王珍

[摘? ? ? ? ? ?要]? 線性代數(shù)是本科生需要掌握的一門(mén)重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，但其內(nèi)容抽象難懂，很多學(xué)生會(huì)疑惑學(xué)了有什么用。主要介紹了線性代數(shù)在現(xiàn)代信息科技前沿的幾個(gè)方面的應(yīng)用，旨在拓寬學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而可以達(dá)到優(yōu)化課堂教育教學(xué)的效果，進(jìn)一步提高學(xué)生的理性思維能力和科學(xué)素養(yǎng)。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 線性代數(shù);圖像處理;網(wǎng)頁(yè)排序;人臉識(shí)別;保密通信;課堂教學(xué)

[中圖分類(lèi)號(hào)]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2020）22-0172-02

一、引言

我們從幼兒園就開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，經(jīng)過(guò)小學(xué)、初中、高中直至大學(xué)，仍然需要不斷地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，那么很多同學(xué)會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)：數(shù)學(xué)真的這么重要嗎？答案是肯定的。數(shù)學(xué)不僅僅是一些算術(shù)、公式、圖形、定理，它更是一種思維方式，是人類(lèi)認(rèn)識(shí)世界、改造世界的重要工具。如果沒(méi)有數(shù)學(xué)，人們可能還生活在愚昧之中，可見(jiàn)它所發(fā)揮的作用是舉足輕重的。我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，數(shù)學(xué)無(wú)處不在?！倍鴮?duì)大學(xué)生而言，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅可以培養(yǎng)科學(xué)品質(zhì)，同時(shí)也為很多后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程提供數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。其中線性代數(shù)是高校理工類(lèi)以及經(jīng)濟(jì)類(lèi)專(zhuān)業(yè)大一學(xué)生的基礎(chǔ)課程，也是研究生入學(xué)考試中必考的數(shù)學(xué)課程之一，教育部高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)主任徐宗本院士指出：“統(tǒng)計(jì)數(shù)字表面，大學(xué)期間的課程對(duì)學(xué)生影響最大的就是線性代數(shù)，其次是高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）即多元微積分?！笨梢?jiàn)線性代數(shù)的重要地位。

線性代數(shù)課程主要介紹線性空間理論和矩陣?yán)碚摚幚砭€性關(guān)系問(wèn)題，包括行列式、矩陣、向量與向量空間、線性方程組、方陣的特征值與特征向量、二次型等[1]。在自然科學(xué)、工程技術(shù)、信息科技、計(jì)算機(jī)及經(jīng)濟(jì)管理學(xué)等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、空間想象能力、邏輯思維能力、科學(xué)計(jì)算能力以及建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力具有十分重要的意義。但是線性代數(shù)中的概念比較抽象，定理以及推理論證也十分嚴(yán)密，有些學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中感到比較吃力，經(jīng)常出現(xiàn)似懂非懂的問(wèn)題，甚至很多學(xué)生經(jīng)過(guò)一學(xué)期的學(xué)習(xí)，只是背會(huì)公式和定理，學(xué)會(huì)了按照常規(guī)套路去解題，并不知道線性代數(shù)的知識(shí)有何用處、如何運(yùn)用，只是最后完成了考試而已，更談不上深入理解和靈活應(yīng)用。導(dǎo)致這種現(xiàn)象的一個(gè)重要原因就是一般教科書(shū)往往比較注重線性代數(shù)理論的系統(tǒng)介紹，忽略了線性代數(shù)強(qiáng)大的應(yīng)用背景，以致學(xué)生沒(méi)有了解到這些知識(shí)有什么用處以及怎么去用，因此在現(xiàn)有的課堂教學(xué)模式上，結(jié)合實(shí)際情況，在教學(xué)中穿插一些應(yīng)用實(shí)例，使學(xué)生體會(huì)到所學(xué)知識(shí)的“應(yīng)用性”，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，不僅學(xué)習(xí)到“很數(shù)學(xué)”的知識(shí)，更要學(xué)會(huì)如何將這些知識(shí)應(yīng)用到自己的專(zhuān)業(yè)中，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。本文結(jié)合線性代數(shù)在信息科學(xué)技術(shù)中的幾個(gè)應(yīng)用，提出對(duì)線性代數(shù)教學(xué)過(guò)程中自己的一點(diǎn)思考，拋磚引玉，與大家共勉。

