張玉元，張?jiān)?，?慧

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730070)

目前國內(nèi)外學(xué)者對箱梁彎曲變形已開展了比較深入的研究，同時(shí)也取得了不少研究成果，特別是對箱梁剪力滯效應(yīng)的研究，其部分研究成果已被納入橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范.文獻(xiàn)[1-3]首次提出運(yùn)用能量變分法研究矩形箱梁的剪力滯效應(yīng)以來，國內(nèi)學(xué)者運(yùn)用此方法開展了特殊支承體系及變截面箱梁的剪力滯效應(yīng)理論研究[4-7].眾所周知箱梁的剪力滯效應(yīng)僅是對截面正應(yīng)力開展的研究[8-10]，但對剪力滯翹曲剪應(yīng)力分布規(guī)律及其對初等梁剪應(yīng)力的影響研究卻甚少，因此開展翹曲剪應(yīng)力的研究具有一定的理論意義和工程意義.

現(xiàn)有文獻(xiàn)對彎曲剪應(yīng)力的計(jì)算方法和規(guī)律研究主要以初等梁剪力流分布狀態(tài)、多室箱梁腹板剪力流分配等方面開展的.宋光吉[11]從力學(xué)角度推導(dǎo)了斜彎橋的剪力流計(jì)算公式，為簡化剪應(yīng)力計(jì)算和討論其影響提供了新思路.李麗園等[12]在分析彎曲剪力流的基礎(chǔ)上，將剪切變形納入翹曲縱向位移模式，研究了截面尺寸參數(shù)對剪力滯效應(yīng)的影響.王強(qiáng)等[13]將多室箱梁彎曲剪力流計(jì)算公式應(yīng)用于鋼箱梁，并分析了截面幾何參數(shù)對腹板剪力流分配的影響.喬朋等[14]以單箱雙室和三室波形鋼腹板組合箱梁為例，通過有限元建模和試驗(yàn)等方法，研究了橫向?qū)ΨQ荷載和偏載作用對鋼腹板剪應(yīng)力分配的影響研究.武海鵬等[15]從彈性微元段的受力平衡出發(fā)，導(dǎo)出適應(yīng)于變截面波形鋼腹板箱梁的剪應(yīng)力計(jì)算公式，并分析了多種荷載作用下變截面鋼腹板的剪力傳遞效率.

本文運(yùn)用彈性力學(xué)方法及位移協(xié)調(diào)方程建立考慮剪力滯效應(yīng)影響的箱梁彎曲剪應(yīng)力計(jì)算公式，以集中荷載作用下的簡支箱梁為例，研究翹曲剪應(yīng)力沿截面的分布規(guī)律及其在初等梁剪應(yīng)力中所占比重，進(jìn)而對工程設(shè)計(jì)中計(jì)算彎曲剪應(yīng)力時(shí)是否考慮剪力滯效應(yīng)的影響提供借鑒.

1 初等梁彎曲剪應(yīng)力

如圖2所示，在箱梁截面上任意點(diǎn)P處取壁厚為t的微元體ds×dz，按照初等梁應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行受力分析，建立正應(yīng)力和剪力流平衡微分方程，如下：

(1)

上式對s積分可得：

(2)

式中：qA為箱梁橫截面頂板中點(diǎn)切口處的常剪流.

將初等梁彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式σ0=My/Ix和彎矩與剪力之間的微分關(guān)系代入式(2)中可得：

(3)

閉口截面箱梁在切口處應(yīng)滿足位移協(xié)調(diào)條件，即切口處無剪應(yīng)變∮γds=0，將初等梁剪力流表達(dá)式(3)代入該方程可得常剪流表達(dá)式，如下：

(4)

將常剪流計(jì)算公式(4)代入式(3)可得：

(5)

(6)

根據(jù)剪力流與剪應(yīng)力之間的關(guān)系，可導(dǎo)出初等梁剪應(yīng)力τ0計(jì)算公式，即：

(7)

由于箱梁橫截面靜面矩關(guān)于y軸反對稱，因此取箱梁y軸左半部分為分析對象即可.根據(jù)積分起止點(diǎn)將左半截面以形心軸為界分為上下兩部分，則截面左半部分任一點(diǎn)處的靜面矩公式可表達(dá)為

形心軸以上部分：

在1→2段：Sx=-hutus;

在3→2段：Sx=hutus;

形心軸以下部分：

在6→5段：Sx=-hbtbs;

由初等梁剪應(yīng)力計(jì)算公式可知，上、下翼板剪應(yīng)力沿水平方向按照一次線性函數(shù)分布，其合力為零，兩側(cè)腹板沿豎向呈二次拋物線分布，其合力方向與剪力一致，可見腹板承擔(dān)了豎向剪力.為了驗(yàn)證腹板剪應(yīng)力合力為豎向剪力，下面采用積分法予以證明.

