蔡于兵

[摘 ?要] 在許多平面解析幾何的考題中，阿氏隱圓經(jīng)常被“植于”題中，且不易被學(xué)生發(fā)現(xiàn).文章對一道以阿氏隱圓為背景的線段最小值問題進(jìn)行探究.

[關(guān)鍵詞] 圓;線段;最小值

認(rèn)識阿氏隱圓

在平面上給定相異兩點(diǎn)A，B，設(shè)P點(diǎn)在同一平面上，且滿足 =λ，當(dāng)λ>0且λ≠1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓，這個(gè)圓我們稱作阿波羅尼斯（Apollonius）圓，簡稱阿氏圓. 這個(gè)結(jié)論稱作阿波羅尼斯軌跡定理.

此定理就是講，如果平面上的動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值，且定值不為1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是阿氏圓，由于此圓隱藏于題設(shè)條件中，故一般稱為阿氏隱圓，且通過具體的坐標(biāo)代入運(yùn)算后，我們會發(fā)現(xiàn)此圓的圓心與兩個(gè)定點(diǎn)在同一直線上.

考題再現(xiàn)

題目：在平面四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=2，AD=1，若 · + · = ?· ，則CB+ CD的最小值為___.

題意分析：對于本題，我們首先要根據(jù)題意作出相應(yīng)的簡圖，不難發(fā)現(xiàn)，題中B，A，D三點(diǎn)的位置是相對固定的，變化的是點(diǎn)C，那么點(diǎn)C位置該如何確定呢？只有一條路可走，即通過對題設(shè)中所給的向量等式進(jìn)行處理，解出點(diǎn)C的軌跡，而對于本題中向量等式的處理，無非兩種途徑：一是進(jìn)行向量的轉(zhuǎn)化;二是建坐標(biāo)系，進(jìn)行相關(guān)坐標(biāo)運(yùn)算.

有了點(diǎn)C的軌跡之后，再考慮CB+ CD的最小值問題.

解題思路1：（向量轉(zhuǎn)化法）作出大致圖形，如圖1所示，注意到向量等式 · + · = ?· 的左邊可以簡化處理，即 · + · = ·（ - ）= · = 2，

對于等式右邊，可以取AB的中點(diǎn)K，如圖2所示，有 ?· = （ + ）·（ + ）= （ - ）·（ + ）= （ 2- 2），于是 2= （ 2- 2），即4= （ 2-1），得到 =2，所以點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)K為圓心，2為半徑的圓，如圖3所示.

圖3

對于問題待求“CB+ CD”的值，如何將CB，CD這兩項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)換成相等呢？此處就可以根據(jù)阿氏圓的定義，構(gòu)造出滿足阿氏圓的兩個(gè)定點(diǎn)，由于兩定點(diǎn)與圓心在同一直線上，這里我們就可以在射線AB上取點(diǎn)E，如圖4所示，若能使得 =2，那么CB= CE，如此一來，CB+ CD= CE+ CD= （CE+CD），只需求出CE+CD的最小值即可.

那么點(diǎn)E的具體位置怎么確定呢？在△CKB與△EKC中，已經(jīng)有 =2，∠CKB=∠EKC，若再滿足 =2，那么△CKB∽△EKC，則有 =2. 這樣，我們就可以確定點(diǎn)E的具體位置了，即在射線AB上取點(diǎn)E，使得EK=2CK=4，此時(shí)AE=5，CB= CE，則CB+ CD= CE+ CD= （CE+CD）≥ DE= .

解題思路2：（坐標(biāo)運(yùn)算法）建立如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳B=2，AD=1，那么可得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)A（0，0），B（0，2），D（1，0）. 可設(shè)點(diǎn)C（x，y），則由 · + · = ?· 可得，（0，2）·（x，y）+（0，-2）·（x，y-2）= （-x，-y）·（-x，2-y），整理有x2+（y-1）2=4，所以點(diǎn)C的軌跡是以K（0，1）為圓心，2為半徑的圓，如圖6所示.

下面再來處理待求問題“CB+ CD”的值，與思路1一樣，根據(jù)阿氏圓的定義，構(gòu)造出滿足阿氏圓的兩個(gè)定點(diǎn)，將CB，CD這兩項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)換成相等. 由于兩定點(diǎn)與圓心在同一直線上，所以可以在射線AB上取點(diǎn)E（0，e），使得 =2，那么CB= CE，則CB+ CD= CE+ CD= （CE+CD），只需求出CE+CD的最小值即可. 此處可取點(diǎn)C為特殊點(diǎn)來求解，不妨取點(diǎn)C（0，3），那么根據(jù) =2，有 =2，解得e=5，所以E（0，5），如圖7所示，故CB+ CD= （CE+CD）≥ DE= .