二、線性代數(shù)在信息科學(xué)技術(shù)中的幾個(gè)應(yīng)用

（一）圖像處理與矩陣運(yùn)算

我們通常所見(jiàn)到的圖像，在計(jì)算機(jī)中都是一組數(shù)字，也就是數(shù)字圖像，又稱(chēng)數(shù)碼圖像，其基本元素為像素。在數(shù)學(xué)上，一幅數(shù)字圖像可以由一個(gè)矩陣來(lái)表示，矩陣中的每個(gè)元素代表像素，其中黑白圖像（只有黑白兩種顏色沒(méi)有中間的過(guò)渡，如條形碼、二維碼等）的像素值只有0和1，灰度圖像（由亮度信息沒(méi)有顏色信息）的像素可以用0～255之間的數(shù)表示，這兩種圖像在數(shù)學(xué)中可以用一個(gè)二維矩陣來(lái)表示，彩色圖像（即RGB圖像）可以用一個(gè)三維矩陣去表示，因此圖像就等同于矩陣。在圖像處理中，矩陣運(yùn)算理論非常有用，如圖像處理中將圖像變亮或者變暗，就與矩陣的數(shù)乘運(yùn)算密切相關(guān)，圖像進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的過(guò)程我們可以理解為圖像矩陣的轉(zhuǎn)置或者通過(guò)線性變換，圖像的復(fù)原或者圖像的去模糊離不開(kāi)矩陣求逆，還有圖像壓縮、去噪等問(wèn)題都用到了矩陣運(yùn)算[2]，而這些關(guān)于圖像處理問(wèn)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)非常常見(jiàn)，甚至學(xué)生常用的軟件（比如Photoshop）中就包含了相關(guān)的數(shù)學(xué)算法，因此將這部分應(yīng)用適當(dāng)穿插于講解矩陣運(yùn)算時(shí)，會(huì)讓學(xué)生深切體會(huì)到線性代數(shù)的知識(shí)不再是看不見(jiàn)、摸不著的，從而激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)探索的興趣，提升教學(xué)效果。

（二）搜索引擎背后的線性代數(shù)

在互聯(lián)網(wǎng)飛速發(fā)展的今天，搜索引擎對(duì)我們來(lái)說(shuō)并不陌生，無(wú)論在生活、學(xué)習(xí)還是工作中，經(jīng)常需要在網(wǎng)上搜索一些信息，比如我們?cè)谝粋€(gè)搜索引擎中輸入“線性代數(shù)”，很快就會(huì)顯示出幾千萬(wàn)個(gè)網(wǎng)頁(yè)，那么搜索引擎是如何做到在非常短的時(shí)間內(nèi)，對(duì)海量的信息進(jìn)行搜集和篩選，從而給用戶(hù)提供最有用的信息，并且我們發(fā)現(xiàn)不同的搜索引擎搜同樣的信息出來(lái)的網(wǎng)頁(yè)順序也不相同，那么搜索引擎是按照什么準(zhǔn)則對(duì)網(wǎng)頁(yè)的前后進(jìn)行排序的呢？這事實(shí)上就是網(wǎng)頁(yè)排序的問(wèn)題，而線性代數(shù)的相關(guān)知識(shí)在其中就發(fā)揮了關(guān)鍵的作用。此處我們簡(jiǎn)單了解一下谷歌搜索引擎的創(chuàng)始人Lawrence Page和Sergey Brin提出的Pagerank算法，其算法的思路是受到判別學(xué)術(shù)論文質(zhì)量的方法：一篇論文被多少文章引用，被什么樣級(jí)別的文章引用是判斷文章質(zhì)量的重要標(biāo)準(zhǔn)。同理一個(gè)重要的網(wǎng)頁(yè)會(huì)被其他重要的網(wǎng)頁(yè)指向，于是以網(wǎng)頁(yè)間的鏈接結(jié)果為基礎(chǔ)來(lái)劃分網(wǎng)頁(yè)的重要等級(jí)，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型構(gòu)建網(wǎng)頁(yè)關(guān)聯(lián)矩陣，然后進(jìn)行轉(zhuǎn)置與歸一化處理得到轉(zhuǎn)移概率矩陣，而Pagerank的計(jì)算就是求該矩陣的最大特征向量[3]。在線性代數(shù)中求特征向量的問(wèn)題與線性方程組的求解密切相關(guān)，在介紹線性方程組理論時(shí)適當(dāng)介紹這部分應(yīng)用，可以讓學(xué)生體會(huì)到之所以我們從初中就開(kāi)始學(xué)習(xí)求解線性方程組，到了大學(xué)仍然在研究，是因?yàn)樗浅Ｓ杏?，而在科學(xué)計(jì)算中，通常會(huì)遇到萬(wàn)階、百萬(wàn)階甚至上億階的線性方程組的求解，對(duì)于這類(lèi)超大規(guī)模方程組，尋求更有效的算法仍然是前沿的研究課題。