(8)

式中：Qf為橫截面腹板剪應(yīng)力的合力.

2 剪力滯翹曲剪應(yīng)力

將圖2按照剪力滯翹曲應(yīng)力狀態(tài)分析，則翹曲正應(yīng)力σω和剪力流qω之間的微分關(guān)系可表達(dá)為

(9)

上式對s積分可得：

(10)

式中：qAω為剪滯翹曲變形時(shí)箱梁橫截面頂板切口處的常剪流.

qω=Ef?Sω+qAω.

(11)

同樣，對于剪力滯翹曲變形而言，頂板切口處無翹曲剪應(yīng)變∮γωds=0，將翹曲剪力流表達(dá)式代入該方程可得常剪流表達(dá)式，如下：

(12)

將剪滯翹曲常剪流計(jì)算公式(12)代入剪流計(jì)算公式(11)可得：

(13)

翹曲中心以上部分：

翹曲中心以下部分：

qω=Ef?Sω,

(14)

同理，可給出翹曲剪應(yīng)力τω計(jì)算公式，即：

(15)

剪滯翹曲剪應(yīng)力計(jì)算公式(15)可知，只要知道截面翹曲靜面矩和剪力滯附加撓度的計(jì)算公式，即可得到截面任一點(diǎn)的翹曲剪應(yīng)力.對于剪力滯附加撓度的求解，可應(yīng)用文獻(xiàn)[16]中方法直接導(dǎo)出.

3 簡支箱梁剪應(yīng)力解析解

如圖3所示，簡支箱梁受集中荷載P作用，根據(jù)文獻(xiàn)[16]建立的剪力滯附加撓度微分方程，可給出附加撓度f(z)的一般表達(dá)式，如下：

(16)

式中：下標(biāo)1、2代表集中荷載作用點(diǎn)左、右梁段內(nèi)的撓度和應(yīng)力.

為了確定上式中的8個(gè)參數(shù)，需利用以下8個(gè)邊界條件和連續(xù)性條件：

利用以上8個(gè)邊界條件確定常數(shù)C1～C8后，即可得到箱梁剪力滯附加撓度的計(jì)算公式，如下：

(17)

當(dāng)集中荷載P作用于跨中截面時(shí)，a=b=l/2，其附加撓度f(z)表達(dá)式如下：

(18)

式(18)求三階導(dǎo)數(shù)并代入翹曲剪應(yīng)力表達(dá)式(15)可得簡支箱梁截面任一點(diǎn)的翹曲剪應(yīng)力表達(dá)式如下：

(19)

將翹曲剪應(yīng)力和初等梁剪應(yīng)力疊加后得到箱梁截面任一點(diǎn)處的彎曲剪應(yīng)力表達(dá)式，如下：

(20)

4 算例分析

運(yùn)用本章導(dǎo)出的等截面初等梁和剪滯翹曲剪應(yīng)力計(jì)算公式計(jì)算并繪制l/4截面剪應(yīng)力橫向分布圖及截面關(guān)鍵點(diǎn)剪應(yīng)力縱向分布圖；借助有限元ANSYS軟件中的shell63單元，對該箱梁模型進(jìn)行有限元數(shù)值分析，共劃分劃分6 422個(gè)節(jié)點(diǎn)，6 400個(gè)單元，提取l/4截面計(jì)算點(diǎn)的剪應(yīng)力和關(guān)鍵點(diǎn)剪應(yīng)力沿縱向的計(jì)算值，將本文解和ANSYS解一并畫在圖中，如圖5～7所示，相應(yīng)關(guān)鍵點(diǎn)應(yīng)力對比如表1～2所列.