點(diǎn)評：在解題思路1中，取出線段AB的中點(diǎn)K來協(xié)助轉(zhuǎn)化已知的向量等式，從而得出點(diǎn)C的軌跡是圓，這是第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn). 第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)則是根據(jù)阿氏圓定義，構(gòu)建符合比值要求的圓外定點(diǎn)E，這其中運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)也是至關(guān)重要的. 在解題思路2中，由于建立了平面直角坐標(biāo)系，所以處理已知向量等式時(shí)能較輕松地得出點(diǎn)C的軌跡是圓，接下來轉(zhuǎn)化點(diǎn)B時(shí)，采用特殊點(diǎn)C（0，3）來求解點(diǎn)E的坐標(biāo)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的一般與特殊的轉(zhuǎn)化思想. 在本題的兩種解題思路中，我們都離不開一條中心主線——阿氏隱圓，利用其將問題中已知的兩個(gè)定點(diǎn)中的一個(gè)定點(diǎn)B轉(zhuǎn)換成另一個(gè)點(diǎn)E，并且恰好保證所求距離之和中的兩項(xiàng)的系數(shù)相等，進(jìn)而再根據(jù)平面上“兩點(diǎn)之間線段最短”這一結(jié)論來求最小值.

考鞏固提高

題目：已知點(diǎn)P是圓O：x2+y2=25上任意一點(diǎn)，平面上有兩個(gè)定點(diǎn)M（10，0），N ，3，則PN+ PM的最小值為____

解題思路1：首先根據(jù)題設(shè)條件作出簡圖，如圖8所示，由于“PN+ PM”中兩項(xiàng)的系數(shù)不相等，故我們可以將圓O：x2+y2=25理解成阿氏圓，根據(jù)阿氏圓的定義，構(gòu)造出滿足阿氏圓的兩個(gè)定點(diǎn)，將PM，PN這兩項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化成相等的系數(shù). 因?yàn)閮啥c(diǎn)與圓心在同一直線上，所以可以在位于圓內(nèi)的x正半軸上取點(diǎn)T（t，0），使得 = ，則PT= PM，且PN+ PM=PN+PT. 此處，不妨取圓O上的特殊點(diǎn)P（5，0）來解出T（t，0），即由 = 可得， = ，解得t= ，則T ，0，如圖9所示，所以PN+ PM=PN+PT≥NT=5，故PN+ PM的最小值為5.

圖9

點(diǎn)評：在本題的解析中，需要將所求問題PN+ PM中兩項(xiàng)的系數(shù)轉(zhuǎn)化為相等，所以將已知圓理解成阿氏圓，去構(gòu)造定點(diǎn)T是解決問題的關(guān)鍵所在，而在求點(diǎn)T的坐標(biāo)時(shí)，將點(diǎn)P特殊化是至關(guān)重要的.

解析思路2：將圓O：x2+y2=25理解成阿氏圓，則可在x軸上取點(diǎn)T（t，0），假設(shè)P（x，y），且使得 =λ，代入坐標(biāo)有 =λ，將此式整理后，可得（λ2-1）x2+（λ2-1）y2+（20-2tλ2）x+λ2t2-100=0. 又因?yàn)閤2+y2=25，所以有

（20-2tλ2）x+λ2（t2+25）-125=0，故20-2tλ2=0，λ2（t2+25）-125=0，解得λ=2，t= ，所以 =2，因此PN+ PM=PN+PT≥NT=5，故PN+ PM的最小值為5.

點(diǎn)評：本解運(yùn)用了待定系數(shù)法求解，從阿氏圓的定義出發(fā)，構(gòu)建出含參數(shù)的圓O的方程，然后再比照已知圓方程，求出參數(shù)，只是解析中有煩瑣的代數(shù)運(yùn)算，稍不注意，就有可能算錯(cuò)，因此計(jì)算時(shí)要慢算、細(xì)算.

在眾多解析幾何問題中，阿氏隱圓算是非常經(jīng)典的問題之一，雖沒有在高中教材中被明確提出，但是有隱藏在高中教材中的習(xí)題里，這里就不再列出來了. 由于阿氏隱圓在解題中有著廣泛的應(yīng)用，故教師在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中，要重視阿氏隱圓的教學(xué)，對有關(guān)阿氏隱圓的問題要及時(shí)幫助學(xué)生進(jìn)行分類匯總，引導(dǎo)學(xué)生體會題中的意境，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和解題能力的提高.