（三）人臉識(shí)別與特征值特征向量

人臉識(shí)別是對(duì)人臉關(guān)鍵特征進(jìn)行分析計(jì)算并進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù)，對(duì)其研究始于20世紀(jì)60年代，至今仍然是前沿的研究課題。人臉識(shí)別主要包括種類(lèi)識(shí)別與個(gè)體識(shí)別兩種，其中種類(lèi)識(shí)別指的是從不同的種類(lèi)中識(shí)別出哪個(gè)是人臉，如從人、貓、狗、大象中識(shí)別出人，它有什么作用呢？像有一些相機(jī)手機(jī)中附有的人臉識(shí)別功能，在夜拍或逆光時(shí)因光線太暗或者太強(qiáng)拍不清楚，那么照相機(jī)可以判別出哪個(gè)是人臉，拍照時(shí)使人臉部分更清晰，這就發(fā)揮了人臉識(shí)別的作用。個(gè)體識(shí)別指的是在都是人臉的情況下識(shí)別出某一個(gè)人，它有著十分廣泛的應(yīng)用，如手機(jī)、電腦等智能設(shè)備的身份驗(yàn)證，警方刑偵破案尋找失蹤人口，學(xué)校、住宅區(qū)、車(chē)站的門(mén)禁系統(tǒng)，公司、考場(chǎng)的人臉考勤，刷臉支付等很多方面。那么計(jì)算機(jī)是如何識(shí)別人臉的呢？其中線性代數(shù)又發(fā)揮了什么樣的作用？這里我們簡(jiǎn)單介紹人臉識(shí)別最經(jīng)典的一種算法：特征臉?biāo)惴ā?/p>

（四）保密通信與矩陣的逆

通信指的是人與人之間通過(guò)某種行為或媒介進(jìn)行信息交流與傳遞，隨著人類(lèi)社會(huì)的發(fā)展，通信技術(shù)與方式也發(fā)生了翻天覆地的變化。在信息加工和傳送的過(guò)程中，為了避免信息被第三方截獲，加工傳送過(guò)程的保密性就尤為重要，因此，保密通信這項(xiàng)技術(shù)也隨之變得非常重要，尤其在軍事、商業(yè)、外交等通信領(lǐng)域。保密通信的基本原理為將要發(fā)送的明文信息通過(guò)某種方式進(jìn)行偽裝和隱藏變?yōu)槊芪?，即在通信的過(guò)程中，發(fā)送方通過(guò)某種算法對(duì)明文代碼進(jìn)行加密，加密之后的密文代碼發(fā)送到接收方，接收方再通過(guò)相應(yīng)的某種算法對(duì)密文代碼進(jìn)行解密還原為明文代碼，其中的某種算法就是密鑰。如果從矩陣的角度來(lái)進(jìn)行解釋?zhuān)魑男畔⒂镁仃嘪來(lái)進(jìn)行表示，加密的密鑰用矩陣A表示，因此加密的過(guò)程就是矩陣方程AX=B或者XA=B，從而解密時(shí)的算法為X=A-1B或X=BA-1，其中A-1為A的逆矩陣[5]，這樣在信息傳遞的過(guò)程中即使截獲了密文內(nèi)容，在不知道密鑰的情況下也無(wú)法獲取其真實(shí)內(nèi)容，密鑰發(fā)揮的作用就像《潛伏》等諜戰(zhàn)片中情報(bào)人員舍生忘死保護(hù)和爭(zhēng)奪的密碼本一樣，可見(jiàn)其重要程度。在介紹矩陣的逆時(shí)我們可以融入保密通信這個(gè)應(yīng)用實(shí)例，這樣便會(huì)使數(shù)學(xué)內(nèi)容更加生動(dòng)。

三、結(jié)語(yǔ)

本文主要介紹了線性代數(shù)在信息科學(xué)技術(shù)中的幾個(gè)應(yīng)用：圖像處理、網(wǎng)頁(yè)排序、人臉識(shí)別、保密通信，這些應(yīng)用對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生，甚至在學(xué)習(xí)生活中每天都會(huì)接觸到，將這些應(yīng)用案例融入課堂教學(xué)中，讓學(xué)生感受到線性代數(shù)的實(shí)用價(jià)值，開(kāi)闊學(xué)生的視野，提高其學(xué)習(xí)這門(mén)課的興趣，化被動(dòng)接受為主動(dòng)學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生更好地理解掌握線性代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，真正做到學(xué)以致用。

參考文獻(xiàn)：

[1]王希云.線性代數(shù)（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2015.

[2]白阿拉坦高娃.《線性代數(shù)》教學(xué)中矩陣?yán)碚撛趫D像處理中的應(yīng)用[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2017，14（1）：211，213.

[3]黃宜朵.求解PageRank問(wèn)題的線性方程組算法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2010（1）：71.

[4]宇雪垠，曹拓荒，陳本盛.基于特征臉的人臉識(shí)別及實(shí)現(xiàn)[J].河北工業(yè)科技，2009，26（5）：428-430，433.

[5]張新文，王佳.基于可逆矩陣加密技術(shù)的保密通信數(shù)學(xué)模型[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，42（2）：166-170.

編輯 鄭曉燕