圖5示出了等截面簡支箱梁l/4截面翹曲剪應(yīng)力的橫向分布圖，以x軸正坐標(biāo)(左半截面)為例來揭示翹曲剪應(yīng)力沿橫向的分布規(guī)律.上翼板翹曲剪應(yīng)力有正有負(fù)，在上翼板與腹板交匯處以左區(qū)域表現(xiàn)為逆時(shí)針，以右部分表現(xiàn)為順時(shí)針，在x=0.06 m處順時(shí)針翹曲剪應(yīng)力達(dá)到最大，在x=0.14 m處逆時(shí)針翹曲剪應(yīng)力達(dá)到最大；底板翹曲剪應(yīng)力表現(xiàn)為順時(shí)針，同樣在x=0.06 m處達(dá)到最大；翹曲中心附近的腹板區(qū)域翹曲剪應(yīng)力表現(xiàn)為逆時(shí)針，其余部分表現(xiàn)為順時(shí)針，腹板下緣翹曲剪應(yīng)力幾乎是上緣翹曲剪應(yīng)力的4倍.

圖6示出了等截面簡支箱梁l/4截面剪應(yīng)力橫向分布圖，結(jié)合表1可以看出：初等梁剪應(yīng)力和總剪應(yīng)力與ANSYS數(shù)值解吻合良好，進(jìn)而驗(yàn)證了本文方法的正確性.對于上翼板而言，在x=0.06 m處，翹曲剪應(yīng)力與初等梁剪應(yīng)力的比值為0.72%；在x=0.14 m處，二者比值為2.62%；對于底板而言，在x=0.06 m處，二者比值為2.11%；在腹板下緣處二者比值為0.85%；由此可見，翹曲剪應(yīng)力在初等梁剪應(yīng)力中所占比重較小，可忽略不計(jì).翼板初等梁剪應(yīng)力和總剪應(yīng)力在橫向呈一次線性分布，在腹板與翼板交匯處達(dá)到最大；腹板剪應(yīng)力沿豎向呈二次拋物線分布，在腹板形心處達(dá)到最大.

表1 簡支箱梁l/4截面計(jì)算點(diǎn)剪應(yīng)力對比

表2 簡支箱梁關(guān)鍵點(diǎn)翹曲剪應(yīng)力縱向?qū)Ρ?/p>

圖7示出了等截面簡支箱梁截面關(guān)鍵點(diǎn)剪應(yīng)力縱向分布圖，結(jié)合表2可以看出：翹曲剪應(yīng)力和總剪應(yīng)力關(guān)于跨中截面反對稱；對于翹曲剪應(yīng)力而言，從數(shù)量關(guān)系上來看，腹板上緣最小，腹板翹曲中心次之，腹板下緣最大；翹曲剪應(yīng)力由兩側(cè)支點(diǎn)向跨中遞增，靠近跨中截面處應(yīng)力值遞增幅度較大，不能客觀反映翹曲剪應(yīng)力的本質(zhì)規(guī)律，究其原因在于跨中作用集中荷載所致.對于總剪應(yīng)力而言，腹板形心處最大，腹板上緣次之，腹板下緣最小，這一規(guī)律與初等梁剪應(yīng)力規(guī)律一致.

5 結(jié)論

結(jié)合集中荷載作用下的簡支箱梁算例得到以下幾個(gè)結(jié)論：

1) 本文運(yùn)用微元體平衡微分方程和位移協(xié)調(diào)條件導(dǎo)出了箱形梁的初等梁剪應(yīng)力和剪力滯翹曲剪應(yīng)力計(jì)算公式，結(jié)合文獻(xiàn)[16]給出的剪力滯附加撓度微分方程建立了考慮剪力滯效應(yīng)的簡支箱梁彎曲剪應(yīng)力計(jì)算公式.算例分析表明，本文計(jì)算結(jié)果與有限元數(shù)值解吻合良好，從而驗(yàn)證了本文理論的正確性.

2) 彎曲剪應(yīng)力橫向分布研究表明，翹曲剪應(yīng)力沿橫截面流向與初等梁流向相反，僅在腹板翹曲中心區(qū)域與初等梁流向一致，可見翹曲剪應(yīng)力對初等梁剪應(yīng)力具有一定的削弱作用；剪力滯翹曲剪應(yīng)力遠(yuǎn)小于初等梁剪應(yīng)力，就本算例而言，l/4截面的翹曲剪應(yīng)力在初等梁中所占比重最大為2.62%.

3) 彎曲剪應(yīng)力縱向分布研究表明，翹曲剪應(yīng)力和總剪應(yīng)力關(guān)于跨中截面反對稱；對于翹曲剪應(yīng)力而言，腹板上緣最小，腹板下緣最大，下緣翹曲剪應(yīng)力幾乎是上緣的4倍.