文在力電耦合效應(yīng)下對非均勻壓電材料的斷裂問題進(jìn)行了分析。基于非均勻壓電材料的本構(gòu)關(guān)系、幾何關(guān)系及邊界條件，利用分層法的理論建立了含不同裂紋類型的非均勻壓電材料有限元模型。

1）詳細(xì)討論了非均勻壓電板在力電耦合效應(yīng)下，梯度參數(shù)的增大，材料均勻性變差，從而使裂紋周圍的最大主應(yīng)力，應(yīng)力[σyy]及電位移[Dy]增大，非均勻壓電板更加容易發(fā)生斷裂破壞。

2）分別在機(jī)械力、電場、力電耦合場作用下，研究了裂紋尺寸和裂紋形狀變化對裂紋周圍最大主應(yīng)力，應(yīng)力[σyy]及電位移[Dy]的影響規(guī)律，同時發(fā)現(xiàn)力電耦合效應(yīng)要大于單一機(jī)械力或者電場的作用。

3）探究了不同梯度函數(shù)對裂紋周圍應(yīng)力和電位移的影響，首次提出幾何過程函數(shù)的概念來調(diào)控非均勻壓電材料的梯度變化過程。通過研究力電耦合效應(yīng)下非均質(zhì)壓電材料中裂紋周圍的應(yīng)力和電位移的分布規(guī)律，可為非均質(zhì)壓電材料的制造使用、結(jié)構(gòu)設(shè)計及其復(fù)雜工況下服役起到借鑒作用。

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